Простейшие операции с тензорами

Простейшие операции с тензорами. Суммой тензоров Р и Q называют тензор Т, который по умножении справа на вектор а определяет вектор, равный геометрической сумме Р а и Q а. Он обозначается [c.806]

Простейшие операции с тензорами [c.97]

Чтобы получить условие (7.3.7), следовало бы ввести вместо тензора вращения эквивалентный ему вектор, далее представить тождество (7.3.4) с помощью е-тензора и записать условия интегрируемости этих тождеств как условие равенства нулю ротора вектора, используя еще раз обозначение соответствующей операции с помощью е-тензора. Мы не будем следовать этому пути, а просто проверим, что из 81 соотношения (7.3.6) на самом деле остается только шесть. [c.218]

Пользуясь этими простейшими операциями, произведем разложение тензора второго ранга на симметричную и антисимметричную части. Назовем сопряженным с данным тензором второго ранга Т такой тензор второго ранга Т, компоненты которого соответственно равны компонентам основного тензора, но с измененным порядком индексов, т. е. [c.49]

II. 2. Дифференциальные операции в векторном поле. Известно (п. 1.6), что операции над двумя векторами сводятся к построениям их скалярного инварианта а 6, вектора ахЬ и тензора— диады аЬ. В соответствии с этим простейшей дифференциальной операцией в векторном поле служит образование скалярного произведения набла-оператора на вектор [c.840]

Для решения поставленной задачи выберем несколько систем отсчета Во-первых, используем ортогональный лабораторный базис л , у, г. В этом базисе целесообразно записывать окончательные выражения и соответствующие операции в терминах инженерной механики пластичности, например конфигурационные тензоры деформаций г и напряжений усредненные по характерным объемам V, включающим большое количество малых участков (объемов кристалла, в которых реализуется каждый конкретный элементарный акт деформации или разрушения. Во-вторых, применим кристаллофизический базис, задаваемый тремя некомпланарными единичными векторами и, v, w, который в общем случае условимся считать косоугольным, а в практических расчетах — близким к ортогональному. В кристаллофизической системе координат такие свойства удобно выражать как тепловое расширение и упругую податливость. Справочные сведения о подобных характеристиках обычно представляют именно в кристаллофизическом базисе. В-третьих, будем широко пользоваться различными локальными базисами (которые в общем случае можно считать и неортогональными), выбирая их каждый раз так, чтобы форма записи соответствующих физических законов реализации процесса была предельно простой и понятной по содержанию. Так, если деформация осуществляется кристаллографическим сдвигом по плоскостям с нормалью п в направлении /, условимся задавать ее в базисе I, т, п, где направления I, т я п образуют тройку единичных ортогональных по отношению друг к другу векторов. Примером другой локальной системы отсчета может служить базис а, Ь, с, в котором удобно записывать условия раскрытия трещин отрыва. При этом условимся орт а ориентировать вдоль направления сдвига, инициирующего отрыв (например, по схеме Стро [2П), а вектор с — вдоль нормали к плоскости трещины. Понятно, что в этой схеме тройка единичных векторов а, Ь, с не обязательно образует ортогональный базис, а орт а может совпадать с ортом I из локальной системы сдвига. Однако базис целесообразно брать все же ортогональным. [c.9]

Следовательно, по отношению к ковариантному дифференцированию компоненты фундаментального тензора ведут себя как константы. Это свойство в сочетании с операцией поднимания индексов (см. 1Л6) дает простой способ вычисления ковариантных производных от смешанных и контравариантных компонент любого тензора, ес.гш известны все ковариантные производные от его ковариантных компонент, [c.26]

Приведенный выше анализ поведения микропеоднородного материала при растяжении — сжатии основывался на наглядной интерпретации в виде стержневой модели Мазинга. Полученные соотношения могут быть, однако, непосредственно распространены на пропорциональное нагружение при произвольном виде напряженного состояния. Формальное обобщение на условия непропорционального нагружения требует уже перехода к операциям с тензорами. Полученная таким путем структурная модель среды должна рассматриваться как математическая модель, имеющая механический (стержневой) аналог лишь в самом простом случае. [c.215]

Соотношения (16.5) можно сделать наглядными, если перейти к представлению тензоров йг ), Оц векторами в девятимерном пространстве напряжений ац. Такое представление не является, разумеется, полным и возможно лишь в некотором смысле. При анализе уравнений пластического состояния обычно используются лишь простейшие операции над тензорами, и можно установить соответствие между этими операциями и операциями с представляющими их векторами. Векторное изложение более наглядно, облегчает интерпретацию опытных данных и широко применяется для анализа уравнений пластического состояния. [c.70]

Изложенный метод является эффективным алгебраическим методом исследования и синтеза пространственных механизмов, основанным на использовании однородных координат, которые дают возможность объединить сложное преобразование поступательного и вращательного относительных движений в одной матрице 4-го порядка, представляющей соответствующий тензор второго ранга. Применением однородных координат, а также введением фиктивных звеньев можно уменьшить количество вводимых координатных систем по сравнению с методами, в которых используются неоднородные координаты (С. Г. Кислицына, Г. С. Калицына и др.), и тем самым уменьшить количество вычислительных операций при составлении расчетных уравнений для определения искомых параметров. В этом методе преобразование координат и геометрические связи между звеньями полностью отображаются тензорным или эквивалентным ему матричным уравнением замкнутости механизма, которое распадается на двенадцать уравнений относительно искомых и известных параметров. Из этого числа могут быть отобраны в общем случае шесть наиболее простых уравнений, а остальные уравнения использованы для контроля правильрюстн определения параметров. [c.167]

Операции дифференцирования и интегрирования в частной О, т. могут быть представлены в ковариант-ном виде. Взятие частной производной по дЮх повышает ранг тензора на единицу с появлением ковариант-ного индекса ц (простейший пример — вектор йф/ х , где ф — скаляр). [c.499]

Тем не менее для некоторых нелинейных моделей материалов может оказаться, что выгоднее использовать тензоры деформаций, которые выше не рассматривались. При этом структура определяющих соотношений может быть простой [63], т. е., проигрывая в числе операций при определении компонент тензора деформаций, можно выиграть в том, что компоненты тензора напряжений определяются по более простым определяющим соотношениям. Кроме того, для некоторых законов пластичности с анизотропным законом упрочнения материала в формулировке определяющих соотношений наллучшим выбором являются тензоры логарифмических деформаций [3, 35, 38, 121]. [c.41]

При выполнении условий малости деформаций (1-52) для TL-подхода оптимален выбор тензора а для UL- и эйлерова подходов — тензора так как все правые тензоры деформаций семейства Хилла приблизительно равны тензору а левые — тензору В этом случае условие несжимаемости приобретает вид (1.54), т. е. имеет простой вид при использовании тензоров Е( ) и Однако для того, чтобы установить, выполнены ли условия малости деформаций (1.52), надо во всех материальных точках тела сделать ряд дополнительных операций (определить главные значения тензора U или V и сравнить их с единицей). Поэтому лучше использовать эти условия в случае, когда они заведомо выполняются, например при деформировании тонкостенных конструкций (стержни, пластины, оболочки), подвергающихся преимущественному изгибу. [c.41]

Вычислив тензор С в этой конкретной системе координат,, следует преобразовать его к произвольной системе координат (ибо при последующих операциях скорость g уже не фиксирована). Это легко сделать, заметив, что тензор G в данной системе пропорционален трехмерному единичному тензору за вычетом его-ZZ-кЬмпоненты. Последняя представляет собой просто диаду 1 1 , где iz — единичный вектор вдоль оси Z [c.41]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...