Многообразие дифференцируемое

Поэтому в общем случае на ГЛ вводят целое семейство систем координат (карт), каждая из них покрывает нек-рую область Г. (координатную окрестность). На пересечении любых двух координатных окрестностей, где имеют смысл сразу две системы координат, переход от одной из них к другой описывается с помощью гладких (бесконечно дифференцируемых) ф Ций. Операция умножения в Г. и переход к обратному элементу в любой системе координат описываются гладкими (бесконечно дифференцируемыми) ф-циями. Сказанное можно сформулировать след, образом ГЛ — это группа, к рая одновременно является гладким многообразием, причём групповая структура согласована со структурой многообразия. [c.543]

Деформация. Тело fB назовем трехмерным дифференцируемым многообразием. Точки тела Ш можно идентифицировать при помощи трех действительных чисел М . Одно-однозначная [c.15]

Это означает, что для данных (г, ) и (у, ) в С существует такое g, что (у, )= >, я). Мы предполагаем, что Г и —дифференцируемые многообразия. П [c.179]

Можно отметить ряд новых направлений в современной математике, обладающих потенциальными возможностями применения к исследованию проблем механики. Данные направления в известной мере примыкают к тензорным дифференциально-геометрическим методам и теории римановых пространств, но в то же время связаны и с развивающимися за последние десятилетия новыми областями. Из них можно назвать теорию дифференцируемых многообразий, теорию расслоенных пространств, теорию внешних форм Картана и связанные с ней симплектические методы (например в гамильтоновой механике). [c.15]

Касательное пространство. Пусть М — дифференцируемое многообразие и Касательным вектором к М в точке р называется отображение V, обладающее следующими свойствами [c.51]

Пусть F — вещественное векторное пространство размерности т. Дифференцируемым векторным расслоением со слоем F называется тройка т]=( , JX, М), где М — многообразие размерности п, база расслоения Е—(п+ )-мерное многообразие, расслоенное пространство п — отображение Е- М, называемое проекцией Е на Л1, причем п р) гомеоморфно пространству F для всех р М. F=n p) называется слоем над точкой р. [c.52]

Дифференциальные уравнения второго порядка на многообразии. Для дифференцируемого многообразия ТМ можно в свою очередь построить касательное расслоение ТТМ, представляющее собой 4п-мерное многообразие. Его введение позволяет решать задачи дифференциальной геометрии и аналитической механики, в которые входят производные второго порядка, сводя их к задачам первого порядка. [c.53]

Пусть М — дифференцируемое многообразие, ТМ — касательное расслоенное пространство, Т — дифференцируемая функция на ТМ. Определим на ТМ замкнутую дифференциальную форму [c.57]

В статье рассматривается применение теории дифференцируемых многообразий к лагранжевой динамике. В статье [8] автора рассмотрены необходимые математические понятия и операции. Введение фундаментальной формы на касательном расслоенном пространстве задает на нем симплектическую структуру и позволяет задать лагранжеву динамическую систему, соответствующую голономной склерономной механической системе, как векторное поле на касательном расслоенном пространстве. [c.69]

Множество М называется конфигурационным многообразием механической системы, если указанное соответствие дифференцируемо в обе стороны (под дифференцируемостью понимается /г-кратная непрерывная дифференцируемость, при этом конкретное значение к несущественно). [c.106]

Поскольку найденное условие каноничности замены содержит ограничения на производные от уравнений замены, то оно носит название локального критерия каноничности. Локальный критерий каноничности выделяет в множестве всех дифференцируемых замен многообразие второго порядка канонических замен. [c.294]

Прикладные способы решения задач динамической оптимизации обтекания. Пусть в текущее выражение для мощности сил сопротивления управляющие воздействия в явном виде не входят. Тогда текущее значение мощности сил сопротивления должно однозначно определяться реализовавшейся частью фазовой траектории системы. В этой ситуации задачи динамической оптимизации первого типа редуцируются к классическим вспомогательным задачам стандартно [10]. В таких задачах динамические ограничения состоят из уравнения для работы сил сопротивления и кинематических связей механической системы. Роль управлений берут па себя импульсы — производные обобщенных координат. Так построенная вспомогательная задача по форме принадлежит к числу задач классического вариационного исчисления и для ее исследования может быть применен аппарат, изложенный в подразделе 4.2. Так оно и есть в тех случаях, когда система состоит из тел с гладкой поверхностью. Если в ее состав входят тела с кусочно-гладкой поверхностью (например, цилиндрические тела), то в пространстве обобщенных координат и скоростей исходной задачи появляются многообразия, на которых проекция этих тел на плоскость, перпендикулярную вектору скорости их центра масс, а следовательно, и гамильтониан теряет свойство дифференцируемости. Оптимальные управляющие силы и моменты находятся из уравнений динамики рассматриваемых систем. [c.41]

Линейное многообразие (/[О,Г] финитных дважды непрерывно дифференцируемых функций на сегменте [О, Т] плотно в 1/2[О, Г], и для каждого элемента /( ) 0[0,Т] также выполняется равенство (3.48). [c.76]

Определим тело В (сплошную среду) как трехмерное дифференцируемое многообразие [4]. Точки этого многообразия будем называть частицами X. Конфигурацией Н тела В назовем гладкий гомеоморфизм В в область трехмерного евклидова пространства М . Таким образом, наименование частиц связано с одной из таких конфигураций. [c.636]

Более общо, если компактная ориентируемая гладкая поверхность М не гомеоморфна сфере и тору, то уравнения движения не имеют нового интеграла Г[р,д), являющегося бесконечно дифференцируемой функцией на Т М, аналитической при фиксированных д Е М на кокасательных плоскостях Т М и имеющей конечное число различных критических значений. Полиномиальные гю скоростям функции представляют распространенный пример интегралов, аналитических по импульсам р. Количество различных критических значений гладкой функции на компактном многообразии конечно, если, например, все критические точки изолированы или критические точки образуют невырожденные критические многообразия. [c.135]

Об одном классе нестационарных уравнений в банаховом пространстве на дифференцируемом многообразии. Аннотации докл. семин. Ин-та прикл. матем. Тбилисского ун-та, № 2 (1969), 53—63. [c.646]

Говорят, что на множестве М задана структура дифференцируемого многообразия, если М снабжено конечным или счетным набором согласованных карт, которые вместе покрывают все М [8-10]. [c.9]

Фазовый поток. Развитие геометрических идей преобразило современную математику. Возникли новые понятия — дифференцируемые многообразия, расслоенное пространство, алгебра Ли, группы Ли, векторы [c.258]

Предположим, что на множестве М задана структура дифференцируемого многообразия (см. лекцию 1). На перекрытии двух карт связь между двумя множествами координат х и х ( 1 = О, 1, 2, 3) определяется функциями перехода х = х х , х , х , х ). [c.357]

Основной результат состоит в следующем указаны условия и способ выбора управления и, обеспечивающие. завершение преследования за время, не большее, чем некоторая оцениваемая величина Т. Здесь трудно описать подробно соответствующие формальные математические конструкции, на которые опираются эти результаты и основой которых является построение специального дифференцируемого отображения со некоторого многообразия 8 в фазовое пространство л задачи (условия достаточной регулярности этого отображения и определяют в значительной мере условия разрешения задачи). Однако пренебрегая тонкостями, используемую конструкцию можно охарактеризовать следующим образом. Из каждой точки многообразия М, на которое требуется привести движение х t) (i), г (i) , выпускается в сторону убывания времени г некоторая траектория х t) ( <0, х (0) = являющаяся [c.226]

Конфигурационное пространство системы со связями является дифференцируемым многообразием. В этом параграфе приведены простейшие сведения о дифференцируемых многообразиях. [c.72]

А. Определение дифференцируемого многообразия. На множестве М задана структура дифференцируемого многообразия, если А1 снабжено конечным или счетным набором карт, так что каждая точка изображена хотя бы на одной карте. [c.72]

Дифференцируемое многообразие есть класс эквивалентности атласов. Мы будем рассматривать только связные многообразия ). Тогда число п для всех карт одно и то же — оно называется размерностью многообразия. [c.73]

Определение. Дифференцируемое многообразие М с фиксированной положительно определенной квадратичной формой <1, в каждом касательном пространстве ТМ называется [c.76]

Е. Производная отображения. Пусть / М - N — отображение многообразия М в многообразие N. Отображение / называется дифференцируемым, если в локальных координатах на М [c.76]

А. Определение лагранжевой системы. Пусть М — дифференцируемое многообразие, ТМ — его касательное расслоение, Ь ТМ -V К — дифференцируемая функция. Отображение у К [c.77]

Ясно, что диффеоморфные многообразия гомеоморфны. Обратное, однако, неверно. Существуют экзотические сферы н другие многообразия, дифференцируемая структура которых не диффеоморфна обычной дифференцируемой структуре. Заметим, что погружение не обязательно должно быть инъективным, например, единичная окружность в может рассматриваться как погружение прямой. Но даже инъективно погруженное многообразие не обязательно является топологическим подмногообразием. Например, орбиты потока с нетривиальной возвра-щаемостью являются погружениями прямых, но топология, индуцированная погртаением на нетривиальной возвращающейся орбите (такой как орбита линейного потока на Т с иррациональным угловым коэффициентом), отличается от топологии, индуцированной объемлющим пространством. Однако мы будем называть такие объекты погруженными подмногообразиями. [c.704]

Рис. 3. Движение точки по поверхности, гладкой в смысле непрерывной дифференцируемости (для простоты — бесконечной) и гладкой в смысле нешероховатой сила реакции, удерживающая точку на поверхности, ей ортогональна (идеальная связь). Движение системы материальных точек со связями также можно интерпретировать как движение некоторой точки по многообразию положений в евклидовом пространстве высокой размерности

В методе Гамеля иная картина процесс вывода проходит без привлечения уравнений связей, в уравнениях движения фигурирует первоначальная кинетическая энергия, выраженная через все неголономные скорости. При составлении уравнений движения по записи Гамеля дифференцируется первоначальная кинетическая энергия, после чего все зависимые скорости заменяются их выражениями через независимые. Г. Н. Космодемьянская, которой принадлежат некоторые главы в нашей монографии Основы механики неголономных систем , показала, что в случае полной склерономности системы, когда кинетическая энергия представляет собой чисто квадратическую форму второго измерения, уравнения движения составляются в обоих случаях идентичные. Случай реономных систем требует особого исследования на основе современных методов — теории дифференцируемых многообразий. Нами предложен в данном -случае метод нормальных неголономных координат , т. е. использование таких независимых -неголономных -скоростей, при данных неголономных связях, через которые кинетическая энергия выражалась бы в квадратической форме от скоростей, без удвоенных их произведений, -п-р-ичем в левые части уравнений должны все входить тоже только раздельно. Тогда результат дифференцирования будет один и тот же обоих случаях, независимо от того, когда полагаются нулю зависимые [c.7]

Касательное и кокасательное расслоения. 2п-мерное дифференцируемое многообразие ТМ, являющееся объединением всех касательных пространств в точках многообразия TM = UTpM, называется касательным расслоенным пространством. Касательное расслоение представляет важный пример дифференцируемого векторного расслоения [5. [c.52]

Пусть М — дифференцируемое многообразие, TM = UTpM. Касательное расслоение г=(ТМ, я, М) является примером векторного расслоения, где М — база расслоения ТМ — расслоенное пространство л ТМ- М — естественная проекция ТМ на М. [c.52]

Векторные поля. Пусть М — п-мерное дифференцируемое многообразие, ТМ — касательное расслоенное пространство. Отображение Х М- ТМ, сопоставляющее каждой точке р М касательный вектор v TpM, называется векторным полем на М. Если тс ТМ- М — проекция касательного расслоения, то для любого векторного поля тсоХ М- - М — тождественно. Так как касательные пространства ТрМ являются векторными пространствами, векторные поля можно складывать, ум- [c.52]

Рассматриваются математические понятия и операции на дифференцируемых многообразиях, необходимые для применения теории дефференцируемых многоообразий к лагранжевой динамике. Построение второго касательного расслоения и введение на нем специального дифференциального исчисления, предложенного Ж. Клейном, позволяет ввести симплектическую структуру на касательном расслоении конфигурационного пространства механической системы. [c.123]

Рассматривается применение теории дифференцируемых многообразий к лагранжевой механике. Введение симплектической структуры на касательном расслоении конфигурационного пространства позволяет задать лагранжеву динамическую систему, соответствующую голономной склерономной механической системе как векторное пол з на касательном расслоенном пространстве. Обобщение этих понятий на более сложныс неголономные системы, требующее ряда дополнительных построений, составляет основное содержание статьи. [c.127]

Начнем с аксиоматического определения скобки Пуассона, идея которого восходит, по-видимому, к Дираку [193]. Пусть М — четномерное многообразие. Множество всех бесконечно дифференцируемых функций f М R обозначим С М). Симплекти-ческой (канонической) структурой Е М называется билинейное отображение , С М) х С М) —> С М), удовлетворяющее следующим условиям [c.19]

Замечание. Пусть М — гладкое многообразие, иг — гладкое поле на нем. Если множество Г всюду плотно в М, то любое дифференцируемое поле симметрий и линейно зависимо с полем V во всех точках М. Если, кроме того, v ф О, то и = Xv, X = onst. Доказательство очевидно. [c.223]

Нусть на расширенном фазовом пространстве М задана структура дифференцируемого многообразия хп, ), (4, )—локальные координаты в двух картах, п = 1,. .., 2з. Положим = На перекрытии двух карт связь между координатами— 2 = Хп г[, или [c.264]

Являясь в большой мере универсальной, теория динамического про-траммирования в то же время обладает рядом недостатков. Поэтому она подвергалась известной критике, отмечавшей, в частности, что, в отличие, например, от принципа максимума, являюш,егося строгой математической теоремой с явно очерченными границами приложимости, дифференциальная форма принципа оптимальности, выражаемая уравнениями (13.2), такой строгой математической теоремой не является (по крайней мере, если использовать ее в качестве необходимого критерия оптимальности). Дело в том, что обычный вывод уравнения (13.2) опирается на предположение о непрерывной дифференцируемости функции F, которое в конкретных случаях трудно обосновать априори. Более того, известно, что для многих типичных задач о синтезе оптимальных систем функция V -заведомо не является непрерывно дифференцируемой (впрочем, точки нерегулярности функций V заполняют в фазовом пространстве д лишь некоторые исключительные многообразия). Пример таких задач доставляет, например, проблема предельного быстродействия линейной системы лри ограничениях Мг < N на модули координат щ управляюш,его воздействия и [д ]. Точки X в пространстве а , при пересечении которых релейное управление и [а (т)] меняет скачком свои значения, как раз и составляют поверхности, где функция V [х] оказывается нерегулярной. [c.205]

Лагранжева механика описывает движение механической системы при помощи конфигурационного пространства. Конфигурационное пространство механической системы имеет структуру ди ференцируемого многообразия. На дифференцируемом многообразии действует группа диффеоморфизмов. Основные понятия и теоремы лагранжевой механики (даже если они и формулируются в терминах локальных координат) инвариантны относительно этой группы ). [c.52]

Б этой главе вводятся понятия дифференцируемого многообразия и касательного расслоения. Функция Лагранжа, заданная на касательном расслоении, определяет на многообразии лагран-жеву голономную систему . Частньиш случаями являются системы материальных точек, стесненных голономными связями например маятник или твердое тело. [c.70]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...