Волновой фронт гауссова кривизна

Как изменится радиус кривизны волнового фронта гауссова пучка лри прохождении через линзу с фокусным расстоянием Г [c.305]

Следовательно, зависимость радиуса кривизны волнового фронта гауссова пучка от продольной координаты ZQ описывается соотношением (1.14) и показана па рис. 1.2, а. Кривизна волнового фронта — величина обратная радиусу кривизны я = 1/К — равна [c.15]

Воспользовавшись теперь первым из соотношений (1.16), получим для радиуса кривизны Я волнового фронта гауссова пучка значение [c.40]

Сначала обсудим вопрос качественно и для этого напомним некоторые свойства простого гауссова пучка, рассмотренного в 1.1, а именно, обратим внимание на влияние друг на друга амплитудного и фазового распределения в гауссовом пучке. Волновой фронт гауссова пучка, определяемый фазовым распределением, находясь в области сходимости, далеко от области перетяжки, изменяется нри распространении пучка в соответствии с законами геометрической оптики, т. е. сходится к своему центру кривизны, расположенному в центре перетяжки, при этом амплитудное распределение сжимается или, иными словами, уменьшается поперечный размер пучка. Уменьшение поперечного размера пучка приводит к возрастанию роли дифракции и появлению тенденции к расходимости в теории дифракции хорошо известно свойство волны тем сильнее расходиться, чем меньше ее поперечный размер. [c.93]

Это Преобразование волнового фронта иллюстрирует рис. 4.2. Радиус кривизны в (4.13) берется положительным, если волновой фронт обращен выпуклостью в сторону распространения волны. Волновой фронт гауссова пучка преобразуется линзой таким же образом. Так как диаметр пучка непосредственно слева и справа от линзы одинаков, то комплексные параметры падающего и прошедшего пучков оказываются связанными соотношением [c.98]

Рассмотрим более подробно эти два предельных случая световых пучков, распространение которых описывается простыми аналитическими выражениями. Эволюция радиуса (и радиуса кривизны) волнового фронта гауссова пучка в пространстве при его распространении с учетом предварительной фокусировки или расфокусировки линзой с фокусом Р описывается следующей формулой, которая может быть получена, например, с помощью интегрального преоб- [c.146]

При расчете дифракционной картины в качестве исходного распределения поля использовалось распределение в плоскости ЕЕ, где волновой фронт плоский, а ширина распределения минимальная. Разумеется, за исходное или заданное можно принять распределение поля в любой плоскости, и вычисления световых колебаний во всем пространстве должны привести к прежним результатам. Из сказанного вытекает важный вывод если в каком-либо месте волновой фронт сферический и распределение амплитуды поля имеет вид гауссовой кривой, то эти свойства сохраняются во всем пространстве, а изменяются Лишь радиус кривизны волнового фронта и ширина распределения амплитуды. Волна этого типа называется гауссовой волной или гауссовым пучком. В частности, поле в плоскости ЕЕ, принятое ранее за исходное, может быть реально образовано за счет гауссовой волны, приходящей на ЕЕ слева. [c.190]

Для пояснения высказанного соображения рассмотрим преобразование гауссова пучка, осуществляемое идеальной тонкой линзой. Если поперечные размеры линзы достаточно велики, так что можно пренебречь диафрагмированием гауссова пучка на ней, то действие линзы сводится к изменению кривизны волнового фронта [c.190]

Покажем,, что гауссов пучок может удовлетворить требованиям принципа цикличности. Предварительно напомним основные свойства гауссова пучка. Радиус кривизны волнового фронта в точке г дается соотношением [c.802]

Рассмотрим теперь особенности распространения гауссова пучка ТЕМоо-моды через систему линз. На рис. 8.2 показано поведение пучка после его прохождения через линзу с фокусным расстоянием f. Сперва заметим, что непосредственно перед линзой размер пятна w и радиус кривизны / 1 волнового фронта пучка в соответствии с (8.1) можно записать в виде [c.480]

Таким образом, в соответствии с этой формулой сферическая линза преобразует радиус кривизны R падающей волны в радиус кривизны / 2 выходяш,ей волны. Аналогичным образом радиус кривизны выходящего гауссова пучка, показанного на рис. 8.2, с, будет также определяться формулой (8.36). Следовательно, мы имеем теперь как амплитудное [с помощью формулы (8.3а)], так и фазовое [с помощью формулы (8.36)] распределения поля волны на выходе линзы. Эта волна имеет гауссово распределение по амплитуде и сферический волновой фронт, т. е. гауссов пучок остается гауссовым и после того, как он пройдет через систему (тонких) линз. Этот результат остается верным и в случае прохождения пучка через систему толстых линз, в чем можно убедиться, рассматривая толстую линзу как совокупность тонких. Зная размер пятна и радиус кривизны волнового фронта непосредственно после линзы, можно вычислить соответствующие величины в любой точке пространства. Например, размер пятна Шо2 в новой перетяжке пучка и расстояние Z-2 от линзы до этой перетяжки можно найти, выполняя расчеты по формулам (8,1) в обратном порядке. При некоторых прямых преобразованиях мы приходим к следующим двум выражениям [c.481]

Гауссовы пучки. Перейдем теперь к рассмотрению задач, требующих применения аппарата волновой матрицы. В первую очередь изучим поведение так называемых гауссовых пучков, имеющих сферические волновые фронты и распределение амплитуды, описываемое изображавшейся на рис. 1.4 функцией Гаусса Е г) = Eq ехр [—(r/vv) ]. Расстояние w, на котором амплитуда спадает в е раз по сравнению с ее значением на оси Eq, чаще всего называют радиусом пучка мы будем именовать w параметром ширины — это название труднее спутать с радиусом кривизны волнового фронта и тому подобным. Кстати, поскольку интенсивность излучения [c.28]

Сферическому волновому фронту с радиусом кривизны р соответствует фазовый множитель ехр [(Л/2р)(х + у )] (см. вывод формулы (1.8)), поэтому полное выражение для распределения комплексной амплитуды гауссова пучка на отсчетной плоскости имеет вид [c.29]

Итак, гауссовы пучки обладают тем замечательным свойством, что продолжают оставаться гауссовыми, i.e. обладать сферическими фронтами и гауссовым распределением амплитуды, но прохождении самых разнообразных оптических систем, включающих, в частности, сколь угодно протяженные участки пространства. Изменяются только ширины пучков и радиусы кривизны волновых фронтов. [c.30]

Однако существуют экспериментальные методы подавления спонтанного излучения (например, межкаскадные развязывающие фильтры) и методы управления формой импульсов (так называемые методы получения профилированных импульсов). Поэтому особый интерес может представлять задача исследования изменений результатов (расчета и эксперимента соответственно) при усилении импульсов с временной формой, отличающейся от гауссовой. Для изучения этого вопроса были проведены расчеты для всех ранее рассмотренных приближений (т. е. усиление однородной плоской волны, волн с плоским волновым фронтом и однородным поперечным распределением и усиление расходящихся пучков с неоднородным поперечным распределением и сферическим волновым фронтом с заданным радиусом кривизны). [c.214]

Зеркала оптического резонатора могут иметь и разную кривизну. В самом деле, любую из сферических поверхностей равных фаз гауссова пучка (рис. 6.22) можно заменить зеркалом того же радиуса кривизны, и это не приведет к изменению структуры поля в резонаторе. В частности, одно из зеркал может быть плоским (рис. 6.23, а). В этом случае перетяжка гауссова пучка расположена непосредственно в плоскости зеркала, и если оно полупрозрачное, то лазерный пучок на выходе из резонатора имеет плоский волновой фронт. Если выходное зеркало сделать выпуклым (рис. 6.23, б), то перетяжка пучка расположится вне резонатора, т. е. выходящий из лазера пучок будет сходящимся. [c.302]

Они означают, что пучок, проходя через такой корректор, не изменяет кривизны своего волнового фронта, но поперечные размеры его меняются. Поэтому устройство с такими характеристиками естественно назвать амплитудным квадратичным корректором его называют также гауссовой диафрагмой. Величина Р представляет собой характерный параметр гауссовой диафрагмы с размерностью длины или ее мнимое фокусное расстояние. [c.29]

Следует особенно подчеркнуть, что приведенные рассуждения о встречных пучках справедливы в случае, когда матрицы М вещественны, т. е. предполагается, что резонатор не содержит гауссовых диафрагм. Если же резонатор такие диафрагмы содержит, то комплексные параметры прямого и встречного пучков, по-прежнему, определяются соотношением (1.66). Однако разделение на вещественную и мнимую части в этих параметрах будет происходить иначе. Это означает, что радиусы кривизны волновых фронтов и поперечные ширины встречных гауссовых пучков будут различными. [c.43]

Радиусы кривизны волновых фронтов всех лагерр-гауссовых пучков (1.118) с высокой точностью совпадают и равны [c.67]

Важным обстоятельством является то, что углы и г/ разные, это означает, что главные оси амплитудного распределения в пучке (1.161) повернуты на угол т] — относительно линий главных кривизн волнового фронта. В гауссовых пучках, рассматривавшихся до сих пор, главные оси амплитудного распределения и линии кривизны волнового фронта совпадали. [c.93]

Свойства гауссова пучка. Рассмотрим подробнее соотношения (24.7) и (24.13), т. е. изучим, как изменяется ширина и кривизна его волнового фронта в зависимости от расстояния z (рис. 24.1). При этом попытаемся связать полученные формулы с обычными законами геометрической оптики. [c.259]

Рассмотрим вначале свойства коллимированного гауссова пучка (/ =оо). Этот пучок при распространении не меняет своей формы, изменяется только его радиус и кривизна волнового фронта. Радиус пучка минимален (а=ао) в перетяжке, где г =оо, т. е. волновой фронт плоский. Минимальное значение г г) можно найти, продифференцировав уравнение (4.11) по г и приравняв производную к нулю. Получим гф, 1п =2йа при г=г ка о. На длине г , называемой дифракционной, диаметр пучка возрастает в К2 раз. [c.147]

Эти поля имеют гауссово распределение с шириной w(z), причем радиус кривизны волновых фронтов равен p(z). Такие поля образуют так называемые гауссовы пучки, поскольку поле в этом случае сконцентрировано в очень узкой трубке (см. разд. 7.7). [c.79]

Как известно, линзы широко применяются либо для фокусировки лазерного пучка в пятна небольших размеров, либо для соответствующего преобразования диаметра и кривизны волнового фронта пучка с целью ввода в данную оптическую систему. Идеальная линза или система линз не изменяет поперечного распределения поля моды свободного пространства. Иначе говоря, входная основная гауссова мода после прохождения линзовой системы сохраняется, а моды высших порядков преобразуются на выходе в моды тех же порядков. Однако при этом параметры мод Щг) и у (г) претерпят изменения. Рассмотрим соотношение между входными параметрами, обозначаемыми индексом 1, и соответствующим выходными параметрами с индексом 2. [c.59]

Величина ИНН, обратная произведению двух главных радиусов кривизны, называется гауссовой (или второй) кривизной поверхности. Из (34) следует, что в любой точке прямолинейного луча интенсивность пропорциональна гауссовой кривизне волнового фронта, проходящего через эту точку В частности, если все (прямолинейные) лучи имеют одну общую точку, го волновые фронты имеют вид сферических поверхностей с центром в этой точке, тогда Н1= Ri= R[, и мы получим (опуская индексы) закон обратного квадрата расстояния, т. е, [c.122]

Как видим, в этом случае в сагиттальной (м = 0) и тангенциальной (г = 0) плоскостях они имеют вид продольных фокальных ошибок волновой фронт обладает различной кривизной в этих двух плоскостях. Используя общее выражение (4.4), мы видим, что в плоскости, смещенной на расстояние z от гауссовой плоскости, [c.91]

Таким образом, исследование фазового распределения позволяет описать изменение волнового фронта гауссова пучка по мере его распространения вдоль оси от —00 до +00. Сначала, по мере продвижения по оси от — оо волновой фронт все более искривляется вогнутой стороной в направлепии распрострапения волны. Искривленность волнового фронта достигает максимума при zq = —Ь после чего фронт начинает выпрямляться и становится плоским при zq — 0. Далее волновой фронт снова искривляется, теперь уже выпуклостью в направлении распространения волны. Наибольшая искривленность достигается при Zq = Ь, затем кривизна постепенно уменьшается (рис. 1.2, б). [c.16]

Отметим также расположение центра кривизны волнового фронта гауссова пучка. Нри 2 q = — оо он находится в центре перетяжки гауссова пучка г = О, Z = 0. Затем при приближении волнового фронта к перетяжке центр кривизны смегцается в положительном направлении. Когда волновой фронт находится в точке Zq = —6, центр кривизны находится в симметричной точке z = Ь. При дальнейшем смегцении волнового фронта в сторону перетяжки центр кривизны далее смегцается в положительном направлении и при 2 0 = О он уходит в +оо. [c.16]

Диаметр гауссова пучка определяется на уровне, где напряженность поля уменьшается в е раз по сравнению с максимальным значением, до стигающимся на оси пучка. Для конфокального резонатора (г1 = Г2=с1)то = ]/ е1/2п. Кривизна волнового фронта на зеркалах равна кривизне зеркал. На большом расстоянии от гор- [c.285]

М. м. особенно широко используются в теории оптических резонаторов для составления интегральных ур-ыий, к-рым удовлетворяют поля мод резонаторов, и для описания эволюции рождающихся во многих резонаторах пучков с самовосцроизводящейся (сохраняющей свою форму при распространении) структурой, простейишм из к-рых является гауссов. Распределение ноля гауссова пучка ширины w с радиусом кривизны волнового фронта р пропорционально [c.74]

Поскольку операция преобразования Френеля включает в себя свертку с функцией ехр (/nsxV ), то для любого анализа, связанного с преобразованиями Френеля, полезно знать свойства этой функции, В вышеприведенных выражениях параметр s в большинстве случаев интерпретируется как кривизна сферических волновых фронтов. Обобщая это представление, комплексные значения s можно представить себе как значения комплексной кривизны волнового фронта (т. е. сферический волновой фронт с гауссовым профилем интенсивности). [c.34]

Из рассмотренных до сих пор соотношений, связанных с представлением распределения поля конфокального резонатора на рис. 2.9, б, легко видеть, что в рамках использованных приближений для каждого резонатора можно найти эквивалентный конфокальный резонатор. Конфокальный резонатор на рис. 2.9, б построен таким образом, что в определенных местах z = LI2 = Ril2) гауссова пучка расположены зеркала, радиус кривизны которых равен радиусу кривизны волнового фронта светового пучка. Из условия самосогласованности явствует, что введение зеркал не изменяет заданного распределения напряженности поля в гауссовом пучке. Мы можем также вместо конфокальных зеркал поместить зеркала в других местах o nz. Они не изменят распределения поля, если их радиус кривизны будет равен радиусу кривизны волнового фронта в соответствующем месте. При этом схема не должна быть симметричной. Поскольку все эти различные схемы резонаторов приводят к одному и тому же распределению поля, их называют эквивалентными. Вследствие того что конфокальный резонатор обладает простыми, наглядными свойствами, часто для того или иного резонатора стараются найти эквивалентный конфокаль- [c.71]

Таким образом, в реальных ситуациях радиусы кривизны волновых фронтов в точке го для всех эрмит-гауссовых нучков вида (1.91) одинаковы. Это очень существенное обстоятельство, поскольку выгпе было сформулировано простое правило (правило AB D, 1.5) для определения радиуса кривизны волнового фронта простого гауссова пучка (основной моды) у высших поперечных мод радиусы кривизны такие же, как у основной моды. Кроме того, оно показывает, что, если какой-либо один эрмит-гауссов пучок из семейства (1.91) (например, основной с п = m = 0) удовлетворяет граничному условию на зеркале, то и все остальные пучки этого семейства будут удовлетворять тому же граничному условию, правда, при несколько другой частоте и = кс. [c.54]

Разумеется, в комплексном эрмит-гауссовом пучке картина еще сложнее, поскольку там не простые экспоненты, а функции параболического цилиндра. Правда, эти рассуждения существенны для выс-П1ИХ мод, но не для основной. Для основной моды понятие о волновом фронте сохраняет свой простой смысл, и радиус кривизны волнового фронта основной моды определяется формулой (1.81). [c.64]

Рассмотрим теперь кольцевые резонаторы с неплоским контуром. Как мы увидим, модами такого резонатора являются гауссовы нучки, описанные в 1.13. В таких пучках по мере их распрострапения вдоль продольной оси происходит поворот вокруг этой оси главных осей поперечного распределения и направлений главных кривизн волнового фронта. В связи с этим кольцевые резонаторы с неплоским контуром называют также резонаторами с вращением ноля. [c.110]

Как эрмито-гауссовые, так и лагерро-гауссовые моды, реализуемые на практике, характеризуются, как правило, большим значением радиуса кривизны волнового фронта. Поэтому их с хорошей степенью приближения можно отнести к поперечным электромагнитным волновым пучкам вида ТЕМ. С учетом поперечных индексов эти пучки часто обозначаются как пучки ТЕМ или ТЕМр . [c.59]

Преобразование (2.1.36) называют правилом АВСВ. Поскольку преобразование оптическими элементами параметра гауссова пучка д аналогично преобразованию радиуса кривизны волнового фронта К, правилу АВСВ можно придать вид [c.62]

Однако приведенное выше физическое обоснование указанных методов, апеллируюгцее к сходству изменений комплексного параметра гауссова пучка д и радиуса кривизны волнового фронта К, нельзя считать достаточно строгим. Более последовательное и строгое доказательство применимости геометрического подхода можно осуществить, используя формализм расчета полей от источников, расположенных в комплексной плоскости. В рамках этой теории, с которой можно более подробно ознакомиться по монографии [5], гауссов пучок оказывается эквивалентным волне от точечного источника, расположенного в точке с координатами (0,0,-/ ), где / - мнимая единица, Ъ= К Уд1Х. "Сферический характер" такой волны делает более наглядным сходство преобразования в оптических системах сферических волн и гауссовых пучков. [c.63]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...