Отображение лагранжево

Эквивалентность отображений лагранжева 420 [c.472]

Пример 2 [нормальное отображение). Сопоставим каждому вектору нормали к подмногообразию его конечную точку. Получившееся отображение — лагранжево (лагранжево подмногообразие Ь в Т К образовано 1-формами (п,.) в конечных точках нормальных векторов п). [c.26]

А. Определение лагранжевой системы. Пусть М — дифференцируемое многообразие, ТМ — его касательное расслоение, Ь ТМ -V К — дифференцируемая функция. Отображение у К [c.77]

Определение. Лагранжева система (М, Ь) допускает отображение к, если для любого касательного вектора V е ТМ [c.81]

Подставим в формулы предыдущей теоремы в качестве 5 функции из списка простейших лагранжевых особенностей, приведенного в добавлении 12. Получатся лежандровы особенности, сохраняющиеся при малых деформациях лежандрова отображения х, у, г) ь- - (у, г) (т. е. переходящие в эквивалентные при малой деформации функции 8). Всякое лежандрово отображение при тг < 6 малым шевелением превращается в такое, у которого все особенности локально эквивалентны особенностям полученного списка (1 /с < 6), (4 < /с 6), JБg. [c.334]

Г. Пересечения лагранжевых многообразий. Рассуждению Пуанкаре можно придать несколько иную форму, если рассмотреть на каждом радиусе кольца точки, сдвигающиеся чисто радиально. Такие точки есть на каждом радиусе, так как ограничивающие кольцо окружности поворачиваются в разные стороны. Предположим, что нам удалось составить из радиально сдвигающихся точек замкнутую кривую, разделяющую внешнюю и внутреннюю окружности кольца. Тогда образ этой кривой при нашем отображении должен пересекаться с самой кривой (так как области, на которые кривая делит кольцо, переходят в области равной площади). [c.388]

Рассмотрим проекцию нашего п-мерного лагранжева многообразия на п-мерное конфигурационное пространство. Это — гладкое отображение многообразий одинаковой размерности. Оно [c.411]

Чтобы описать лагранжевы особенности, нужно вначале сказать несколько слов об особенностях гладких отображений вообще. Начнем с простейших примеров. [c.415]

Каустики могут иметь сложные особенности, однако, как и в обычной теории особенностей гладких отображений, от слишком сложных особенностей можно избавиться малым шевелением. (Здесь под малым шевелением подразумевается такая малая деформация лагранжева многообразия в фазовом пространстве, при которой это многообразие остается лагранжевым). [c.417]

Заметим, что два лагранжево эквивалентных лагранжевых отображения превращаются одно в другое при помощи диффеоморфизмов в пространстве-прообразе и пространстве-образе (или, как говорят в анализе, приводятся одно к другому заменой координат в прообразе и в образе). Действительно, наш симплектический диффеоморфизм, суженный на лагранжево многообразие, задает диффеоморфизм прообразов диффеоморфизм же конфигурационных пространств-образов возникает потому, что слои переходят в слои. [c.420]

Лагранжево отображение, рассматриваемое в окрестности некоторой выделенной точки, называется лагранжево эквивалентным в этой тючке другому лагранжеву отображению (также имеющему выделенную точку), если существует лагранжева эквивалентность первого отображения в некоторой окрестности первой [c.420]

Теперь мы можем сформулировать классификационную теорему для особенностей лагранжевых отображений в размерностях тг 5. [c.421]

Всякое п-мерное лагранжево многообразие (тг 5) можно сколь угодно малой деформацией в классе лагранжевых многообразий превратить в такое, что отображение проектирования на конфигурационное пространство будет в каждой точке лагранжево эквивалентным одному из лагранжевых отображений приведенного выше списка. [c.421]

В частности, двумерное лагранжево многообразие можно сколь угодно малым шевелением в классе лагранжевых многообразий привести в общее положение , так что отображение проектирования на конфигурационное (двумерное) пространство не будет иметь других особенностей, кроме складок (которые лагранжевой эквивалентностью приводятся к нормальной форме и сборок (которые лагранжевой эквивалентностью приводятся к нормальной форме з). [c.421]

Лагранжевым отображением называется проектирование лагранжева подмногообразия на базу лагранжева расслоения, т. е. тройка V Е В, где первая стрелка — иммерсия лагранжева подмногообразия, а вторая — лагранжево расслоение. [c.449]

Эквивалентностью лагранжевых отображений называется симплектическое отображение пространств расслоений, переводящее слои в слои и первое лагранжево многообразие во второе. [c.449]

Множество критических значений лагранжева отображения называется каустикой. Каустики эквивалентных отображений диффеоморфны. [c.449]

Всякое лагранжево отображение локально эквивалентно градиентному (нормальному, гауссовому). Особенности градиентных (нормальных, гауссовых) отображений общего положения — те же, что у общих лагранжевых отображений. Простейшие из них классифицируются по группам отражений 4 , Е,., Е , Е [c.449]

Теорема (1972). Ростки лагранжевых отображений общего положения многообразий размерности 5 в каждой точке просты не имеют модулей) и устойчивы. Простые устойчивые ростки лагранжевых отображений классифицируются группами отражений [c.450]

Всякое лежандрово отображение локально эквивалентно и преобразованию Лежандра, и фронтальному отображению. Теория лежандровых особенностей есть в точности теория особенностей преобразования Лежандра и волновых фронтов. Эквивалентность, устойчивость и простота лежандрова отображения определяется, как в лагранжевом случае. [c.452]

Дж. Най (I. Куе, 1984)заметил, что не все метаморфозы каустик и фронтов реализуются при движении фронта, определяемом уравнением эйконала (или Гамильтона — Якоби). Например, каустика системы лучей не может иметь вид губ с двумя точками возврата (хотя каустика лагранжева отображения — может). Дело в том, что включение лагранжева или лежандрова многообразия в гиперповерхность, заданную уравнением Гамильтона — Якоби или эйконала, накладывает топологические ограничения на сосуществование, а значит, и на метаморфозы особенностей (особенно в случае невырожденного, например, строго выпуклого по импульсам гамильтониана),— хотя сами по себе особенности реализуются и на гиперповерхности. [c.455]

Источником происхождения расходимости квантовых поправок являются производные по начальным условиям. Эти производные возникли благодаря -формам (3.17), которые имеются в каждом члене -отображения, связанном с квантовыми поправками (см. формулу (5.9)). Выражения, аналогичные -формам, имеют гидродинамическую аналогию. Они возникают при переходе от уравнений гидродинамики в эйлеровой форме к уравнениям гидродинамики в лагранжевой форме. Эта аналогия имеет естественное происхождение. Действительно, квантовомеханические уравнения движения соответствуют уравнениям движения среды, в то время как уравнения для проекции а, а соответствуют уравнениям движения жидкой частицы. Поэтому появление -форм в членах, содержащих квантовые поправки, связано с сохранением в уравнениях (5.8) или (5.25) информации [c.175]

Ясно, что между двумя отображениями движение точки М подчиняется уравнениям Гамильтона в соответствующем четырехмерном фазовом пространстве. Выберем в окрестности тора Т , о котором говорилось выше, особую систему координат. Каждой точке М поставим в соответствие координаты (gi, 2) где qi — расстояние от точки М до ее ортогональной проекции на Г, Q2 — длина дуги 01 . Ясно, что в окрестности Г координаты qi, q2 (mod L) образуют систему лагранжевых координат. Пусть и р2 — соответствующие импульсы, масса М считается равной единице. Ясно, что на Г импульсы р и р2 совпадают с соответствующими скоростями v [c.230]

Определение. Лагранжева система (М, Ь) допускает группу если лагранжиан I инвариантен относительно отображений д. - ТМ- -ТМ. Группу д естественно назвать группой симметрий, а поле V — полем симметрий. [c.91]

Определение. Отображение /о ТМ- Э называется кинетическим моментом лагранжевой системы (ЛГ, I) относительно группы О (или просто моментом, еслн это не приведет к недоразумению). [c.94]

Второй важный пример относится к теории особенностей общих (не лагранжевых) отображений. Пусть многообразие уМ" компактно и jF rAf"--vR — отображение общего положения. [c.206]

Отображение проектирования лагранжева многообразия на конфигурационное пространство будем для краткости называть лагранжевым отображением. Пусть даны два лагранжевых отображения многообразий одинаковой размерности п (соответствующие тг-мерные лагранжевы многообразия лежат, вообще говоря, в разных фазовых пространствах, являющихся кокасательными расслоениями двух разных конфигурационных пространств). Мы скажем, что два таких лагранжевых отображения лагранжево эквивалентны, если существует симплектический диффеоморфизм первого фазового пространства на второе, переводящий слои первого кокасательного расслоения в слои второго и переводящий первое лагранжево лшогообразие во второе. Сам симплектический диффеоморфизм называется тогда лагранжевой эквивалентностью отображений. [c.420]

Эти отображения лагранжевы. Действительно, потенциальное поле скоростей задает лагранжево сечение пространства кокасательного расслоения. Фазовый поток уравнения Ньютона сохраняет лагранжевость. Но это лагранжево многообразие при больших I перестает быть сечением его проекция на базу имеет особенности. Каустики этого отображения — места бесконечной плотности частиц ). Согласно Я. Б. Зельдовичу (1970) аналогичная [c.449]

Пример. Инерциальное движение континуума взаимодействующих частиц может быть описано в терминах однопараметрического семейства отображений ж ж 4- 1у х) (рис. 19). Если поле скоростей и потенциально, то эти отображения лагранжевы. Каустики таких отобра- [c.43]

Существуют различные методы построения криволинейных элементов. На практике наибольшее распространение получил способ отображения первоначально регулярных (прямосторонних) элементов при помощи невырожденного преобразования из локальной (ествст-венкой) системы координат в глобальную. При построении модели прокатки для обеспечения квадратичной аппроксимации скорости и линейной гидростатического давления использовались криволинейные лагранжевы элементы с девятью узлами. Квадратичные функции формы для них в естественной системе координат I, Т1 могут быть получены перемножением соответствующих одномерных функций формы [c.289]

Доказательство можно было бы свести к иссследованию пересечения двух лагранжевых подмногообразий 4п-мерного пространства (R X X X X Т ) с Q — dx / dy — dX / dY, одно ив которых диагональ (Х — X, Y = у), а другое — график отображения А [c.390]

Иными словами, в одну точку Q конфигурационного пространства может проектироваться несколько точек нового лагранжева многообразия. Мы предположим, что этих точек конечное число, и что все они невырождены (т. е. что невыронедена производная отображения проектирования нового лагранжева многообразия на конфигурационное пространство в каждой из точек проектирующихся в заданную точку О). [c.409]

Проектируя лагранжево многообразие на конфигурационное пространство, мы получаем отображение одного гладкого тг-мер-ного многообразия на другое той же размерности. [c.417]

В общей точке это отображение является локальным диффеоморфизмом, однако в некоторых точках лагранжева многообразия ранг дифференциала падает. Такие точки называются особыми. При проекции лшожества особых точек в конфигурационном пространстве образуется видимый контур , который в лагранжевом случае называется каустикой. [c.417]

В частности, каустики двух лагранжево эквивалентных отображений диффеоморфны, поэтому классификация с точностью до лагранжевой эквивалентности влечет за собой классификацию каустик. Одйако классификация с точностью до лагранжевой эквивалентногти, вообще говоря, тоньше, чем классификация каустик, так как из диффеоморфности каустик вообще не вытекает лагранжева эквивалентность отображений. Более того, классификация с точностью до лагранжевой эквивалентности тоньше, чем классификация с точностью до диффеоморфизмов прообраза и образа, так как не всякая такая пара диффеоморфизмов реализуется симплектическим диффеоморфизмом фазового пространства. [c.420]

Заметим, что уже приведенное утверждение о двумерных лагранжевых отображениях не вытекает из классификационной теоремы для общих (нела-гранжевых) отображений. Ибо, во-первых, лагранжевы отображения составляют среди всех гладких отображений весьма узкий класс, и поэтому могут иметь (и действительно имеют при и > 2) в качестве типичных для лагранжевых отображений такие особенности, которые для отображений общего вида нетипичны. Во-вторых же, из возможности привести отображение к нормальной форме диффеоморфизмами прообраза и образа еще не следует возможность такого приведения с помощью лагранжевой эквивалентности. [c.421]

Можно предполагать, что и другие пуассоновы (в частности, симплектические) структуры на базах версальных деформаций особенностей, индуцированные из формы пересечений инфинитези-мально устойчивыми отображениями периодов, определяются естественными условиями на ранги ограничения пуассоновой структуры на страты дискриминанта (с точностью до сохраняющих бифуркационное множество диффеоморфизмов). Естественное условие в разобранном выше трехмерном примере состоит в том, что линия самопересечения ласточкина хвоста лежит в симплектическом слое. В четырехмерном пространстве аналогичную роль, видимо, играет условие лагранжевости многообразия многочленов с двумя критическими точками с критическим значением нуль в симплектическом пространстве многочленов ж 4- -Ь -Ь + ЯдЖ -Ь Я4. [c.434]

Пр и м е р ы. 1. Градиентное отображение д>- д81дд. 2. Нормальное отображение вектору нормали к подмногообразию евклидова пространства сопоставляется его конец. 3. Гуассово отображение точке трансверсально ориентированной поверхности евклидова пространства сопоставляется орт нормали (соответствующее лагранжево многообразие образовано самими нормалями). [c.449]

Е. Тангенциальные особенности. Первые приложения, ради которых и была развита (около 1966 г.) теория лагранжевых и лежандровых особенностей, относились к коротковолновым асимптотикам, в том числе — асимптотикам осциллирующих интегралов. Обзор этих приложений (вплоть до нахождения равномерных оценок интегралов при слиянии точек перевала, вычисления асимптотик через многогранники Ньютона, построения смешанных структур Ходжа, применений в теории чисел и теории выпуклых многогранников, оценок индекса особой точки векторного поля и числа особых точек алгебраической поверхности) можно найти в книге Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 2 Монодромия и асимптотики интегралов.— М. Наука, 1984, и в докладе АрнольдВ.И. Особенности систем лучей. Международный конгресс математиков в Варшаве, 1983. [c.456]

Ж. Задача об обходе препятствия. Рассмотрим в евклидовом лространстве препятствие, ограниченное гладкой поверхностью. Задача об обходе препятствия состоит в исследовании особенностей кратчайшего расстояния от переменной точки пространства до фиксированного начального множества в обход препятствия. (См. Гивенталь А. Б. Особые лагранжевы многообразия и их лагранжевы отображения // Современные проблемы математики. Новейшее достижения.— 1988.— Т. 33, ВИНИТИ. С. 55—112). [c.460]

Вопросы понижения порядка гамильтоновых систем подробно обсуждаются в [23], [34] (см. также [168]). Относительно понижения порядка по Раусу лагранжевых систем см. [121], [124]. Работа [38] содержит детальное исследование отображения энергин-момеита. [c.291]

Эта теорема справедлива для любой теории особенностей и гладких бордизмов (лагранжевых, лежандровых, обычных гладких отображений. ..), единственное ограничение состоит в том, что dim Ai dim N. Утверждения 4, 5 основной теоремы п. 2.2, относящиеся к кобордизмам расслоений, также обобщаются на случай мультиособениостей (в них надо использовать всевозможные пересечения множеств 2(f), определяемых по функци- [c.219]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...