ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сходимость рядов из "Лекции по небесной механике " Коэффициенты А т, тт ЯВЛЯЮТСЯ функциями наклонно-сти, эксцентриситетов, долгот перигелиев, отсчитываемых от линии узлов и, наконец, больших полуосей. В двух предыдущих главах мы научились разлагать эти функции по степеням эксцентриситетов и наклонностей и теперь надо исследовать условия сходимости этих рядов. [c.397] Для этого нужно только применить метод Коши и найти особые точки этих функций. [c.397] Для того чтобы эта функция имела некоторое критическое значение г, необходимо прежде всего, чтобы одна из особых точек функции Н (ж, г), рассматриваемой как функция ж, находилась бы на контуре интегрирования. Но так как контур интегрирования можно деформировать непрерывным образом, то можно избежать прохождения через особую точку отсюда следует, что можно остановиться на том случае, когда контур заключается между особыми точками. Таким образом, мы получим все критические значения г, считая, что две особые точки функции Н, рассматриваемой как функция ж, совпадают. Но не все критические значения, найденные таким образом, являются подходящими. В самом деле, нужно, чтобы две особые точки, которые впоследствии совместятся, перед совмещением находились бы по разные стороны контура интегрирования. [c.398] Исключая ж и разрешая относительно г, находим критическое значение г. [c.398] Исключая отсюда х и разрешая относительно г, найдем критическое значение г. [c.398] Мы должны заметить, однако, что таким образом мы рискуем получить только необходимые условия. Действительно, выше мы заметили, что не все критические значения будут пригодны. [c.399] Мы получим и другие, также необходимые, условия, производя преобразования координат и, в частности, меняя местами х и т. е. меняя порядок интегрирования. [c.399] Не все эти особенности могут быть для нас подходящими, так как может случиться, что две совпадающие особые точки были расположены по одну сторону контура интегрирования. [c.400] Если будем рассматривать г как параметр, а х и — как координаты точки на плоскости, то уравнения (3) представляют некоторые плоские кривые. [c.400] Последние равенства говорят о том, что кривые (3) будут иметь двойную точку. [c.401] Эти значения могут нас не устраивать лишь потому, что две особые точки, которые совпадают, до этого могут быть расположены по одну сторону от контура интегрирования. Кроме того, мы видели, что наши условия являются только необходимыми. [c.401] Чтобы найти критические значения эксцентриситетов или наклонностей, мы должны искать такие значения, для которых три кривые из (4) или (4 ) пересекаются, или для которых две из этих кривых касаются, или, наконец, для которых одна из этих кривых имеет двойную точку. [c.402] Но так как интегралам (1) и (2) соответствуют те же самые кривые, то значения, для которых имеет место один из указанных случаев, будут одинаковыми как для интеграла (1), так и для интеграла (2). [c.402] критические значения эксцентриситетов или наклонностей для интегралов (1) и (2) совпадают. [c.402] сформулируем первый результат. [c.403] Коэффициенты В т разложения возмущающей функции по эксцентрическим аномалиям, так же как и коэффициенты Атт разложения по средним аномалиям, разлагаются по степеням эксцентриситетов и наклонностей. [c.403] Интервалы сходимости этих новыл разложений и для коэффициентов Втт коэффициентов А пт являются одними и теми же. Они являются одинаковыми для всех коэффициентов, каковы бы ни были целые числа т и т. [c.403] Тогда особые кривые представляются уравнениями 2 = 0, т = 0, 2 = 00, го=со, Д = 0. [c.404] мы должны найти условие, при котором три из этих кривых пересекаются в одной точке, или две из них касаются, или одна из них имеет двойную точку. [c.404] Первое условие не должно нас беспокоить, так как кривая Л = 0 всегда проходит через начало координат но для того чтобы функция, определенная определенным интегралом, имела особую точку, необходимо, чтобы две первоначально различные особые точки подынтегральной функции совпали, т. е., например, чтобы три особые кривые, которые первоначально не проходили через одну точ-к у, стали иметь общую точку. Этот случай здесь не имеет места, так как кривые А = 0, 2=0, ю = 0 всегда проходят через одну общую точку. [c.404] Вернуться к основной статье