Узловые линии пластинки

Из анализа кривых Я интересно отметить, что для симметричных относительно оси ti форм колебаний количество точек перегиба на кривых к соответствует приблизительно узловым линиям пластинки. Как для симметричных, так в для антисимметричных относительно оси г форм колебаний для первой формы колебаний кривые не имеют точек перегиба, для второй формы колебаний имеют одну точку с нулевым смещением и для третьей формы колебаний — две такие точки. [c.140]

Более сложным примером связанных колебаний являются колебания мембран, представляющих собой тонкие упругие пластинки или пленки. Колебания каждой точки мембраны кроме размеров, массы и силы натяжения мембраны зависят также от положения точки на мембране, т. е. от двух координат. Поэтому нормальным колебаниям мембраны соответствуют уже ие отдельные узловые точки, а узловые линии, которые ирн данном колебании остаются [c.198]

В каком случае прямоугольная пластинка с шарнирным опиранием по контуру, сжатая по коротким сторонам, при выпучивании разбивается узловыми линиями, т. е. линиями, по которым прогиб равен нулю, на квадраты. [c.165]

При движении по паре непрерывных частотных функций в процессе трансформации системы в зонах их взаимной интерференции наблюдается характерная инверсия форм колебаний, когда происходит взаимный обмен качественными признаками, характеризующими формы колебаний, между собственными движениями, соответствующими одной и другой частотным функциям. На рис. 6.2 это иллюстрируется изменением рисунков узловых линий плоской прямоугольной консольно защемленной пластинки постоянной тол- щины при изменении ее длины. [c.85]

Определение и анализ спектров лопаток желательно сопровождать заполнением таблиц форм, идентифицируя формы по рисункам узловых линий. Это облегчает достоверное определение полного спектра, соответствующего данному диапазону частот. Заполнение таблицы форм удобно сопровождать построением частотных кривых, отражающих зависимость частот собственных колебаний, принадлежащих каждой строке таблицы, от номеров столбцов. Эти зависимости применительно к лопаткам типичных геометрических форм, как и для пластинок (см. рис. 6.5), представляют собой монотонно возрастающие кривые. Если какая-либо клетка таблицы оказалась вакантной, то с помощью таких частотных кривых можно достаточно точно указать, на какой частоте следует искать собственную форму, соответствующую этой вакантной клетке. Экстраполяция частотных кривых позволяет также оценить степень полноты спектра, определяемого в заданном диапазоне частот. С необходимостью этого приходится сталкиваться, когда выявление сложных форм колебаний на высокочастотной части исследуемого диапазона частот оказывается затруднительным. [c.90]

Как показывает опыт, в диапазон частот возбуждения, представляющий практический интерес, обычно попадает первая форма таких колебаний. Возможности проявления ее эталонная пластинка не предусматривает, а поэтому помимо классифицированных выше собственных движений при эксперименте возможно выделение, по крайней мере, еще одного собственного движения, нарушающего приведенную классификацию. Рисунок узловых линий в силу связанности колебаний в направлении минимальной и максимальной жесткости, которая у лопаток практически всегда имеется, может напоминать рисунок узловых линий одной из уже имеющихся форм. С. М. Гринберг, который показал возможность появления пары собственных форм с качественно одинаковыми рисунками узловых линий, назвал их дублями . Такой дубль показан на рис. 6.8. При экспериментальном определении дубля существенное влияние на его частоту оказывает жесткость закрепления, поскольку эта жесткость соизмерима с жесткостью лопатки в направлении ее хорды. [c.92]

Край у = 0 свободно оперт (рис. 107). Допустив, что заданная нагрузка Р приложена в точке х = У = >), будем сначала иметь в виду бесконечную пластинку, опертую лишь по краям х = 0 и х = а. Прибегнув к методу отражений (см. стр. 181), введем вторую нагрузку приложенную в точках л = 5, у = — rj, бесконечной пластинки, тогда линия у = О становится узловой линией изогнутой поверхности пластинки. При этом искомый прогиб полубесконечной пластинки будет получен как результат наложения прогибов [см. уравнение (148), стр. 169], произведенных в бесконечной пла- [c.252]

Задача загружения пластинки сосредоточенной силой допускает решение методом отображений (см. стр. 181). Остановимся на случае, когда точка приложения нагрузки приходится на центр пластинки (рис. 159). Рассматривая пластинку, показанную на чертеже жирными линиями как часть бесконечно длинной прямоугольной пластинки шириной с, приложим к последней ряд фиктивных нагрузок Р с чередующимися, как показано на чертеже, знаками. Узловые линии образовавшейся под такой нагрузкой изогнутой поверхностью разобьют, очевидно, бесконечно длинную пластинку на равносторонние треугольники, каждый из которых будет находиться в точно таких же условиях, что и данная пластинка. Таким образом, задача будет сведена к задаче об изгибе бесконечно длинной [c.351]

Такую пластинку можно рассматривать как половину изображенной на рис. 161 штриховой линией квадратной пластинки, и потому к ней могут быть применены методы, выведенные выше для прямоугольных пластинок ). Если в точке А с координатами и т) (рис. 161) приложена нагрузка Р, то мы вводим фиктивную нагрузку —Р, приложенную в точке А, являющейся зеркальным отражением точки А относительно диагонали ВС квадрата. Эти две нагрузки вызовут, очевидно, такой изгиб квадратной пластинки, что диагональ ВС займет положение узловой линии, и тогда часть ОВС квадратной пластинки будет находиться в точности в таких же самых условиях, что и свободно опертая треугольная пластинка ОВС. Приняв сначала во внимание нагрузку Р [c.353]

Это — форма собственных колебаний квадратной пластинки, диагональ которой является узловой линией. [c.434]

Пластинка, подверженная равномерному сжатию в ее плоскости, выпучивается по волнообразным поверхностям, разделенным узловыми линиями, расположенными на расстоянии Ь (рис. III.1.31, <9), т. е. наименьшее значение критй кого напряжения соответствует квадратной пластинке. Для более коротких пластин критические напряжения резко возрастают, а для более длинных они возрастают слабо и практические значения k следует принимать соответствующими минимальным. [c.397]

С другой стороны, поперечные колебания пластинок легко продемонстрировать экспериментально. Для горизонтальной пластинки, закрепленной в одной точке, расположение узловых линий можно сделать видимым, предварительно насыпав на ее поверхность немного песка. При возбуждении одного какого-либо нормального колебания носок стряхивается с тех мест, где движение наиболее сильно, и собирается вблизи узловых линий. [c.194]

Если поверхность делится (как, например, в случае с пластинкой или с колоколом) узловыми линиями на большое число участков, колеблющихся в противоположных фазах, то боковое обтекание увеличивается и излучение энергии соответственно уменьшается. Для облегчения расчета Стокс рассмотрел случай сферической поверхности с различными симметричными распределениями узловых линий, В задаче об осциллирующей сфере [c.303]

Поверхность эта, как мы видим, подразделяется в направлении оси х узловыми линиями на т полуволн, поскольку каждую полуволну можно рассматривать как независимую пластинку, то мы в дальнейшем можем ограничиться исследованием выпучивания пластинки по одной полуволне. Для этого из системы уравнений (е) нужно оставить лишь уравнения, для которых пг = 1, Пользуясь нашими прежними обозначениями [c.435]

Этому выражению соответствует выпучивание пластинки по ряду волн длины в, причем узловые линии составляют с осью у угол, тангенс которого равен а. Подставляя это выражение для и в наше условие F + 1 1 = О, получаем [c.442]

В пластинках и дисках из узловых точек образуются узловые линии. На фиг. 20 показаны типичные формы колебаний консольной пластинки переменного сечения — турбинной лопатки. Фиг. 20, а показывает расположение узловых линий на поверхности лопатки при одной из изгибных форм колеба ний, [c.340]

Общие сведения и теоретические данные. Экспериментальное исследование свободных изгибных колебаний пластинки сводится к определению низших главных частот последовательных видов колебаний и нахождению для каждой частоты положения узловых линий, в точках которых амплитуды колебаний равны нулю. По найденным узловым линиям устанавливают форму колебаний, соответствующую данной частоте. [c.118]

Положение узловых линий каждой главной, формы колебаний можно определить, если насыпать на пластинку мелкий песок, который перемещается под влиянием вибрирующей пластинки в места с нулевыми амплитудами. Можно также пользоваться щупом, прикосновение которого к вибрирующим местам пластинки вызывает изменение амплитуды при постоянной частоте. Если же щуп приложить к узловым линиям, то амплитуда колебаний не изменится. [c.118]

Пластинка, подверженная равномерному сжатию в ее плоскости, выпучивается по волнообразным поверхностям, разделенным узловыми линиями, расположенными на расстоянии Ь (рис. 3.33, 5), т. е. наименьшее значение критического напряжения [c.278]

В общих чертах такая же картина, как в ст[)уие, будет наблюдаться н при колебаниях упругих пластинок или пленок. Если упругую пленку, например тонкий лист металла, натянуть на рамку, то такая NK M6pana будет обладать также бесконечным числом нормальных колебаний. Частоты этих колебаний зависят от размеров и массы мембраны и ее натяжения. Но каждому нормальному колебанию соответствуют уже не отдельные узловые точки, а целые узловые линии, которые при данном колебании остаются в покое. Такие же узловые лннии существуют и при колебаниях упругой пластинки. Обнаружить узловые линии колеблющейся пластинки можно следующим образом. Если на металлическу]о пластинку насыпать слой мелкого песка и затем возбуждагь в ней колебания, проводя но краю пластинки смычкам, то песок [c.656]

Его можно легко решить, если мембрана прямоугольная или круглая. Тогда легко вычислить тоны, которые может давать мембрана, и узловые линии, им соответствующие. При прямоугольной форме мембраны будем иметь дело только с тригонометрическими функциями, при круглой форме — с функциями, которые при исследовании колебаний круглой пластинки мы обоЗ(Начили через К . Это так называемые басселевые функции. Узловые линии прямоугольной мембраны — прямые линии, параллельные ее сторонам, круглой мембраны—диаметры (которые образуют между собой равные углы) и круги (концентрические пластинки с краем в виде круга). [c.384]

На рис. 6,3 показан спектр рисунков узловых линий такой защемленной пластинки. Здесь целые числа тип указывают на число пучностей форм колебаний соответственно в продольном и поперечном паправлеппях (число поперечных и продольных узловых линий, исключая узловую линию в закреплении, для каждой формы равно соответственно т—1 и п—1), Каждой из форм отвечает своя частота рт хп. Частоты эталонной пластин <и всегда возрастают с увеличением т и п. Столбец и строка, соответствующие данной частоте pi,, , разделяют ее на квадранты (см. ркс. 6.4). . [c.87]

Таким образом, каждое из собственных движений эталонной пластинки можно качественно охарактеризовать числами т и п, расставленными в определенной последовательности, или, что то же самое, соответствующим рисунком узловых линий. Систему рисунков узловых линий эталонной пластинки назовем системой эталонных, или исходных, форм. Система эталонных форм исчерпывает все возможные собственные движения эталонной пластинки, когда массы ее перемещаются в направлении, нормальном к срединной поверхности. Аналогичные узловые рисунки были отправными и у Гриисетеда. [c.87]

Чаще всего искажение исходных форм происходит по пути объединения пучностей, имеющих один знак перемещений и примыкающих к точке пересечения узловых линий на исходной форме. Нетрудно видеть, что возможны различные варианты объединения. Число этих вариантов ограничено (см. рис. 6.7,6). Важно, что на конкретной пластинке или лoпaткe vIoжeт проявиться лишь один из вариантов. [c.90]

Лопатки имеют более сложную геометрию. Однако характер узловых линий для их колебаний качественно близок к рассмотренному. Сохраняются и качественные свойства таблицы форм, отмеченные для пластинок. Это иодтверждаЕот многочисленные эксперименты и расчеты, выполненные для консольных лопаток типичных конфигураций. [c.90]

Е. F. F. hladni) по акустике ) и, в особенности, его экспериментами с вибрирующими пластинками. Покрывая пластинку тонким слоем мелкозернистого песка, Хладни получил возможность продемонстрировать существование узловых линий для различных колебаний и определить соответствующие частоты. В 1809 г. Французская Академия пригласила Хладни продемонстрировать свои эксперименты, причем они произвели сильное впечатление на присутствовавшего на этом заседании Наполеона. По предложению последнего Французская Академия назначила премию за разработку математической теории колебаний пластинок и за сравнение теоретических результатов с экспериментальными. В октябре 1811 г. к заключительной дате [c.146]

Кирхгофф применяет свои уравнения в теории колебаний круглой иластйнки со свободным краем. Он исследует не только симметричные формы колебаний (для которых узловыми линиями являются концентрические окружности), но также и такие формы, для которых узловыми линиями являются диаметры пластинки и для которых граничные условия Пуассона перестают быть применимыми. Придя к общему решению, он выполняет большую [c.306]

В начале XIX в. большой интерес возбудили наглядные опыты Э. Хлац-ни, демонстрировавшего узловые линии колеблющихся пластинок. В связи с этим внимание было привлечено к теории колебаний пластинок, которая была вынесена в качестве премиальной темы Парижской академии. Уравнение колебаний было найдено Ж. Лаграижем и Д. Пуассоном Обширные вычисления частот колебаний пластинок в различных случаях были проведены Кирхгофом. Адекватную теорию колебаний оболочек разработали в конце века А. Ляв, Э. Матье и Рэлей. [c.60]

Из вышеизложенного следует, что свободная прямоугольная пластинка не может колебаться подобно стержню так, чтобы узловые линии были параллельны двум противоположным ребрам, поскольку для этого потребовались бы пары сил, действующих на двух других ребрах для противодействия появлению антикластической кривизны. [c.197]

Случай квадратной пластинки болое сложен. Как п в случае квадратной дгембраны ( 53), узловые линии могут принимать весьма разнообразные формы благодаря наложению различных нормальных колебаний одной [c.200]

Обратимся теперь к другому крайнему случаю, когда пластинка имеет весьма большую длину в направлении действия сжимающих усилий Р- . Для определения числа полуволн, на которое пластинка подразделится при выпучивании, обратимся к выражению (( ). С числом т будем поступать как с непрерывно изменяющейся величиной. Составляя производную от (d ) по т ж приравнивая эту производную нулю, находим — т Ъ , т — а/Ъ, т. е. наименьшее значение сжимающих усилий Р будет соответствовать той искривленной форме выпучившейся пластинки, когда длина полуволн, получившихся при выпучивании, равняется ширине пластинки. При этом пластинка подразделяется узловыми линиями (линиями, по которым прогиб пластинки равен нулю) на квадраты, и критическое значение сжимающих усилий на основании (( ) представится так [c.428]

Когда имеется весьма длинная пластинка, подразделяющаяся при выпучивании на ряд полуволн, то каждая полуволна, заключенная между двумя последовательными узловыми линиями, может быть рассмотрена как независимая пластинка с опертыми краями, так как по узловым линиям соответствующие изгибающие моменты обращаются в нуль. Для такой пластинки заданной ширины Ъ критическое напряжение получается наименьшим, когда ее длина равна ширине. Отсюда можем заключить, что весьма длинная пластинка при выпучивании стремится подразделиться узловыми линиями на квадраты. [c.429]

На квадраты подразделится также и пластинка конечной длины, если только отношение ajb представляет собой целое число. При а/6 дробном пластинка подразделяется узловыми линиями на прямоугольники с таким соотношением сторон, при котором критическое напряжение, вычисляемое для одной полуволны как для независимой пластинки, имеет наименьшее значение. Соответствующее число полуволн может быть установлено путем таких рассуждений. [c.429]

Вычисления, которые мы здесь привели, относятся к случаю, когда в направлении оси х выпучившаяся пластинка представляет одну полуволну. Но, принимая во внимание, что при выпучивании по нескольким полуволнам мы можем каждый участок пластинки между двумя узловыми линиями рассматривать как независимую пластинку, легко распространить наши результаты на случай пластинки с любым числом полуволн в направлении оси X. Возьмем, например, случай чистого изгиба. Изменения коэффициента к в зависимости от отношения ajb представлены на рис. 118 кривой т = i. Мы видим, что сначала с возрастанием отношения afb коэффициент к убывает и достигает своего наименьшего значения при а/Ь з Далее начинается возрастание и при а/Ъ = 1 величина этого коэффициента, вычисленная в предположении одной полуволны, получается большей, чем для отношения а/Ъ = Это свидетельствует о том, что квадратная пластинка при чистом изгибе уже будет подразделяться на две полуволны и при дальнейшем возрастании отношения а/Ъ нужно пользоваться кривой иг = 2, которая получается из кривой т = i путем удвоения абсцисс. Подобным же образом могут быть построены кривые m = 3, ттг = 4 и т. д. Пересечением кривых /тг = 1 и ттг = 2 определяется момент перехода от одной полуволны к двум. Так же точно кривые m = 2 и m = 3 в пересечении дают то значение отношения а/Ь, начиная с которого получается три полуволны, и т. д. Легко видеть из рисунка, что с увеличением длины пластинки значения к все меньше будут отклоняться от своего наименьшего значения. Для достаточно длинной пластинки мы можем полагать Л = 23,9 и считать, что при выпучивании такая пластинка подразделится узловыми линиями на участки, соотношение сторон которых равно приблизительно з [c.437]

Заметим, что уравнения четного порядка будут заключать лишь по одному коэффициенту Ап- Соответствующие им значения представляют собой те сжимающие напряжения, при которых искривленная форма пластинки имеет своей узловой линией подкрепляющее ребро. Чтобы оценить влкяние жесткости ребра, обратимся к уравнениям нечетного порядка системы (к). Сохраняя лишь первый коэффициент А ш полагая остальные равными нулю, получаем из первого уравнения такое приближенное значение для критических напряжений [c.453]

ХЛАДНИ ФИГУРЫ — фигуры, образуемые скоплением мелких частиц сухого песка b6j[U3h узловых линий на поверхности колеблющейся пластинки или подобной ей механич. системы каждому собствеппому колебанию пластшп и соответствует свое расположение узловых линий. X. ф. открыты Э. Ф. Хладни (1756—1827). В случае круглой пластинки узловые ЛИПИН могут быть круговыми или радиальными в случае прямоугольной или треугольной пластинки они имеют направление, параллельное сторонам или диагоналям. [c.378]

Квадратная пластинка. Удовлетворительное решение уравнений (16) для квадратной пластинки получено Ритцем в 1909 г. [ ] при помощи рядов. Это решение, гораздо более сложное, чем для М., исследовано Ритцем для случая совершенно свободной (незакрепленной) квадратной пластинки. Форма узловых линий для простейших обер- [c.363]

Значения Я для четырех первых обертонов (для И=0,225) даны на фиг. 9. Из чение колебаний квадратной пластинки имеет гл. обр. теоретич. интерес и практич. применений не имеет. Опытное исследование колебаний пластинки произведено Хладни [ ] по его имени называются сложные фигуры узловых линий, получающиеся при колебаниях пластинки. Упругая линия прямоугольной пластинки, нагруженной равномерным давлением Р и свободно опертой по краям [решение ур-ия (18)], выражается сложным рядом, первое приближение к-рого (практически достаточно точное) [ ] [c.363]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...