Неустойчивость Лоренца

В отличие от обычной системы Лоренца (4.1), в системах (4.16) и (4.17) переход к хаосу может происходить через рождение и последующее разрушение тора. Так, для системы (4.17) при 6 = 0,5 0 = 1 г=2Ш, где Z) — действительный бифуркационный параметр, схема бифуркаций выглядит следующим образом [533]. При 0устойчивое решение х = у = z = 0. В области D> I это решение становится неустойчивым, но имеется устойчивый предельный цикл, который существует до Д = 2,07. При этом значении D пара [c.295]

Примечание. Система Лоренца была получена при составлении математической модели конвективного движения в подогреваемом слое жидкости. Вопрос адекватности такой модели конвективного движения не является предметом нашего обсуждения, но также может быть рассмотрен с позиций предлагаемого подхода. Большой объём исследований, посвящённых системе (1), сделал её по сути классическим математическим объектом (см., например, [59, 73]) среди решений этой системы есть отвечающие устойчивым и неустойчивым положениям равновесия, регулярные колебания и хаотические движения с широким сплошным спектром, стохастические колебания. К уравнениям Лоренца при некоторых предположениях исследователи сводят (см., например, [73]) уравнения для медленных амплитуд напряжённости поля, поляризации и разности населённостей в лазерах и мазерах, уравнения генераторов с нелинейностью. Исследуются различные комплексные формы уравнений Лоренца и т. д. [c.199]

Согласно положениям синергетики (гл. 13), которая исследует закономерности, общие для различных научных дисциплин, возможны далеко идущие аналогии в поведении совершенно различных систем независимо от природы их составных частей. Эти аналогии становятся особенно отчетливыми в тех случаях, когда качественно меняется макроскопическое поведение системы. В физике лазеров примером таких качественных изменений может служить возникновение лазерной генерации с ростом параметра накачки и возникновение детерминированного хаоса . В гидродинамике известен не только переход к турбулентности, который описывается моделью Лоренца. И теоретические и экспериментальные исследования показывают, что здесь может проявиться целая иерархия различных неустойчивостей, прежде чем будет достигнуто хаотическое состояние. [c.211]

Вернемся опять к полной модели Лоренца (359). У нее имеется три стационарных рещения при г > 1, и только два из них (360) устойчивы при небольшой надкритичности. Но что произойдет, если увеличивать параметр г, не ограничиваясь небольшими его значениями Первый вопрос — устойчиво ли равновесие (360) — можно опять рассмотреть с помощью линейного приближения вблизи равновесия. Соответствующий анализ показывает, что существует второе критическое значение га, выше которого происходит вторая бифуркация. Но это еще не все. Оказывается, система уравнений (359) имеет много различных мод движения. Самая удивительная из них была обнаружена самим Лоренцем при значениях параметров г = 28, <т = 10, ==8/3. Это решение получило название "странный аттрактор". Лоренц обнаружил, что система X, К, Z) совершает сложное хаотическое движение, похожее на "танец" вокруг двух неустойчивых фокусов. Стартуя с любой точки с небольшими X, , Z, система переходит на неустойчивый фокус, вокруг которого она начинает описывать витки с амплитудой, возрастающей со временем, т.е. пробегает траекторию по раскручивающейся спирали. После некоторого количества таких витков система внезапно устремляется ко второму фокусу, вокруг которого она снова описывает витки по раскручивающейся спирали. После нескольких витков, система снова перепрыгивает на первую спираль, чтобы приблизительно повторить то же самое движение. Однако никакой периодичности в таком движении нет и времена, в течение которых система находится вблизи одного из фокусов, и число витков на каждой из спиралей кажутся совершенно случайными. Хаотическое движение появляется в совершенно детерминированной динамической системе с тремя координатами X, V, Z. [c.322]

Рис. 3.1. а — Схематическое изображение конвективных валов в подогреваемой снизу жидкости б — три неустойчивые сингулярные точки в фазовом пространстве уравнений Лоренца (3.2.3). [c.76]

При наборе параметров а = 10, р = 28 и /3 = 8/3 (использованном Лоренцем) имеются три точки равновесия, и все они неустойчивы (рис. 3.1, б). В начале координат расположена седловая точка, а две другие — неустойчивые фокусы, т.е. спиральные точки равновесия (см. рис. 1.24). Тем не менее можно показать, что движение глобально ограничено. Поэтому траекториям не остается ничего другого, кроме как оставаться внутри эллипсоидальной области в фазовом пространстве. Пример таких блуждающих траекторий, полученный при численных расчетах, показан на рис. 1.25. [c.77]

Напомним, что Яг—критическая кривая модели Ь. Согласно ранее выполненным исследованиям (см., например, [161, 167]) в рассматриваемом случае имеет место подкритическая бифуркация Хопфа, которая сопровождается рождением неустойчивых замкнутых орбит при Я<Рг (рис. 45,6). Поэтому можно было ожидать, что в окрестности Я = Яг орбиты системы будут притягиваться к трехмерному подпространству и в конечном итоге намотаются на аттрактор Лоренца. Именно с такой ситуацией в случае больших а мы имеем дело в упомянутой работе [162], в которой исследовалась динамическая система восьмого порядка, также включающая модель Ь как частный случай. На рис. 47 приведены результаты численного интегрирования системы (6), (7) для а = 6 и Я = 20 (Яг= 15) ). По оси абсцисс отложено безразмерное время. Поведение всех компонент лг-системы качественно воспроизводится кривой Ш1 = Ш1(т) з -системе соответствует кривая Ш2 = Шг(т). Как видно из рисунка, за время т 5 орбиты системы действительно притягиваются к трехмерному фазовому пространству модели Ь и в таком состоянии система пребывает в течение т ж 22. Заметим, что величины да,, Шд и Оз достигают при этом значений порядка 10". Затем сравнительно быстро в течение Ат 3 формируется автоколебательный режим, в котором все компоненты совершают периодические колебания с периодами Г = 2,4 либо Т /2=1,2. Аналогичное поведение на- [c.147]

Хаотическое поведение здесь не связано с моделью Лоренца, так как в случае, когда г/ = О, при выбранных нами параметрах стационарное состояние лазера является устойчивым. Однако можно взять управляющие параметры, которые будут лежать внутри области неустойчивости Лоренца [она определяется условием (1 + ч + V) + 2С) <2х (2С—1)1. В этом случае наблюдаются автопульсации большой амплитуды с признаками нерегулярного поведения даже при малых значениях амплитуды инжектируемого поля. Кроме того, в отличие от предыдущего случая здесь нет каскада удвоения периода при выходе из области хаоса вместо этого наблюдается прерывистое поведение такого типа, как показано на рис. 8.14. Если у возрастает и дальше, мы приходим к простым осцилляциям, после которых пойдет та же последовательность режимов, что и в предыдущем случае (т. е. дышащий режим и пички). [c.230]

Для динамич. систем с размерностью фазового пространства, большей двух, устойчивые и неустойчивые многообразия седловых состояний равновесия и (или) седловых предельных циклов наз. многомерными С. или сепаратрисными многообразиями. Многомерные С. могут разделять фазовое пространство на области притяжения разл. аттракторов. Связанные с сепаратрисны-1Ш многообразиями бифуркации могут приводить к возникновению странны.х аттракторов, напр., аттрактор Лоренца рождается в момент, когда неустойчивые С. седла пересекаются устойчивыми сепаратрисными шогообразиями седловых предельных циклов. [c.487]

На неустойчивость как причину непредсказуемости и случайности указывал еще А. Пуанкаре [608]. Более развитая аргументация имеется у Н. С. Крылова [207] и М. Борна [410] и сводится к тому, что события, возникающие в результате неустойчивых движений, непредсказуемы, так как сколь бы точно ни были заданы начальные условия (а их точность практически ограничена), спустя достаточно большое время малейшая ошибка приводит к весьма ощзггимым различиям. Пршгенительно к долгосрочному прогнозу погоды эффект необычайно чувствительной зависимости от малых возмущений был отмечен Э. Лоренцом и назван эффектом бабочки по ассоциации с событ(иями одного из рассказов Бредбери. Неустойчивость вносит неопределенность в будущее эволюционирование динамической системы, делая его [c.73]

С помощью преобразования прямой в прямую (3.11) пове,до-ние фазовых траекторий уравнения Лоренца можно отобразить в виде серии точечных отображений прямой в прямую, показанных па рис. 7.28. Первый рис. 7.28, а отвечает устойчивости состояния равновесия О (0<г<1), второй рис. 7.28,6 — появлению двух устойчивых состояний равновесия О, и О2, третий рис. 7.28, в — рождению неустойчивых периодических движений Г1 и Гг и появлению разрыва непрерывности, четвертый рис. 7.28, г — возникновению стохастического аттрактора, пятый рис. 7.28, д — влинанию периодических движений Г1 и Гг в состояпия равновесия О1 и Ог и последний 7.28, е — появлению у графика точечного отображения горизонтальных касательных и в связи с этим устойчивых неподвижных многократных точек. Мы видим, что в этой интерпретации возникновение стохастичности и системе Лоренца похоже на то, как возникает стохастичность в неустойчивом осцилляторе с отрицательным трением и ударами, рассмотренном в гл. 3. [c.194]

Параграф 8 основывается на результатах экспериментального исследования взрывной кристаллизации ультрадисперсных аморфных пленок германия. Показано, что при малых толщинах пленки кристаллизация инициируется локальным тепловым воздействием, а при больших протекает спонтанным образом. Обнаружен фрактальный узор закристаллизовавшейся фазы, присущий картине формирования агрегатов, ограниченных диффузией. Показано, что в отличие от обычного режима кристаллизации взрывная обусловлена неустойчивостью теплового характера, которая представлена схемой Лоренца. В результате взрывная кристаллизация сводится к явлению самоорганизуемой критичности, при котором распространение фронта представляется диффузией в ультраметрическом пространстве иерархически соподчиненных лавин. Получены выражения для стационарных распределений теплоты кристаллизации и теплового потока. Для различных значений температуропроводности определены теплота, необходимая для инициирования взрывной кристаллизации, И временная зависимость вероятности спонтанной кристаллизации тонкой пленки. [c.115]

При дальнейшем увеличении Яа выше Яс регулярная конвекция становится линейно неустойчивой. Эксперимент показывает, что конвекция становится при этом нестационарной и нерегулярной. Для анализа этого случая, следуя Зальцману [359, разложим 1 ) и 0 в двойной ряд Фурье по х и у, так что коэффициенты разложения будут зависеть только от Оставляя конечное число членов, получаем представление движения в конечномерном фазовом пространстве фурье-амплитуд. Зальцман численно нашел случаи хаотического движения ). Лоренц [283] исследовал упрощен- [c.476]

Системы с замкнутыми течениями — тепловая конвекция Рзлея—Бенара. Как мы помним по гл. 1, градиент температуры в жидкости, находящейся в поле тяготения, создает силу плавучести, которая вызывает вихревую неустойчивость и приводит к хаотическим и турбулентным движениям. Системой, экспериментально изученной лучше других, в настоящее время является тепловая конвекция жидкости в замкнутом прямоугольном объеме. Именно эту систему пытался моделировать Лоренц своими знаменитыми уравнениями (3.2.3). [c.118]

Это уравнение является обобщением Дебая знаменитого урав--нения Клаузиуса — Массоти. Оно связывает диэлектрическую проницаемость с плотностью вещества и записано в такой форме, что правая часть уравнения, называемая молярной поляризуемостью, зависит только от температуры. Отметим, что это уравнение справедливо только для диэлектриков малой плотности, для которых приближенность выражения для локального поля Лоренца не имеет значения. Для твердых тел это имеет место только для нескольких простейших неполярных материалов. Так называемая катастрофа Массоти соответствует неустойчивой ситуации, когда знаменатель уравнения (1.2.12) обращается в нуль. [c.28]

Обмен энергией между основным течением и наложенным возмущением является основным физическим механизмом как в турбулентном течении, так и в теории неустойчивости ламинарных течений. Такого рода соображения были использованы Рейнольдсом (1895) и с тех пор широко применялись многими учеными. В связи с изучением неустойчивости ламинарного течения мы можем указать, в частности, исследования Лоренца (1907), Орра (1907), Кармана (1924) и Прандтля (1935). Более математический подход к этому кругу идей содержится в работах Сайнджа (1938Ь) и Томаса (1942). [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...