Решение бигармонического Пуассона

Таким образом, плоская задача термоупругости в напряжениях сводится к нахождению общего решения (4.1.24) для функции напряжений Р, т. е. к нахождению общего решения Р бигармонического уравнения (4.1.25) и частного решения уравнения Пуассона (4.1.26) или (4.1.27), при удовлетворении граничных условий (4.1.33). [c.88]

У е S. Так как одновременно эти векторы на границы заданы быть не могут, то формула (2.29) непосредственного практического применения не имеет. Но, как мы увидим далее, она может быть использована для получения многих важных результатов. Рассмотрим изотропную среду. Прежде чем получить явное выражение перемещений Кельвина, построим некоторые важные частные решения статической задачи упругости, т.е. решения, которые удовлетворяют уравнениям Ламе (1.72), но не обязательно удовлетворяют граничным условиям. Такие частные решения обычно разыскиваются с помощью вектора перемещения через не которые векторы, удовлетворяющие уравнениям более простым, чем уравнения Ламе, например уравнению Лапласа или Пуассона, однородному или неоднородному бигармоническому уравнению. Такое выражение принято называть представлением решения задачи теории упругости. Применим к уравнениям (1.72) один раз оператор div, а другой раз оператор Лапласа Д = Тогда получим соответственно [c.86]

Тем не менее этот метод дал первое упруго-пластическое (в противоположность жестко-пластическому, см. гл. И, раздел 13) решение задачи распределения напряжений вокруг концентраторов [20]. Распределение упругих напряжений описывается бигармоническим уравнением. Тело будем считать несжимаемым (коэффициент Пуассона равен 0,5), и основное предположение заключается в том, что прирост главных сдвиговых деформаций пропорционален величине и мгновенным направлениям главных сдвиговых напряжений, т. е. [c.78]

Электроинтегратор ЭМБУ-6, представляющий собой сеточную электрическую модель из постоянных сопротивлений для совместного решения уравнений Лапласа и Пуассона (бигармонического уравнения плоской задачи теории упругости и уравнения четвертого порядка для расчета изгибаемых плит) [29] см. также разделы 22 и 23. [c.258]

Пуассона и уравнения Лапласа выполняется на модели из двух взаимно накладываемых плоских геометрически подобных и равномерных электрических сеток из сопротивлений, соединенных в узлах. По предложению, сделанному в работе [11 ], моделирование гармонических и бигармонических уравнений в двух координатах для решения задач изгиба плит и температурных напряжений в плоской области при гармоническом колебании температуры может быть также произведено на объемной электрической модели с помощью функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа в трех координатах. [c.276]

Таким образом, решение плоской задачи термоупругости в напряжениях для односвязного тела сводится к нахождению общего решения (4.2.25) для функции напряжений Р, т. е. к нахождению общего решения Р бигармонического уравнения (4.2.26) и частного решения Р уравнения Пуассона (4.2.27) или (4.2.28) при граничных условиях (4.2.32) и (4.2.33) или (4.2.34). [c.99]

Таким образом, для заданной силовой функции IV (г, г) распределение перемещений и напряжений полностью определяется комплексными потенциалами ф(г), ф(2) с помощью уравнений (32.15), (32.16) и (32.17). В 27 было показано, что решения, справедливые для плоского деформированного состояния, имеют место также и для обобщенного плоского напряженного состояния, если вместо коэффициента V ввести приведенный коэффициент Пуассона a = v/(l-fv). Здесь, как показывает Стивенсон ), необходимо наложить дополнительное условие, а именно, что потенциал массовых сил V (х, у) должен удовлетворять бигармоническому уравнению [c.90]

Уравнение (5.5.7) — однородное бигармоническое уравнение. Для решения конкретных задач его нужно дополнить неоднородными граничными условиями на границе двумерной области в плоскости х,у). Коэффициент v — коэффициент Пуассона (см. определения (2.11.29)). [c.277]

В главе 6 на конкретных примерах показаны возможные пути обобщения результатов для нелинейных уравнений и систем. Два первых параграфа посвящены изложению общих результатов по сходимости метода конечных элементов для нелинейных задач с операторами монотонного типа и решению двух типичных нелинейных задач, распространенных в приложениях, с помощью многосеточных итерационных алгоритмов. Решение плоской задачи упругости демонстрирует возможность обобщения построенных алгоритмов и их обоснования для эллиптических систем зфавнений. Среди многих известных методов дискретизации бигармонического уравнения рассмотрена смешанная формулировка метода конечных элементов, приводящая к системе двух уравнений Пуассона с зацепленными краевыми условиями. В итоге обобщенная формулировка содержит только первые производные и отпадает необходимость использования сложных базисных функций из класса С (И ). Смешанная формулировка использована также для дискретизации стационарных задач Стокса и Навье — Стокса. Здесь применялись комбинации простых конечных элементов — линейные для скоростей и постоянные для давления. [c.12]

Возвращаясь вновь к общим результатам предыдущего параграфа, верным с точностью до членов О (а ) в формальных рядах, мы видим, что несмотря на то, что вычисления были длинными, результаты получились простые. Первый член Wi — это поле скоростей для жидкости Навье —Стокса, однозначно определяемое как решение уравнения Пуассона (VI. 3-8) i при граничном условии wi = О на dsi-. Имея Уь мы легко можем определить Уз из уравнения Пуассона (VI. 3-23) i с граничным условием Уз = О на дМ. Если, однако, нас интересует только вторичное течение, то мы можем перейти непосредственно к полю скоростей U4, функция тока которого получается как решение неоднородного бигармонического уравнения (VI. 3-33) с граничными условиями /74 = О, dnQi = О на дзФ. [c.252]

Таким образом, решение уравнения равновесия (9.3) может быть найдено в форме (9.11), если векторная функция и скалярная функция ф удовлетворяют соответственно уравнениям Пуассона (9.15) и (9.16). Решение Буссинеска — Папковича включает четыре скалярные функции — скалярную функцию ф и три проекции вектора i j. Представление, в котором ф является не гармонической, а бигармонической функцией, было дано Буссинеском и независимо от него Б. Г. Галеркиным. [c.226]

Выражая искомые решения через разрешающие функции (см. гл. П1), мы преследовали цель свести более трудную задачу решения дифференциальных уравнений в перемещениях к хорошо известной задаче решения гармонического или бигармонического уравнения. Рассмотренное в п. 61 решение конечно-разностных уравнений показало, что особенности получаемых систем алгебраических уравнений не позволяют пока назвать достаточно надежный метод решения этих систем. Наиболее подробно изучены численные методы решения такой системы линейных алгебраических уравнений, которую мы получаем, применяя конечно-разно-етную аппроксимацию уравнения Лапласа = О или Пуассона V if) = / (д ). В работе Г. М. Максимова [55] применен численный метод, приводящий к неоднократному решению уравнения Лапласа для сжимаемого материала. Используем этот метод для несжимаемого материала. Выбираем решение (103). Введем обозначение [c.198]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...