Колмогорова — Арнольда — Мозера

В. И. Арнольда, Ю. Мозера, Я. Г. Синая и др. Именно в рамках этого круга идей возникли понятия полного перемешивания, теория Колмогорова — Арнольда — Мозера (KAM) о наличии интегральных торов у гамильтоновых динамических систем, понятия энтропии динамической системы и символическое описание ее движений, топологической марковской цепи, открывающие пути к статистическому описанию детерминированных динамических систем. [c.82]

Теория KAM Теория существования периодических или квазипериодических движений в нелинейных гамильтоновых системах (т. е. в системах без диссипации с потенциальными силами), развитая Колмогоровым, Арнольдом и Мозером. Теория KAM утверждает, что при добавлении к линейной системе небольших нелинейностей регулярные движения продолжают существовать. [c.273]

Характер возможных движений консервативных систем, неинтегрируемых в квадратурах, сложен и в настоящее время мало изучен. Однако в последнее время в работах А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда, Мозера и других было показано, что большинство движений консервативной системы, близкой к интегрируемой в квадратурах, также имеет квазипериодический характер. Тем не менее в любой сколь угодно малой окрестности таких движений существуют движения иной, гораздо более сложной природы подобно тому как в любой сколь угодно малой окрестности произвольного иррационального числа имеется бесконечно много рациональных чисел. [c.149]

П.З. ТЕОРЕМА КОЛМОГОРОВА — АРНОЛЬДА — МОЗЕРА 363 [c.363]

В последнее время появились некоторые новые результаты, которые серьезно активизировали исследования в этой области. Прежде всего надо назвать чисто аналитические результаты. Они содержатся в теореме, сформулированной Колмогоровым в 1954 г. и доказанной Арнольдом и независимо Мозером в 1963 г., поэтому обычно эту теорему кратко называют КАМ-теоремой ). Речь идет о результате теории возмущений, относящемся к следующей задаче. Рассмотрим интегрируемую систему, описываемую гамильтонианом Нд (/). Она характеризуется набором торов, покрытых эргодическими траекториями. Попытаемся ответить на вопрос, что произойдет, если вводится малое возмущение, т. е. если теперь рассматривается система с модифицированным гамильтонианом [c.363]

Однако не все решения системы (5.76) имеют вид, близкий к решениям (5.78) линеаризованной системы. Мы уже отмечали выше связь этой проблемы с проблемой малых знаменателей в механике. Ясно поэтому, что исследование этой проблемы лежит в круге идей КАМ-теоремы (теоремы Колмогорова Арнольда Мозера). Согласно этим идеям [148], при поворотах обш его эллиптического типа, к которым принадлежит и преобразование (5.76), между решениями типа [c.294]

Различные варианты теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических движений получены В. И. Арнольдом и Ю. Мозером. Обзор результатов теории KAM (Колмогорова — Арнольда— Мозера) содержится в книге [12, гл. 5]. [c.124]

Основной вопрос, который возникает при рассмотрении гамильтоновых систем (10.1.41), можно сформулировать следующим образом существуют ли у системы инвариантные торы, близкие к тору р = ро, и имеет ли движение на этих торах условно-периодический характер Этот вопрос в последние десятилетия рассматривался К. Зигелем [6], А. Н. Колмогоровым [35], В. И. Арнольдом [36], Ю. Мозером [37], [38J. Позднее существенные обобщения были сделаны в работах [39], [40]. [c.801]

Новый этап в развитии наших представлений о хаосе и его зарождении возник в последние два десятилетия. Его происхождение было подготовлено рядом работ, из которых следует выделить результаты Хопфа и Н. С. Крылова. Взрыв произошел после работ Колмогорова, связанных с условиями устойчивости динамических систем (так называемая теория Колмогорова — Арнольда — Мозера), с одной стороны, и с введением динамической энтропии (так называемая -энтропия, пли энтропия Колмогорова) для сильно неустойчивых систем, с другой стороны. [c.5]

Сформулируем теперь основной результат проблемы устойчивости, который составляет содержание теоремы Колмогорова — Арнольда — Мозера (KAM). Рассмотрим систему с гамильтонианом [c.25]

Теорема об устойчивости и идеи ее доказательства были сформулированы Колмогоровым [28] в 1954 г. Доказательство этой теоремы было проведено Арнольдом [29 — 31]. Независимо, теорема устойчивости (но при несколько иных исходных предположениях) была доказана Мозером [32, 33]. Различные приложения теории KAM содержатся в обзорах [14,15,24,25,34]. [c.40]

Кинетическое уравнение 103 Когерентные состояния 164 Колмогорова — Арнольда — Мозера теорема 25, 26, 40 [c.270]

С помощью результатов КАМ-теории (Колмогорова — Арнольда—Мозера) в предположении теоремы 4 В. Ф. Лазуткин доказал существование бесконечного семейства каустик, имеющих положительную суммарную меру в М и накапливающихся у границы дМ. При этом мера точек двумерного тора T , отвечающих траекториям, касающимся каустик, также положительна. Отсюда вытекает, в частности, отсутствие слабой эргодичности (и тем более эргодичности). [c.147]

Хотя работы Пуанкаре и Биркгофа продемонстрировали чрезвычайную сложность топологии фазового пространства, вопрос об эргодичности движения, т. е. о том, покрывает ли траектория всю энергетически доступную область фазового пространства или же она ограничена какими-то интегралами движения, оставался до недавнего времени без ответа. Теорема Колмогорова [229], доказанная при различных ограничениях Арнольдом [10] и Мозером [308] (теорема KAM), утверждает, что при возмущении интегрируемых систем инвариантные поверхности сохраняются для большинства начальных условий. Хотя движение вблизи сепаратрисы каждого резонанса и является стохастическим, оно ограничено соседними инвариантными поверхностями и не является эргодическим. В гл. 3 мы рассмотрим теорию KAM и связанные с ней топологические результаты, которые служат обоснованием многих методов, описанных в этой книге. [c.15]

Заметим, что если Я достаточно гладко, а мало, то, согласно теории Колмогорова-Арнольда-Мозера, множество ограниченных колеблющихся решений будет ие только не пусто, но и содержит внутренние точки. [c.81]

Теория Колмогорова—Арнольда- Мозер а (теория KAM) [c.118]

Интеграл по траекториям 353 К.А.М Колмогорова—Арнольда— Мозера) условия 95 [c.2]

Здесь К — постоянная. При т -> оо левая часть (2.1.20) по-прежнему может стремиться к нулю, но достаточно медленно. Условие (2,1.20), (2.1.21) называется условием - Колмогорова—Арнольда—Мозера, или сокращенно условием KAM. Если задана реальная система, то возникает вопрос, удовлетворяют ли ее частоты условию KAM (2.1.20), (2.1.21). С точки зрения математики такой вопрос разумен, однако ответить на него для реальных систем весьма трудно, если вообще возможно. Кроме того, поскольку системы подвержены флуктуациям, весьма сомнительно, чтобы условие KAM выполнялось при любых t, даже если оно выполняется прн каком-то t. Более разумен другой вопрос какова вероятность того, что данные частоты удовлетворяют условию KAM Ответ на него дает следующая математическая теорема (которую мы приведем без доказательства) в пространстве со = (ш , соа,. -. , м ) относительная мера тех со, которые не удовлетворяют условию KAM, стремится к нулю как К. Следовательно, при достаточно малых К большинство (О удовлетворяет неравенству (2.1.20). [c.95]

Две главы, 5 и 6, посвящены теории связанных (линейно или нелинейно) осцилляторов. В ее развитие внесли вклад многие выдающиеся математики, механики и физики, и ей посвящены лшогие монографии и учебные пособия. Тем не менее обе главы во многом оригинальны, очень содержательны и чрезвычайно интересны. В них, в частности, излагается теорема Мозера, обобщающая известные результаты Колмогорова и Арнольда. Автор пытается решить вопрос Могут ли нелинейно связанные осцилляторы совершать квазипериодические движения — вопрос очень актуальный в связи с проблемой возникновения турбулентности. Полное доказательство теоремы Мозера о существовании квазипериодиче-ских решений дано в приложениях к основному тексту. [c.8]

Согласно теории устойчивости Колмогорова — Арнольда— Мозера (1963) (КAM), в системе с гамильтонианом (9) при достаточно малых е<Е(, большинство инвариантных торов сохраняется и отличается от невозмущённых торов слабой деформацией. Они занимают фазовый объём Г-5Г( ). Часть торов, занимавшая объём бГ(е), разрушается, но их мера стремится к нулю при е- 0. [c.399]

В 80—90-е гг. в теории одномерных отображений получили распространение методы, связанные с понятием ренорм группы и с теорией К AM (Колмогорова — Арнольда—Мозера). В целом одномерная динамика пока далека от завершения. Последнее в ещё большей степени относится к теории многомерных не всюду растягивающих отображений, к-рая делает только первые шаги. [c.634]

Каданова теория критический явлений I 371 КАМ (Колмогорова — Арнольда — Мозера) теорема II 361 Канонические преобразования I 24, 30, 55, 65 Канонический ансамбль I 140 Канонически сопряженные переменные I 20 Каца потенциал I 336 Кинетический оператор эволюции II 178, 192 [c.392]

Необходимые условия устойчивости этих стационарных решений получены Г. Н. Дубошиным (1960), достаточные условия устойчивости — Ф. Л. Черноусько (1964). А. П. Маркеев (1965, 1967) на основании результатов А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда и Ю. Мозера доказал устойчивость стационарных решений почти для всех точек области, где выполнены лишь необходимые условия устойчивости, исследовал, используя методы осреднения, нелинейные колебания оси симметрии спутника в окрестности резонанса, рассмотрел возможность возникновения параметрического резонанса на эллиптических орбитах. [c.302]

Гамильтонова динамика. Теория гамильтоновых систем возникла как самостоятельная область математики в рамках теорнн динамических систем благодаря книге Арнольда [26]. Книга Абрахама и Марсдена [1] содержит много полезных подготовительных результатов, а также довольно подробное описание многих вопросов. Несколько учебников по классической механике были написаны под влиянием этих идей и могут сами то себе служить хорошими источниками информации (напрнмер, [94]). Ввиэт отсутствия полной монографии по КАМ-теории Колмогорова — Арнольда — Мозера книга [219] и статьи [215], [216] Мозера представляют собой лучшие из имеющихся введений в эту теорию. Статья Мозера в [105] является хорошим введением в современную теорию конечномерных вполне интегрируемых гамильтоновых систем. Очень важным инструментом в гамильтоновой динамике являются вариационные методы. Хорошее изложение этого предмета содержится в [84]. [c.722]

Распространение канонического формализма на случай систем с упругими отражениями позволяет поставить вопрос о применимости КАМ-теории (Колмогорова — Арнольда — Мозера). Основная трудность состоит в том, что получающиеся функции Гамильтона, вообще говоря, недифференцируемы на гиперповерхно- [c.150]

Эта теорема была доказана Арнольдом [10] для аналитического возмущения на основе работы Колмогорова [229] н Мозером [308] при условии супл,ествования достаточно большого числа не- [c.186]

В. Методы теории KAM. В теории Колмогорова— Арнольда—Мозера (KAM) разработаны с.ходящпеся методы интегрирования возмущенных гамильтоновых систем. Эти ме тоды основаны на построении последовательных замен пере мепных, уничтожающих зависимость гамильтониана от бы ст )ых фаз во все более высоких порядках по малому параметру Процедуру последовательных замен предложил Ньюком. Со временную форму ей придал А. Пуанкаре, который, однако посчитал процедуру Ньюкома эквивалентом процедуры Линдштедта. [c.194]

Строение множества в В П В+ изучено плохо, хотя значительная доля публикаций по задаче трех тел относится именно к нему. Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера позволила доказать существование условно-периодических движений во многих неиитегрируемых задачах механики. В частности, в 1963 году В. И. Арнольд [18] показал, что В П В+ (при достаточно малой массе двух из трех тел) содержит подмножество положительной меры, состоящее из пятимерных торов, заполненных условно-периодическими движениями (см. также [6], [19], [43]). Согласно [42], множества В+ В и В В+ имеют лебегову меру 0. [c.52]

Основополагающий для науки метод моделей допускает иногда 1Юзмож1ЮСть на основе ошибочных моделей получать правильные, совпадающие с наблюдениями результаты. Именно это произошло с моделью малых возмущений Пуанкаре. В наиболее современном и полном виде эти правильные результаты отражает теория Колмогорова -Арнольда - Мозера. Аналогичное происходит и при применении методов теории возмущений в квантовой теории людель сохраняет некорректность предпосылок Пуанкаре, а результаты правильны. Плата за это в громоздкости и повышенных требованиях к математической строгости [c.94]

В теории Колмогорова - Арнольда - Мозера есть интересная подробность, которая привела к появлению в её названии имени Мозера. Оп показал, что для справедливости теории Колмогорова - Арнольда нет не-обходшгости предполагать анал1ггичность используемой в ней функции Яо, а достаточно только требования существования для неё 300 с лишним производных [46]. [c.95]

Теория Колмогорова—Арнольда—Мозера (теория KAM). . 118 Глава 7. Общая теория гладких гиперболических динамических систем (Я. В. Песин). . .........123 [c.113]

Тем не. менее, интегрируемость динамической системы следует считать исключением, а не правилом. Уже при малом возмущении достаточно общего вида функции Гамильтона полная интегрируемость гамильтоновой системы исчезает. Знаменитая теория Колмогорова—Арнольда—Мозера (J. Moser) (теория KAM, см. следующий параграф) утверждает, что иивари- [c.115]

Некоторым читателяд предыдущие главы, быть может, покажутся несколько утомительными, но, добравшись до гл. 8 Нелинейные уравнения. Качественные макроскопические изменения , даже наиболее скептически настроенные из них увидят, что они трудились не зря. Эта глава посвящена центральной проблеме синергетики. В ней дается описание качественных изменений в сложных макроскопических системах при изменении управляющих параметров. Глава написана блестяще. Она читается со все возрастающим интересом. Хотя многие из рассматриваемых здесь вопросов можно найти в недавних обзорах и новейших монографиях, изложение Г. Хакена захватывает своей свежестью, последовательностью, доступностью и вместе с тем глубиной. Читатель видит, что математический аппарат предыдущих глав начинает работать в полную силу. Результаты Колмогорова—Арнольда—Мозера приобретают практическую значимость. Подход автора от традиционного подхода существенно отличается широтой и возлюжностями. Он позволяет не только описывать различные бифуркации, но и судить о поведении решений вблизи стационарных состояний, т. е, о релаксации. [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...