Система Аносова

Простейший пример системы Аносова—автоморфизм [c.632]

Самый известный пример системы Аносова с непрерывным временем — геодезич. поток на компактной поверхности М постоянной отрицат. кривизны. Фазовое пространство этой ДС образовано всеми касательными к М векторами длины 1, каждый из к-рых движется с единичной скоростью вдоль определяемой им геодезической линии. К геодезич. потоку приводится гамильтонова система с гамильтонианом H=T+V, если Т квадратично зависит от импульсов, а V зависит только от координат. Соответствующая риманова метрика определяется гамильтонианом, но отрицательная кривизна появляется лишь при Н спец. вида. [c.632]

Системы Аносова демонстрируют простейший, идеальный тип гиперболич. поведения и редко встречаются в приложениях. Гораздо чаще условия гиперболичности выполняются лишь для траекторий, заполняющих нек-рое инвариантное множество, не совпадающее со всем фазовым пространством. При этом, в зависимости от того, существуют ли точки нейтрального типа и равномерна ли экспоненциальная скорость сближения траекторий в определении гиперболичности, различают полную и частичную, а также равномерную и неравномерную гиперболичности (здесь возможны любые комбинации). Полная и частичная гиперболичности выражаются в терминах характеристич. показателей грубо говоря, первое свойство — это отсутствие нулевых, а второе—наличие ненулевых показателей. [c.632]

Симплектические координаты 20 Симплектическое многообразие 19 Система Аносова 223 [c.428]

Затем мы перенесем понятие гиперболического множества и системы Аносова на случай непрерывного времени ( 17.4) и обсудим очень важный класс потоков Аносова, а именно геодезические потоки на компактных римановых многообразиях с отрицательной секционной кривизной. Сначала, в 17.5, будут рассмотрены исходные двумерные примеры, которые уже встречались нам в п. 5.4 е, а затем мы перейдем к общей ситуации ( 17.6) и в 17.7 опишем общий класс алгебраических примеров. [c.533]

Аносов ввел класс систем, который теперь носит его имя, в [14]. Он называл этн объекты У-системами . В классической статье [310] Смейл ввел понятие гиперболического множества и развил основы теории. Он также начал использовать термин системы Аносова , который быстро стал стандартным. В [16] Аносов разработал ряд фундаментальных методов, включающих теорию устойчивых и неустойчивых расслоений и лемму о замыкании, которые также верны для общих гиперболических множеств. [c.727]

Системы Аносова ). Эти системы введены и изучались Аносовым [8, 9 ]. Они характеризуются линейным касательным пространством, которое разлагается на три компоненты [c.302]

Это очень сильные условия, и гамильтоновы системы, близкие к интегрируемым, никогда им не удовлетворяют. Системы Аносова структурно устойчивы [8], т. е. при действии малого возмущения Рис. 5.3. Отображение Арнольда на то- НИ остаются системами Ано-ре (по данным работы [И]). СОва. [c.302]

Теорема 2.1 (см. [4], [6]). Пусть 5 — система Аносова класса С. Тогда [c.129]

Интересный вопрос будет ли динамическая система, все траектории которой являются равномерно полно гиперболическими, системой Аносова. Положительный ответ получен в [36] для систем класса С , сохраняющих меру, эквивалентную риманову объему. [c.129]

Приведенные выше теоремы полностью применимы к системам Аносова. Следует положить только А—М. Следующее утверждение вытекает из теоремы 3.10. [c.155]

Результаты Синая были подготовлены длительным предыдущим развитием эргодической теории в обоих отмеченных в предыдущем примечании направлениях. Особенно большое значение имели работы по геодезическим потокам на многообразиях отрицательной кривизны, начатые еще Адамаром в 1899 г. и в известной степени завершенные в работах Д. В. Аносова 1962 г. [ДАН СССР, 151, 1250 (1963)]. Еще до завершения этого направления Н. С. Крылов в посмертно опубликованной книге Работы по обоснованию статистической физики (Изд-во АН СССР, 1950) отметил, хотя и не мог строго обосновать, аналогию мен ду геодезическими потоками и бильярдной системой.— Прим. ред. [c.383]

Параллельно определениям, данным выше, в работах [7-9] изучались маломерные грубые системы, а в работе [13] — теория систем Аносова, для которых понятие грубости оказалось естественным. [c.146]

Следует упомянуть еще об одном очень важном классе формальных моделей. Это так называемые У-системы, понятие которых было введено Аносовым [49] (см. также [50, 53]). Неформальное определение У-систем можно получить, представив себе, что в любой окрестности любой точки в [c.60]

Аносова системы 302 — 305, 308 Аттрактор, геометрия 74, 75. 78, 417 — 422 [c.523]

У-системы см. Аносова системы Ускорение Фер.чи 59, 68, 69, 220, 262, [c.525]

Теорема Аносова 16.5. Любая У-система (М, (р) структурно устойчива. [c.70]

На протяжении долгого времени геодезические потоки играли важную стимулирующую роль в развитии гиперболической теории. Так, например, влияние неустойчивости на глобальное поведение траекторий динамической системы, характеризуемое эргодичностью, топологической транзитивностью и т. д., отмечали еще Адамар и Морс в начале ХХ-го века, изучавшие статистику поведения геодезических на поверхностях отрицательной кривизны. И позже исследования, связанные с геодезическими потоками, привели к введению различных классов гиперболических динамических систем (систем Аносова, РЧГ-систем и НПГ-систем с мерой Лиувилля). Сами же геодезические потоки всегда были прекрасным полем применения динамических методов, что, в частности, позволяло получать интересные результаты дифференциально-геометрического характера. О связи геодезических потоков с классической механикой сказано в главе 1, 1 . [c.157]

Для систем Аносова образ любого ЛНМ под действием динамической системы приобретает очень большие (экспоненциальные по времени) размеры и поэтому за большое время образы всех ЛНМ приблизительно одинаково равномерно заполняют все фазовое пространство. Рассеивающие же биллиарды являются разрывными системами. Поэтому одновременно с процессом растяжения ЛНМ происходит его дробление при попадании его образа на многообразие разрыва преобразования Т. С использованием некоторых дополнительных свойств построенного в [59] марковского разбиения в этой работе показано, во-первых, что процесс растяжения превалирует над процессом дробления и, во-вторых, что существует множество, состоящее из ЛНМ, имеющее большую (а не полную, как для гладких систем) меру, образы которых за большое время достаточно плотно и примерно одинаково заполняют все фазовое пространство биллиарда. [c.194]

В случае системы Аносова, обладающей хотя бы одной всюду плотной траекторией (это свойство наз. топологиче ской транзитивностью), последовательность ц, слабо сходится при п + со и п- — х> к инвариантным мерам ц и соответственно (слабая сходимость означает, [c.632]

В дополнение к связям на рис. 5.4 отметим, что система Аносова является также и бернуллиевской, точнее — всякий перемешивающий поток Аносова с гладкой инвариантной мерой является бернуллиевским [498, 499].— Прим. ред. [c.304]

Ошибки округления. При исследовании гамильтоновых отображений с их сложной структурой хаотического и регулярного движения широко используется численное моделирование, причем число итераций отображения достигает многих миллионов. Возникает вопрос в какой степени численное моделирование с конечной точностью арифметических операций, ошибками округления и прочим шумом соответствует реальной динамике системы Существенное влияние этих ошибок на такие характеристики движения, как распределение в фазовом пространстве, мера стохастической компоненты и другие, легко определить, изменяя точность счета. Фактически такие проверки составляют неотъемлемую часть любого численного эксперимента. Так, например, Грин [165] исследовал влияние ошибок округления на определение границы стохастичности и нашел, что оно пренебрежимо мало (см. п. 4.4а). Бенеттин и др. [17] показали, что для систем Аносова численные ошибки несущественны при вычислении временных средних, например, показателей Ляпунова. Однако системы Аносова структурно устойчивы, и вопрос о влиянии численных ошибок на другие системы остается пока открытым ). [c.308]

Определение 2.1. Динамическая система называется системой Аносова (ссютветственно говорят о диффеоморфизмах Аносова и потоках Аносова), если каждая ее траектория является равномерно полно гиперболической, а постоянные С и Л можно выбрать одинаковыми для всех точек . [c.129]

Если Л совпадает с М, то 5 — система Аносова. Если же ФМ, то множество Л является дырявым , т. е. имеет структуру канторовского множества. Вместе с тем локальные свойства траекторий на А те же, что и у систем Аносова. [c.131]

Из теоремы 2.11 вытекает, что системы Аносова и РЧГ-си-стемы образуют открытое множество соответственно в пространствах Diif (Л1) (в случае диффеоморфизмов) и Г (J AI) (в случае потоков), г>1. Про системы Аносова можно доказать и более сильное утверждение, состоящее в том, что они структурно устойчивы (см. [4]). Если Л—ЛМГМ системы 5 класса С ", то можно доказать (см. [22]), что любая система 5 класса С , достаточно близкая к 5 в -топологии, обладает ЛМГЛ Л, гомеоморфном А посредством гомеоморфизма А Л- Лг близкого к тождественному в Со-топологии (в частности, Л лежит в малой окрестности Л), причем h°S Л = 5 °Л Л. [c.140]

Конец XIX и начало XX в., ознаменовавшиеся крупными достижениями в области техники, отмечены значительными успехами и в изучении свойств железоуглеродистых сплавов. Работы П. П. Аносова, Н. В. Калакуцкого, Д. К. Чернова, В. Н. Линина, В. Е. Грум-Гржимайло и других в России [72], Сорби, Аустена, Ледебура и еще ряда ученых за рубежом привели к формированию определенной системы взглядов на процессы кристаллизации и фазовых превращений в железоуглеродистых сплавах и на основные факторы, регулирующие свойства таких сплавов. Именно к этому времени и сформировались представления о чугуне, как о стали, испорченной графитом. Такие представления, имевшие некоторое основание для уровня знаний начала XX в. в дальнейшем, как это будет показано ниже, оказались тормозом в использовании возможностей чугуна. [c.205]

Наиб, полно свойство гиперболичности проявляется у систем Аносова, введённых Д. В. Аносовым в нач. 60-х гг. (первоначальное назв.—У-системы). У таких систем в случае дискретного времени отсутствуют точки нейтрального типа, а в случае непрерывного времени множество точек нейтрального типа для х исчерпывается траекторией 0(х). Кроме того, для систем Аносова константы, характеризующие экспоненциальное сближение траекто- [c.631]

Естеств. кандидат на роль инвариантной меры гиперболич. системы—это риманов объём (соответствующим образом нормированный). Однако он инвариантен лишь в нек-рых, весьма спец. ситуациях (напр., для автоморфизмов тора). Если же риманов объём р не инвариантен, а ДС представляет собой каскад Аносова, то она диссипативна относительно р существует множество, образы к-рого под действием Т при разных t попарно не пересекаются и по крывают всё фазовое пространство. Тем не менее из р можно получить инвариантную меру. Для этого нужно, качав с любой абсолютно непрерывной вероятностной меры ц (т.е. меры задаваемой плотностью относительно р), ввести последовательность мер где [c.632]

Первый автор этой книги был студентом и аспирантом МГУ с 1960-го по 1968 год и работал в ЦЭМИ в течение 10 лет после этого. Он принадлежит к следующему поколению московских математиков, которые начали )аботать в теории динамических систем примерно с середины 60-х годов, аботы А. Г. Кушниренко, А. Г. Маргулиса, М. В. Якобсона, А. М. Степина, В. И. Оселедца, Б. М. Гуревича, М. И. Брина, Я. Б. Песина и других, сделанные в период до середины 70-х годов, положили начало нескольким важным направлениям в теории динамических систем, и влияние этих работ чувствуется до настоящего времени. Семинар Алексеева и Синая в МГУ был в течение большей части этого периода главным центром, где обсуждались и развивались новые идеи и результаты в различных областях теории динамических систем. Несколько позднее возник совместный семинар первого автора с Аносовым (сначала в МИАНе, а потом в ЦЭМИ), который вскоре начал играть сходную роль. Пожалуй, такой концентрации активно работающих, талантливых и в основном еще очень молодых математиков, занимающихся динамическими системами, никогда и нигде больше не существовало. [c.10]

В этой главе мы осуществляем часть программы, сформулированной в 4 введения. Главный принцип нашего анализа состоит в использовании своего рода гиперболичности линеаризованной динамической системы вдоль определенных орбит. Мы покажем, что она порождает аналогичное поведение нелинейной системы вблизи некоторой заданной орбиты (теорема Адамара — Перрона 6.2.8). Комбинация локальной гиперболичности, возникаю-ш,ей в линеаризованной системе, с нетривиальным возвращением, явлением по существу нелинейным, приводит к изобилию периодических орбит (теорема Аносова о замыканни 6.4.15) и порождает богатую и устойчивую во многих отношениях структуру орбит, которая будет далее исследоваться в части 4. [c.243]

Распространение понятия гиперболического множества на необратимые системы представляет любопытную проблему. В то время как сжимающаяся часть Е гиперболического разложения определяется поведением вдоль положительной полуорбиты точки х и в этом случае легко может быть определена, определение растягивающейся части Е требует рассмотрения отрицательной полуорбиты х, которая определена неоднозначно для необратимых отображений. Это делает общее понятие гиперболичности менее удобным, и потому мы не будем его вводить. Однако существует специальный случай, когда неоднозначность в выборе растягивающейся части отсутствует, а именно когда сжимающаяся часть отсутствует вовсе и, следовательно, растягивающаяся часть представляет собой все касательное пространство. Мы уже рассматривали растягивающие отображения в п. 2.4 а (см. определение 2.4.1). Такие отобрасжения встречаются довольно редко, как и диффеоморфизмы Аносова, представляющие собой их обратимый аналог. Более общее понятие, подобное гиперболическим множествам для обратимых отображений, описывается в следующем определении. [c.269]

Первый результат о гельдеровости структур, связанных с гиперболической системой, — принадлежащее Аносову доказательство гельдеровости устойчивого и неустойчивого слоений а [17]. Гелвдеровость сопряжений отображений и потоков была общеизвестна среди специалистов в течение длительного времени, но мы не можем указать первоисточник. [c.736]

Максвелл, Больцман, Гиббс и Пуанкаре впервые предложили статистическое изучение сложных динамических систем, которое известно сейчас как эргодическая теория . Однако математические определения и первые важные теоремы появились благодаря Дж. фон Нейману, Дж. Д. Биркгофу, Э.Хопфу и П.Р. Халмошу, да и то в тридцатых годах нашего столетия. В последние годы появилось новое направление, основанное на теории информации Шеннона. Основной результат, полученный Колмогоровым, Рохлиным, Синаем и Аносовым основан на глубоком исследовании класса сильно стохастических динамических систем. В этот класс включаются все достаточно неустойчивые классические системы. Среди этих систем особую роль играют геодезические потоки на пространствах отрицательной кривизны. Этот случай изучался Ада-маром, Морсом, Хедлундом, Хопфом, Гельфандом, Фоминым. С другой стороны. Синай доказал, что модель Больцмана-Гиббса, которая является системой жестких сфер с упругими столкновениями, принадлежит также к этому классу, что доказывает эргодическую гипотезу . [c.9]

Термин У-системы введен Аносовым. Буква У используется потому, что эти системы удовлетворяют условию У . В оригинале — -systems (от ondition ). [c.57]

НО Д.В. Аносову, при малых е > О существует невырожденный цикл системы (7.2), лежащий в Р", период которого Т(е) Гпри е- -0, причем если прежний цикл был устойчив, то устойчивым будет и новый цикл. [c.261]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...