Г Л А II А III ТЕОРЕМА ФУРЬЕ Ряд по синусам

ГЛАВА III ТЕОРЕМА ФУРЬЕ 32. Ряд по синусам [c.118]

Поскольку I — периодическая функция 9 с периодом 2я, ее можно разложить (для любого заданного значения г) в ряд по синусам и косинусам дуг, кратных 9 согласно теореме Фурье имеем [c.190]

Чтобы выяснить зависимость от 0, мы разложим С по теореме Фурье в ряд косинусов и синусов, кратных 0. Мы получим ряд, члены которого имеют вид [c.357]

По известным результатам М. Г. Крейна [6, 7] отсюда вытекает, что ядро К к, .i) является положительно определенным. Более того, из предположения 2) и одной теоремы о синус-интегралах Фурье [8], с. 223) следует, что Kik, ц)>0 при к, i>0. [c.88]

Далее, какова бы ни была функция ее можно разложить, по теореме Фурье ), в ряд синусов и косинусов углов, кратных Таким образом, [c.278]

Второй студент. — Решительно не согласен. Неверно думать, будто в солнечном свете в самом деле есть монохроматические волны различного цвета, подобно тому как в яш,ике с масляными красками есть тюбик с красной краской, тюбик с желтой краской, тюбик с синей краской и т. д. В солнечном свете ничего такого нет. Солнечный свет — это беспорядочный процесс изменения электромагнитного поля. Шы. можем математически представить этот процесс в виде суммы синусоид, только математически Эти синусоиды не суш,ествуют на самом деле. Ъ о — воображаемые синусоиды, суш,ествуюш,ие только в наших формулах, а не в солнечном свете. Мне известно из математики, что функции можно разлагать не только по синусам и косинусам, но и по разным другим функциям, например по полиномам Чебышева или по полиномам Лежандра. Все эти разложения совершенно равноправны. Я могу привести еш,е такой аргумент. Осциллограмма шума водопада также изображается кривой, вроде той, что показана на рис. 502. Я могу разложить ее по теореме Фурье на синусоиды. Одна из них соответствует звуку этого большого камертона (показывает набор камертонов), другая —звуку этого меньшего камертона, третья — еш,е меньшего и т. д. Так неужели можно серьезно утверждать, что шум водопада в самом деле сложен из звуков этих камертонов Согласитесь, что это только математический фокус. [c.537]

Рассмотрение общей задачи о распространении импульса произвольного вида очень упрощается тем, что любую функцию можно представить в виде суммы (вообще говоря, с бесконечным числом членов) некоторых определенных функций. Физически это означает, что произвольный импульс может быть представлен как сумма (бесконечно большого числа) импульсов определенного вида. Подавляющее большинство приемных устройств подчиняется принципу суперпозиции, который означает, что результат нескольких одновременных воздействий представляет собой просто сумму результатов, вызванных каждым воздействием в отдельности. Принцип суперпозиции применим в том случае, когда свойства принимающей системы не зависят от того, находится ли она уже под действием принимаемого возбуждения или нет, а эта независимость всегда имеет место, если воздействие не становится слишком сильным ). Поскольку принцип суперпозиции применим, мы можем заменить произвольный импульс суммой его слагающих и рассматривать действие каждой слагаюпгей отдельно. Рациональный выбор этих слагающих, т. е. рациональный выбор метода разложения сложного импульса, позволяет чрезвычайно упростить рассмотрение задачи. Таким рациональным разложением является разложение на монохроматические волны, т. е. представление произвольной функции в виде совокупностей косинусов и синусов, введенное Фурье. Согласно теореме Фурье любая функция ) может быть представлена с какой угодно точностью в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных функций с соответственно подобранными амплитудами, периодами и начальными фазами. При этом, если исходная функция периодична (с периодом Т), то периоды слагающих синусов и косинусов находятся в простом кратном отношении Т, 1 ,Т, /.1Т,. .. (представление в виде ряда Фурье). Если же функция не периодична, то в разложении содержатся не только кратные, но и все возможные периоды (представление в виде интгг- [c.32]

Таким образом, расхождения закона Максвелла (5.10) или (5.11) с опытом происходят за счет нарушения материальных уравнений (5.2). Такие уравнения справедливы не всегда, а только для монохроматических полей, причем г и 1 являются функциями частоты электромагнитного поля, различными для различных веществ. Чтобы отметить это обстоятельство, величины 8 (со) и (со) часто называют динамическими диэлектрической и магнитной проницаемостями, в отличие от статических проницаемостей, в которые они переходят при со = 0. Лишь в области сравнительно длинных электромагнитных волн (превышающих примерно 1 см) функции е (со) и (со) становятся постоянными для всех веществ. Поэтому в оптике электромагнитное поле приходится разлагал на монохроматические составляющие, что всегда возможно, согласно математической теореме Фурье (см. т. III, 128). Предполагая, что выполняется принцип суперпозиции, эти монохроматические составляющие можно рассмагривать независимо друг от друга. Таким путем можно исследовать распространение электромагнитных волн любого спектрального состава. Функции можно разлагать не только по синусам и косинусам, но и по бесконечному множеству других, полных систем функций. Однако выполнение материальных уравнений (5.2) для монохроматических полей, а также многие другие причины делают в оптике разложение полей на монохроматические составляющие физически выделенным среди множества других математически возможных разложений. Изложенные соображения, как и соображения, излагаемые в следующем пункте, имеют, конечно, общее значение, а не только для плоских электромагнитных волн. [c.39]

Если материальная система симметрична относительно оси, то и представляет периодическую функцию от ср, которая может быть разложена по теореме Фурье в ряд синусов и косинусов и его кратных. Кроме того, каждый член ряда должен удовлетворять уравнениям независимо от других. Таким образом, если а изменяется пропорционально oss[c.440]

Полученное неравенство составляет содержание теоремы Брейера и Оната. В одномерном случае это неравенство приводится к условию положительности косинус-преобразования Фурье функции релаксации, 6 >0. Нетрудно показать, что это условие эквивалентно условию положительности синус-преобразования ядра релаксации, Г > 0. [c.595]

В. Paul и С. С. Fu [1.273] (1967) интегрировали классическое уравнение изгиба балки при нулевых начальных условиях и заданном на свободном конце перемещении, линейно зависящем от времени. Применением синус-преобразования Фурье и метода вариации произвольных постоянных построе но решение для изгибающего момента в функциях Френеля На основе предположения, что в начальной стадии дефор мированная часть балки не искривляется, а только повора чивается относительно еще недеформированной части (де формированная ось имеет вид ломаной), получена без реше ния дифференциальных уравнений простая формула для по перечной силы. Сравнение с решением уравнения Тимошен ко обнаруживает хорошее соответствие. Отмечается, что для максимального значения нагибающего момента, которое наступает через большое время после прохождения волновых фронтов, классическая теория изгиба и теория типа Тимошенко должны давать близкие результаты. В дискуссии по этой статье [1.295] (1967) было отмечено, что максимум поперечной силы в балке Тимошенко имеет место в начальный момент времени и поэтому его выражение можно получить применением предельной теоремы преобразования Лапласа к изображению, приведенному в обсуждаемой статье. Сомнительно, что при определении максимального изгибающего момента в заданном сечении и в любой достаточно малый момент времени решение авторов, основанное на классической модели изгиба, будет давать реальную оценку. В ответе авторов отмечается, что эксперименты все же подтверждают применимость классической теории изгиба, хотя теоретически это не доказано. [c.64]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...