Перестановка индексов тензора

Перестановка индексов тензора 56 [c.454]

Но стоящая теперь перед Fim,k комбинация дискриминантных тензоров есть, как легко видеть, просто оператор суммирования по всем перестановкам индексов Imk, причем четные перестановки берутся со знаком -f-, а нечетные со знаком —. Эти минусы устранятся перестановкой индексов тензора поля. Поэтому [c.214]

Примером результата перестановки индексов является переход от тензора а-Ь к тензору Ь-а . Сложение тензоров мы рассматривали выше, пользуясь ортогональной системой координат. Свойства формул преобразования показывают, что можно складывать тензоры лишь одинакового ранга и строения. [c.56]

Операция перестановки индексов (транспонирования) состоит в образовании тензора Pf с компонентами /р из компонентов тензора Pf по закону [c.312]

Из симметрии тензоров о.-,- и еу следует, что тензоры модулей и податливостей не меняются при перестановке индексов i и /, к и I. В результате оказывается, что из 81 компоненты тензора четвертого ранга в трехмерном пространстве различными остаются лишь 21 компонента. Соответствующие потенциалы имеют следующий вид [c.239]

Перестановка индексов. Простейшей операцией над тензором Тц является операция перестановки индексов, которая приводит к возникновению нового тензора Тц, матрица которого будет транспонированной (см. гл. 4, п. 9) по отношению к матрице первого. [c.59]

Операция перестановки индексов симметричного тензора не влечет за собой изменения структуры тензора или приводит к тождественному преобразованию. [c.59]

Симметрированием тензора по группе нижних индексов называется сложение этого тензора с теми, которые из него получаются всевозможными перестановками индексов данной группы сум.му обозначают [c.236]

Альтернирование тензора отличается от предыдущей операции тем, что в составленной сумме исходный тензор и тензоры, полученные из него четными перестановками индексов, берутся со знаком плюс, а остальные — с минусами, и сумму обозначают [c.236]

Тензор [ji симметричен относительно перестановки пар индексов U и 1т, а также относительно перестановки индексов внутри каждой пары. В общем случае ок имеет 21 независимую компоненту, однако вследствие симметрии кристалла число независимых и неравных нулю компонент может быть меньше. [c.506]

Символы Кристоффеля первого рода довольно просто выражаются через компоненты метрического тензора. В самом деле, дифференцируя первое из выражений (6.9) по и производя циклическую перестановку индексов, получаем [c.86]

Представление тензора в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Тензор второго ранга называется симметричным, если его компоненты не изменяются при перестановке индексов сцг = сщ. Тензор второго ранга называется антисимметричным, если его компоненты меняют знак при перестановке индексов, т. е. С1к — —с, . Общий вид антисимметричного тензора [c.22]

Главные дифференциалы приращения тензора деформаций для рассматриваемого состояния плоской деформации удовлетворяют соотношениям (2.115) — (2.119) и условиям аг = —(1г2 и /8з = 0. Так как этим деформациям отвечают главные напряжения о = —02, аз = 0, отношения которых остаются постоянными во время всего процесса деформирования, то уравнения (2.118) можно проинтегрировать и записать в конечном виде ) 81 = —82, 83 = 0, и в виде соотношений, получающихся циклической перестановкой индексов 1, 2, 3. В плоскости деформаций 81 + 82 + 83 = = 0 эти три группы уравнений представляются тремя прямыми, пересекающимися в начале координат О и наклоненными под одинаковыми углами в 60°. Это приводит нас к предположению, что последовательность постых сдвигов (состояние плоской деформации с поворотом) можно представить в виде прямолинейного пути 81 = —82, 83=0, который точка Q с координатами 8ь 82, 83, откладываемыми в направлениях действия главных напряжений аь 02, о проходит вдоль 05з (рис. 2.11). Считая, что последовательность простых сдвигов осуществляется, как и в 2.3, В, в направлении оси х, мы можем воспользоваться выражениями, которые были там выведены и справедливы для состояния простого сдвига независимо от природы материала, а именно выражениями [c.115]

Четвертое действие именуется по-разному перестановка индексов, жонглирование индексами и др. Из компонент тензора образуется новая совокупность величин с другим порядком индексов, результатом является тензор того же ранга. Из тензора например, можно получить тензоры В, со следующими компонентами [c.13]

Тензор Tg сохраняет значение при перестановке индексов в каждой паре (pq), (rt). [c.116]

Тензор упругостей сохраняет значение при перестановке индексов в каждой паре (др), st). По (П. 1.6) число его компонент равно 21. Это следует из (7.9), (4), а также из определений производной (II.4.5) тензора по тензору [c.119]

Приведенные расчеты показывают, что метод матрицы плотности упрощает трудоемкие вычисления, связанные с использованием возмущенных волновых функций (такой подход применяется в приложении I) и в то же время позволяет естественным образом ввести затухание. Применение метода матрицы плотности позволяет описывать поглощение и дисперсию в одном порядке теории возмущений, поэтому он используется здесь и в приложении П1. В приложении HI приведены полные выражения для нелинейной поляризации с суммарной частотой о>з = 1 + 2 в случае, когда на систему действуют два периодических электрических поля. Симметричная форма тензора нелинейной восприимчивости третьего ранга [см. формулу (2.23) приложения П1] имеет место только в случае среды без потерь. Соотношения симметрии относительно перестановки индексов, полученные в гл. 1 из феноменологических энергетических соображений, подтверждаются, таким образом, непосредственными расчетами. [c.71]

Теизор Кристоффеля определяется тензором упругих модулей, в который для кристаллов входит не более 21 независимого модуля. Это следует нз симметрии тензоров Т и 5.. относительно перестановки индексов. С учетом данной симметрии удобно использовать сокращенную форму записи индексов в соответствии с правилом [c.211]

Кроме перечисленных выше алгебраических операций в тензорном исчислении играет важную роль операция перестановки индексов. С ее помощью можно выделить из числа тензоров второго ранга симметричные тензоры, обладающие свойством [c.165]

Образование изомеров. Перестановка двух индексов тензора дает другой тензор того же ранга, называемый изомером первого тензора. Тензор называется симметричным относительно двух индексов, если он равен своему изомеру, полученному при перестановке этих индексов. Тензор называется антисимметричным относительно двух индексов, если он равен своему изомеру с обратным знаком. [c.203]

Перейдем теперь к анализу того слагаемого в (9.14), которое связано с псевдотензором С этой целью определим отличные от нуля компоненты псевдотензора A pi в кристаллах класса g . При нахождении дополнительных связей, которые накладываются симметрией на компоненты псевдотензора A ijim, следует помнить, что при всяких поворотах псевдотензор А щ ведет себя, как истинный тензор. Поэтому прежде всего можно использовать те ограничения, которые накладываются на тензор A ljim наличием оси 6-го порядка. Поскольку относительно перестановки индексов тензор Ai Ji подобен тензору отличные от нуля компоненты псевдотензора могут находиться только среди тех компонент, которые одноименны отличным от нуля компонентам тензора в кристаллическом классе g. Окончательный же выбор отличных от нуля компонент псевдотензора аР)1щ основан на том, что эти компоненты в классе g , соответствуют тем отличным от нуля компонентам тензора Б классе g, которые при отражении в плоскостях симметрии Оу и <3у, группы Сбг, изменяют знак. Последнее связано с тем, что компоненты псевдотензора А 1]ш остаются при этом неизменными. [c.232]

Первая операция не требует подробных разъяснений. Рассмотрим, например, смешанный тензор второго ранга Т - Изменяя порядок индексов, мы получаем, вообще говоря, др)той тензор Т1. Перестановка индексов не пзмепжп тензора лишь тогда, когда он симметричен. [c.56]

При ограничениях линейной теории упругости тензор деформации (Btj) является симметричным. Поэтому при перестановке индексов t п j, k п I величины и Bifihi не должны меняться. Следовательно, тензоры ij ijki также должны удовлетворять условиям симметрии [c.57]

Перестановка (транспозиция) индексов. Эта операция состоит в том, что из тензора, например, ац ) образуется того же ранга другой тензор Ьцц) путем перестановки индексов у компонент тензора аци). Пусть переставляются, например, 1-й и 3-й индексы, т. е. i и й. В результате получим тензор (bi/s) с компонентами Ьц = Поскольку у тензора строго определенный порядок индексов при его компонентах, то операция перестановки индексов приводит, вообще говоря, к тензору, отличному от исходного, т. е. (6,/ ) = (ахл) ф (агу ). Однако некоторые тензоры не изменяются при п рестановке индексов у компонент или изменяют лишь свой знак. [c.395]

ЭЛЕКТРОСТРЙКЦИЯ—деформация диэлектрика, пропорциональная квадрату приложенного электрич. поля (или поляризации). Электрострикционная деформация не меняет знак при изменении направления поля на противоположное. При наличии обратного пьезоэлектрич. эффекта (линейной связи деформации и поля см. Пьеюэлек-трики) Э. выступает в качестве малой нелинейной добавки к нему. В отличие от пьезоэлектрич. эффекта, у Э. нет обратного эффекта, но есть термодина.мически сопряжённый эффект — изменение диэлектрической проницаемости пол действием механич. напряжения (аналог фотоупруго-сти), Коэф. Э. является тензором 4-го ранга, несимметричным по перестановке 1-й и 2-й пар индексов и симметричным по перестановке индексов внутри 1-й и 2-й пар. Тензор Э. характеризуется в общем случае (триклинная симметрия) 36 компонентами. Э. может иметь место в центросимметричных кристаллах и в изотропной среде. В сегнето-электриках с центросимметричной исходной (неполярной) фазой эффект Э. велик в области фазового перехода, а в сегнетоэлектрич. фазе пьезоэлектрич. эффект можно [c.594]

Для вычисления всех деформаций анизотропного материала в общем случае потребуется 81 значение упругих постоянных ikim, образующих тензор четвертого ранга. Из условий равновесия = Ху и т. п.) следует, что соответствующая перестановка индексов не изменит величины компонент тензора упругих постоянных, т. е. [c.34]

Наиболее удобной формой, позволяющей избежать неоднозначности, является запись неприводимого тензора ранга п и веса J в его естественной форме Т( , в которой п = J. Тензор в зтой форме полностью симметричет, т.е. инвариантен при любой перестановке индексов, и имеет равный нулю след (результат свертки по любой паре индексов, т.е. 16 [c.16]

Здесь е —полностью кососимметричный тензор третьего ранга, причем ijk = О, если любые два индекса равны. Если все индексы разные, то etf = 1 в зависимости от четности перестановки индексов. [c.389]

Ввиду того, что тензор деформации симметричен = у -, произведение не меняется при перестановке индексов в каждой из пар (/, /) и (fe, /). Кроме того, это произведение не меняется и при перестановке самих этих пар. Поэтому без ограничения общности можно считать, что коэффициенты Сц. и ijki удовлетворяют этим же условиям, т. е. [c.28]

В силу симметричности тензора произведение не меняется при перестановке индексов i и /, й и /. Это произведение не меняется также при перестановке пар (/, /) и (й, I), Поэтому без ограничения общности можно считать, что коэффициенты в (8.7) и ijki удовлетворяют условиям [c.37]

Видно, что нелинейная поляризация, относящаяся к частоте f, содержит компоненту Pf (f f, f, —1), зависящую от напряженности поля этой же частоты, и другую компоненту P /Чf f, —/0. на которую влияет напряженность поля с частотой Мы рассматриваем волны поляризации и напряженности поля, распространяющиеся в направлении г и поляризованные в плоскости х,у). Вследствие предполагаемой изотропности среды можно применить соображения симметрии из разд. 1.22 и, в частности, уравнения (1.22-18), (1.22-19) и (1.22-21), из которых следует, что тензоры могут иметь не более трех не зависящих друг от друга компонент. В качестве таких компонент можно выбрать, например, У -х1уу< У х1ху Хх1ух Используя другие свойства симметрии, можно еще больше сократить число независимых компонент. Например, при заданных частотах величина Х /Дг (f f, f, — f) должна быть инвариантной по отношению к перестановке индексов /, к вследствие уравнения (1.22-3), откуда вытекает [c.188]

Обозначение е г ло- закреплено за стандартным антисимметри-ческим тензором ранга 4. Антисимметричность означает, что его компоненты меняют знак при перестановке любой пары индексов, кроме того, ео123 = 1- Рангом называется число индексов тензора. В этих обозначениях форма объема равна дУ = = Л Л с1х Л йх . Дуальным тензором называется [c.23]

Тензор Т называется изомером тензора Т. Таким образом, операцию перестановки индексов мощно овеоти к умножению на фунда- [c.439]

Симметрирование. Остановимся теперь на свойствах симметч рии тензоров. Тензоры называются симметричными или косо-симметричными по отношению к заданной паре индексов М и V, если обе компоненты рассматриваемого тензора, получающиеся при перестановке индексов ц и V, соответственно равны друг другу или отличаются только знаком. Например, тензор, компоненты которого удовлетворяют условию Лц ре = Луцре, симметричен по отношению к паре индексов и, и V. Тензор, компоненты которого удовлетворяют условию Лцvp8 = — Лv фг. кососимметричен по отношению >к паре индексов х и V. [c.23]

Поскольку тензор деформации симметричен, возможна перестановка индексов как внутри первой, так и внутри второй пары, Т- е. = Слит = Сц,цк = Сцпк Кроме того, поскольку поря- [c.54]

При ограничшиях линейной теории упругости -тензор деформации (ец) является симметричным. Поэтому при перестановке индексов и и / величины и ие должны меняться. Следовательно, тензоры Си n tihi также должны удовлетворять условиям симметрии [c.56]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...