Кривизна риманова

Кривизны тензор этой связности определяет кривизну риманова пространства, характеризующую его отличие от евклидова. [c.395]

Кривизной риманова многообразия М в направлении 2-плоскости Ь в касательном пространстве к М в точке х называется риманова кривизна описанной выше поверхности в точке х. [c.272]

Вообще говоря, кривизны риманова многообразия по разным двумерным направлениям в одной точке различны. Их зависимость от направления описывается приведенной ниже формулой (3). [c.273]

Теорема. Кривизна риманова многообразия по двумерному направлению, определенному парой ортогональных векторов т] длины 1, выражается через тензор кривизны О по формуле [c.273]

Уравнение Якоби. Кривизна риманова многообразия тесно связана с поведением его геодезических. В частности, рассмотрим геодезическую, выходящую из какой-либо точки по какому-либо направлению, и немного изменим начальные условия, т. е. начальную точку и начальную скорость. Новые начальные условия определят новую геодезическую. Эта геодезическая вначале мало отличается от исходной. Для исследования отклонения полезно линеаризовать вблизи исходной геодезической дифференциальное уравнение геодезических. [c.274]

Очень важный изометрический инвариант — секционная кривизна риманова многообразия. Вообще говоря, тензор кривизны риманова многообразия определяется равенством Л(г , V, ы) = - V V ul - Секционная кривизна двумерной плоскости П [c.712]

О тензоре кривизны риманова пространства и обобщение тео- [c.461]

Взаимодействие материи. Материальные объекты, расположенные в разных частях пространства, взаимодействуют, т. е. движение одних материальных объектов зависит от наличия других материальных объектов и их движения таковы, скажем, гравитационные, электрические, магнитные и иные взаимодействия. Физическая природа этих взаимодействий связана с понятием о физических полях, которое не укладывается в исходные представления классической механики. Так, например, с точки зрения общей теории относительности гравитационные взаимодействия материи являются следствием того, что время и пространство взаимосвязаны в единый четырехмерный континуум пространство-время , что этот континуум подчиняется законам не евклидовой, а римановой геометрии, т. е. что он искривлен , и что локальная кривизна в каждой его точке зависит от распределения материальных объектов и их движения. Таким образом, физические причины гравитационного взаимодействия материи тесно связаны с такими свойствами пространства и времени, которые не учитываются в исходных предположениях классической механики. [c.41]

А н ос о в Д. В., Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, Тр. матем. инст. им Стек-лова 90 (1967). [c.381]

В римановом пространстве как раз таким образом, как представлял себе это Герц для механических систем, свободных от потенциальной энергии. Единственная разница заключается в том, что в системе Герца риманова кривизна пространства конфигураций создается кинематическими условиями, наложенными на скрытые движения системы, а в теории Эйнштейна риманова структура физического пространственно-временного континуума является внутренним свойством геометрии мира. [c.159]

Самый известный пример системы Аносова с непрерывным временем — геодезич. поток на компактной поверхности М постоянной отрицат. кривизны. Фазовое пространство этой ДС образовано всеми касательными к М векторами длины 1, каждый из к-рых движется с единичной скоростью вдоль определяемой им геодезической линии. К геодезич. потоку приводится гамильтонова система с гамильтонианом H=T+V, если Т квадратично зависит от импульсов, а V зависит только от координат. Соответствующая риманова метрика определяется гамильтонианом, но отрицательная кривизна появляется лишь при Н спец. вида. [c.632]

Пространственное метрическое тензорное поле будем обозначать gij. Оно не зависит от времени (эффектами, рассматриваемыми в общей теории относительности, пренебрегаем) и удовлетворяет условию равенства нулю всюду риманова тензора кривизны, построенного на ga, так как рассматривается евклидово пространство. Расстояние между парой соседних точек дается формулой (12.9). [c.390]

Гипотеза о том, что ньютоново движение определяется в неевклидовом пространстве, приводит к вполне естественным вопросам относительно природы и свойств риманова пространства в присутствии очень большого числа притягивающих тел, находящихся в пределах наблюдаемой вселенной. Какова кривизна и размеры или протяженность этой замкнутой поверхности пространства Связаны ли метрические свойства этого пространства с количеством, характеристиками и относительным распределением соответ- [c.84]

Для перехода от структуры с топологией искривленного трехмерного пространства к структуре материала с топологией в трехмерном пространстве вводят дефекты в виде ряда дисклинационных линий. Присутствие дисклинаций в материале приводит к римановой кривизне кристалла и изменяет его симметрию (рис. 4.5). Лихачев и др. [6] определили строение аморфного вещества как искривленное пространство Римана, что предполагает наличие в аморфных сплавах симметрии 5-го порядка или специфических дисклинаций наклона. На рис. 4.5 сопоставлены структуры идеального кристалла и кристалла с дисклинациями. [c.128]

Решающую роль в переходе от систем статистической механики с числом частиц порядка 10 к системам с небольшим числом степеней свободы, помимо работы Э. Ферми, Ж. Паста и С. Улама [450], сыграли работы о движении свободной материальной частицы в римановом пространстве отрицательной кривизны (задача о геодезических линиях, ведущая свое начало от работы Ж. Адамара 1889 г. [485]), а также так называемые бильярдные задачи [88, 205, 326]. [c.83]

Динамические системы с гиперболическими структурами аналогичны системам, рассматриваемым и ранее символической динамикой [88, 588], и, в первую очередь, системам, описываюш им движение по инерции материальной точки в римановом пространстве отрицательной кривизны [363]. Однако при этом объем движущейся фазовой частицы не обязательно сохраняется он может уменьшаться, и система может быть диссипативной. [c.85]

Таким образом, отмечаем, что тензор Римана является показателем искривленности (показателем наличия масс и поля тяготения) риманова пространства. Более того, нулевой характер тензора кривизны в плоском пространстве-времени Минковского не может быть изменен никаким преобразованием координат. Следова- [c.454]

Кроме того, так как полная кинетическая энергия при стационарном движении постоянна, то, очевидно, s = v постоянна в соответствующем римановом многообразии V. Отсюда, согласно 108, при стационарном движении вектор силы Q равен произведению вектора геодезической кривизны однопараметрической подгруппы а (h) на постоянную Следовательно, сила, действующая на твердое тело при его стационарном движении в идеальной жидкости, пропорциональна вектору геодезической кривизны соответствующей однопараметрической подгруппы евклидовой группы V при надлежащей лево-инвариантной метрике в группе V. А эта лево-инвариантная метрика определяется во всех точках уже рассмотренными в 100—102 инерциаль-ными коэффициентами Tij (0). [c.221]

Следовательно, для существования стационарного движения частицы в некотором римановом групповом многообразии О вдоль Еь требуется внешняя сила (44 ). Другими словами, лй (суммирование по /, но не по А) есть геодезическая кривизна однопараметрической подгруппы ехр (Ен) на группе О. Если мы выберем нормальный ортогональный базис Е, . .., Еп в метрике < 5 при О, то эта кривизна будет равняться просто с/, [c.226]

Инвариант, различающий римановы метрики, называется римановой кривизной. Риманова кривизна плоскости равна нулю, а кривизна сферы радиуса Е равна Если одно риманово многообразие изометрически отображено на другое, то римановы кривизны в соответствующих местах равны. Например, поскольку конус или цилиндр локально изометричны плоскости, то риманова кривизна конуса или цилиндра в любой точке равна 0. Следовательно, никакую область на конусе или на цилиндре нельзя отобразить изометрически на сферу. [c.266]

Форма О называется тензором кривизны риманова многообразия. Таким образом, тензор кривизны описывает инфинитезималь-ный поворот касательного пространства при параллельном перенесении вокруг бесконечно малого параллелограмма. [c.272]

Геодезический поток на римановом многообразии может быть потоком Аносова, даже если кривизна римановой метрики не всюду отрицательна. Клингенберг получил условия иа риманову метрику, необходимые для того, чтобы геодезический поток был потоком Аносова (например, отсутствие сопряженных точек), и, в свою очередь, необходимые условия иа гладкие многообразия, допускающие такие метрики (которые подобны необходимым условиям существоваиия метрик отрицательной кривизны). Обзор некоторых результатов такого рода н дальнейшие ссылки содержатся в конце [158]. [c.735]

Замечание. Теоремы 19—20 справедливы и в неориеити-руемом случае, если дополнительно исключить проективную плоскость RP и бутылку Клейна К. Действительно, стандартное регулярное двулистное накрытие N->-M, где N — ориентируемая поверхность, индуцирует натуральную систему на N, которая обладает дополнительным интегралом, если новый интеграл есть у системы на М. Остается заметить, что род поверхности N больше 1, если М негомеоморфиа RP и К. А Пусть Л —гауссова кривизна римановой метрики Мопертюи (ds) = 2(h + V)T(dt) на М. Согласно формуле Гаусса—Бонне (Р. О. Bonnet) [c.265]

Когда мы в рассмотренном выше примере с лифтом переходим от локально инерциальной (сопутствующей кабине лифта) системы к системе, связанной с Землей, находящееся в лифте тело приобретает ускорение, обусловленное полем тяжести при этом в новых координатах квадрат интервала ds представляется в форме (68). Основополагающая идея Эйнштейна заключается в том, что отличие составляющих метрического тензора rs ) от brs объясняется полем тяготения, которое, таким образом, делает геометрию иространственно-временного континуума римановой геометрией. Если ири этом тензор grs) таков, что вычисленный по нему тензор кривизны обращается в нуль в протяженной области иространственно-временного континуума, то в этой области существуют такие координаты (л -), в которых квадрат интервала допускает представление (66). В исходной системе координат (x,j составляющие тензора (grs) характеризуют тогда специальное поле тяготения, называемое полем сил инерции. Может случиться, однако, что тензор кривизны не обращается в нуль в протяженной области пространственно-временного континуума, — в этом случае составляющие тензора (grs) определяют истинное поле тяготения, созданное распределенными в этой области материальными телами. Истинное поле тяготения нельзя устранить во всей области никаким преобразованием координат, которого в этом случае попросту не существует. В этом заключается фундаментальное отличие истинных полей тяготения от полей сил инерции эти поля эквивалентны только локально ( в малом ), но отнюдь не глобально ( в большом ). [c.477]

К. п.— существепное понятие в римановой геометрии и обшей теории относительности, где с её помощью определяются геодезическая линия, параллельпый перенос и кривизны тензор. Важную роль играет К. п. в теориях калибровочных полей, электродинамике, теории Янга — Миллса полей и т. д. Напр., в электродинамике эл.-магн. и заряж. поля описываются комплексными ф-циями А х) и г() л ), наблюдаемые величины не меняются при калибровочных преобразованиях [c.390]

КРИВИЗНА — количеств, характеристика, описываю-шая отклонение кривой, поверхности, риманова прост-ранстма и др. соответственно от прямой, плоскости, свк-лндона пространства п др. Обычно понятие К. вводится лока. п>но, т. е. в каждой точке. В декартовых координатах г — (л, у) плоская кривая задаётся параметрически r = r t). a i b (для кривой, заданной ф-цией у—1 .г), параметром служит координата х). Среди всех возможных параметров наиб, удобен натуральный, [c.491]

КРИВИЗНЙ ТЕНЗОР (Римана тензор) — локальная характеристика кривизны в римановой геометрии. К. т. определяют с помощью процедуры параллельного переноса вектора вдоль замкнутой кривой в римановом пространстве. Параллельным (ковариантно постоянным) вдоль кривой t) наз. векторное поле F (ж), для к-рою обращается в пуль коварианткая прои.- вод-пая Vf по направлению скорости кривой x =dx jdt. [c.491]

Отметим, что риманова метрика на 4-мерном (га = 1) гиперкэлеровом многообразии имеет антиавтодуальную ферму кривизны и автоматически удовлетворяет ур-нию Эйнштейна (см. Тяготение). Само гиперкэлерово многообразие ваз. в атом случае гравитац. инстантоном, чем подчёркивается, что речь идёт не о метрике Минковского, а о евклидовой версии общей теории Относительности. [c.521]

Напомним, что в псевдоевклидовом пространстве-времени Минковского 3 = с (И— (1х + 2 +с х ). Риманово пространство позволяет использовать кривизну К (точнее, скалярный инвариант К тензора кривизны в качестве функции Лагранжа с последующим при- [c.446]

Пространство-время Минковского в согласии с работой [210] является частным случаем четырехмерного риманова пространства. Поскольку все метрические коэффициенты псевдоевклидова пространства постоянны, то это означает, что все соответствуюш ие скобки Кристоффеля тождественно равны нулю. Отсюда тензор кривизны Римана (Римана-Кристоффеля) равен нулю и пространство-время Минковского в этом смысле становится плоским, если воспользоваться аналогией с евклидовой плоскостью. [c.454]

Аналогичные формулы справедливы во всяком римановом пространстве V. В частности, Q преобразуется как (контравари-антный) вектор, а ее нормальная составляющая равна произведению вектора геодезической кривизны на v . Следовательно, задачи динамики инерциальных лагранжевых систем эквивалентны геометрическим задачам. [c.216]

Теперь мы выведем формулу для геодезической кривизны однопараметрических подгрупп произвольного риманового группового многообразия. Этот результат, между прочид , представляет интерес и в геометрии групп Ли — это еще одно свидетельство того, что вся математика по существу едина. [c.221]

Поля Киллинга на Л/" образуют алгебру Ли размерности к n(ii- -1)/2, причем равенство имеет место для римановых многообразий постоянной кривизны. Например, на двумерных сферах а = onst в евклидовом пространстве = ж поля е х х, е = onst, являются киллинговыми. Их алгебра Ли изоморфна алгебре so(3). [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...