Потенциальная энергия в прямоугольных координатах

Расположим координатные оси вдоль наружных краев прямоугольной пластинки тогда выражения для максимальных кинетической и потенциальной энергий в безразмерных координатах х и у будут иметь вид [c.85]

Для того чтобы выразить потенциальную энергию через производные координат по времени ( , мы должны сначала найти преобразование, при котором прямоугольные координаты переходят в новые координаты Q . Из фиг. 54 [c.162]

Здесь удельная энергия э является функцией к при постоянном расходе Q. Это дает возможность графически изобразить функцию удельной энергии сечения в прямоугольных координатах (рис. VII.2). Для этого откладываем по вертикали (глубине потока) потенциальную энергию к и кинетическую энергию aQ 2g(i) , а по горизонтали полную удельную энергию сечения э. [c.131]

За обобщенную координату нельзя выбрать высоту центра масс, потому что обобщенная координата должна однозначно определять положение системы, а каждому положению центра масс соответствуют два положения системы. Угол поворота стержня вокруг вертикальной оси можно принять за обобщенную координату, но удобнее в качестве таковой выбрать угол наклона нитей к вертикали, так как через этот угол легко выразить потенциальную энергию системы. Построим прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Пусть в произвольное мгновение i угол поворота стержня был а, а угол наклона нитей O (рис. 135, б). Спроецируем стержень на горизонтальную плоскость кОу (рис. 135, в). Равнобедренный треугольник M"OMi и прямоугольный треугольник NiM M (рис, 135, б) имеют равные стороны М М = [c.286]

Отсюда Xi определяются как линейные функции от qk с коэффициентами, зависящими от Ж1,. .., или, в силу условий (34.2) и (34.2а), от 1,. .., Кинетическая энергия Т, являющаяся однородной квадратичной функцией от Х (как и в исходных прямоугольных координатах), будет также однородной квадратичной функцией от qk с коэффициентами, зависящими от qj . Потенциальную энергию V мы будем вначале считать зависящей только от координат qk. Впрочем, в целях дальнейших обобщений, в нашем рассмотрении мы не исключаем принципиально возможной зависимости функции V от qk. В связи с этим дополним определение (33.13) функции Лагранжа в том смысле, что L следует рассматривать как функцию от qk и qk. [c.248]

В этой задаче приложенной силой является сила тяжести, имеющая потенциал. Запишем для нашей системы потенциальную энергию V, минимум которой нужно найти. Направим ось х горизонтально, а ось у — вертикально вниз и обозначим через Х/. и у/ прямоугольные координаты концов стержней, а через — длину А-го стержня [c.104]

В дальнейшем мы будем предполагать, что имеем дело с движением частицы в поле с потенциальной энергией V. В качестве координат выберем обычные прямоугольные координаты X, у, Z. В следующем пункте будет показано, что все наши выводы применимы и к движению произвольных механических систем. [c.303]

Этот принцип сходен с принципом Якоби (5.6.12), если только в последнем опустить член с потенциальной энергией V. Кроме того, ds —это уже не линейный элемент трехмерного пространства, а элемент (9.3.8) четырехмерного пространства. Минковского. Предположим, что с помощью некоторого точечного преобразования мы переходим от прямоугольных к произвольным криволинейным координатам. Тогда тот же самый линейный элемент ds примет форму (1.5.16), с суммированием от 1 до 4 13 [c.371]

Как и в 3.8, будем постулировать существование функций А, Ф и Р. Эти функции состояния не зависят от выбора системы координат, так что функционал (3.69) инвариантен. Следовательно, если принцип стационарности потенциальной энергии выведен в прямоугольных декартовых координатах, то его можно записать и в произвольной криволинейной системе координат через Ф с использованием закона преобразования де( рмаций (4.61), соотношений деформации—перемещения (4.40) и правила преобразования компонент перемещений [c.116]

Поскольку г лишь бесконечно мало отличается от а, вместо этого выражения можно взять само выражение (150). Мы должны еще вычислить, насколько уменьшается число этих пар молекул силой отталкивания. Подставив в формуле (142) вместо р прямоугольные координаты центров молекул, мы найдем, что число систем, для которых они лежат в определенных элементах объема Оц,. .., пропорционально. .., причем означает потенциальную энергию, производная которой по координатам с обратным знаком дает силы, стремящиеся увеличить эти координаты. Для наших пар молекул Уд является функцией только г, а именно, она равна интегралу от / г)йг с обратным знаком. Как только расстояние между центрами двух молекул. [c.411]

Единственным линейным преобразованием вида (2,62), не меняющим потенциальную энергию V , является ортогональное преобразование, т. е. такое, которое преобразует одну прямоугольную систему координат в другую с тем же началом. В данном случае—-двух измерений — такое ортогональное преобразование будет либо вида [c.107]

Для представления только одной функции потенциальной энергии прямоугольная система координат была бы, конечно, также хороша (и даже более удобна), как и косоугольная система координат. Однако если желательно изобразить движение атомов в молекуле как движение без трения небольших масс по поверхности, то следует пользоваться косоугольной системой координат, и вот по каким причинам. Для того чтобы было полное соответствие, не только потенциальная энергия V, но и кинетическая энергия [c.448]

Наполните прямоугольный сосуд водой и слегка толкните его. Еще лучше поместить сосуд на горизонтальную поверхность, наполнить его до краев и затем долить так, чтобы вода вздулась (поднялась) над краями. Слегка толкните сосуд. После того, как более высокие моды затухнут, можно наблюдать моду омывания , которая затухает очень медленно. (Это — гравитационная мода, несмотря на то что мы используем поверхностное натяжение, чтобы удержать воду над стенками этим затухание сводится к минимуму.) Поверхность воды остается практически плоской (после того как более высокие моды затухнут). Предположим, что мода все время плоская горизонтальная — в положении равновесия и наклонная — в крайних положениях. Пусть ось х совпадает с горизонтальным направлением, а ось у направлена вверх. Пусть х и у — горизонтальная и вертикальная координаты центра тяжести воды в сосуде с равновесными значениями х и i/o- Найдите зависимость у—i/o) от х—х ). (Удобной переменной может служить уровень воды на одном конце сосуда, отсчитанный от равновесного уровня.) Увеличение потенциальной энергии всего объема воды равно mg (у—yd). Вы обнаружите, что (у—i/o) пропорционально (х—Хо) . Таким образом, потенциальная энергия центра тяжести, подобно потенциальной энергии гармонического осциллятора, пропорциональна квадрату смещения от равновесного положения. Используйте второй закон Ньютона, предполагая, что вся масса воды от сосредоточена в центре тяжести. Найдите формулу для частоты. [c.56]

Область начальных значений координат jo, определяется по существу следующим образом задав малое число е, и отлолсив е на всех четырех полуосях Oq, + Oq2, будем иметь четыре значения потенциальной энергии Лх (е), П, —е), Яа (е), il i—в). Рассмотрим наименьшую из них и обозначим ее Р. Затем через точку поверхности В, соответствующую этой наименьшей величине, проведем горизонтальную плоскость (параллельную плоскости На этой поверхности будут точки Si, 62, S3, В4, имеющие общую аппликату Р и лежащие над осями Oq , Oq2- Опустив из этих точек перпендикуляры на соответствующие полуоси координат, построим область (прямоугольную), ограниченную точками В[, SO, Вз, S . [c.521]

Гельмгольц идет еще дальше и рассматривает системы, которые подчинены только тому условию, что не только сумма кинетической и потенциальной энергий, но и каждая из этих энергий в отдельности остается постоянной. Он называет такие системы изокинетическими. Еще более общее понятие образует Клаузиус. Он называет стационарным такое движение, при котором ни одна прямоугольная координата и ни одна из составляющих по координатным осям скорости материальной точки не возрастает неограниченно, как бы долго ни продолжалось движение. Я предпочитаю называть такое движение конечным . Предположим теперь, что движение не является периодическим в том сл1ысле, что по истечении конечного промежутка времени все материальные точки возвращаются одновременно в точности к прежнему положению с прежней по величине и направлению скоростью и затем снова начинают точно такое движение однако предположим, что движение подчиняется такому закону, что если взять средние значения за некоторый промежуток времени живой силы, составляющей скорости или одной из прямоугольных координат какой-либо точки или всей силовой функции Унт. д., и заставить промежуток времени, для которого вычислено соответствующее среднее, неограниченно возрастать, не варьируя движения, то каждое из этих средних значений будет стремиться к определенному пределу. Такое движение мы будем называть измеримым. [c.471]

Техническая теория продольных колебаний стержней. Под стержнем понимают одномерное упругое тело (два размера малы по сравнению с третьим), обладающее конечной жесткостью на растяжение, кручение и изгиб. Пусть стержень, отнесенный к прямоугольной декартовой системе координат Oxyz, совершает продольные колебания. Параметры стержня являются функциями только одной продольной координаты X. По гипотезе плоских сечений любые точки, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси стержня, имеют одинаковые перемещения =-- и (х), 112= Н = 0. Все компоненты тензоров напряжений и деформаций, кроме Оц и считают пренебрежимо малыми. Выражения для потенциальной энергии деформации, кинетической энергии и потенциала внешних сил имеют вид [c.146]

Рассмотрим задачу о взаимной синхронизации некоторого числа k маятниковых часов, висящих на упруго опертой жесткой платформе, которая может совершать плоско-параллельное движение перпендикулярно осям маятников (рис. 4). Пусть хОу — система неподвижных прямоугольных осей координат, с которой в положении статического равновесия системы совпадают оси uOiV, жестко связанные с платформой. Начало подвижных координат Oj будем считать выбранным в так называемом центре тяжести вспомогательного тела, т. е. платформы, к которой присоединены массы всех маятников, сосредоточенные на их осях О . Считаем ось Ох наклоненной к горизонту под некоторым углом Хо система упругих оиор, связывающая платформу с неподвижным основанием, предполагается симметричной по отношению к осям хОу в том смысле, что выражение для потенциальной энергии деформации опор, отсчитываемой из положения статического равновесия, имеет вид [c.229]

Остается дать уравнения равновесия в ортогональных криволинейных координатах. Эти уравнения получим общим способом, применяя теорехму о минимуме потенциальной энергии. Эга теорема, записанная в прямоугольной системе координат, имеет вид [c.176]

Решение с помощью внутренних координат. Относительное положение атомов задается ЗЛ — 6 (или ЗМ—5) координатами. Вместо того чтобы следовать изложенному выше способу, можно выразить потенциальную и кинетическую энергию как функции этих ЗЛА —6 внутренних координат и таким путем получить непосредственно вековое уравнение порядка 3//—6, не содержащее нулевых решений. Имеется много возможностей для выбора внутренних координат (см. Вильсон и Кроуфорд [943]). Пожалуй, наиболее естественным в случае несимметричной молекулы является выбор в качестве координат ЗМ—6 междуатомных расстояний или, точнее, изменения Q ЪЫ—6 равновесных расстояний между атомами. Такие координаты также называют центрально-силовыми координатами (см., например, Шефер и Ньютон [778]), так как они лучше всего соответствуют центральной сис-теме сил (см. стр. 85). Вследствие того что при малых амплитудах эти координаты являются линейными функциями от прямоугольных координат смещений, потенциальная энергия является квадратичной функцией от координат (3,- и может быть записана в виде [c.161]

Следует упомянуть, что, строго говоря, кинетическая энергия шарика, катающегося по поверхности, будет точно соответствовать относительной кинетической энергии атомов в молекуле только в том случае, если вместо прямоугольных координат (фиг. 66) ввести косоугольные координаты и если масштаб выбран таким образом, что потенциальная поверхность вдоль пути гпарика ие слишком крута (см. Гиршфельдер [452] и Гласстон, Лейдлер и Эйринг [6]). Для молекул (подобных молекуле СО ), состояишх из т 1ех близких по массе атомов, угол между осями координат должен быть примерно 60°. На приведенных выше чисто качественных выводах это изменение не сказывается. [c.222]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...