Умножение вероятностей — Теорем

Эта формула выражает теорему умножения вероятностей для независимых событий, утверждающую, что вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. [c.15]

Формула полной вероятности. Следствием теорем сложения вероятностей и умножения вероятностей является так называемая формула полной вероятности. Пусть требуется определить вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий Bj(j = 1, 2,..., л), образующих полную группу несовместных событий, которые называют гипотезами. Несколько событий в данном опыте образуют группу событий, если в результате опыта непременно должно реализоваться хотя бы одно из них. Так как гипотезы Bj образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинациях с какой-либо из этих гипотез, т.е. [c.22]

Вероятности сложных событий находятся через вероятности простых событий с помощью теорем сложения и умножения вероятностей. [c.9]

Второй основной довод, направленный против разбираемой теории, связан с понятием ячеек, т. е. максимально полно определенных состояний и вероятностей перехода между ними. Как мы подчеркивали, в этой теории предполагалось, что система всегда находится в максимально полно определенном состоянии и лишь переходит от одного такого состояния к другому. Вероятности перехода определялись в этой теории при помощи теории возмущений. С другой стороны, вероятность осуществления того или иного состояния в определенный момент времени (из выделенного нами дискретного ряда моментов) подсчитывалась обычными методами теории вероятностей, с помощью обычных законов сложения и умножения вероятностей. При этом предполагается, что указанная вероятность равна сумме вероятностей перехода системы в данное фиксированное состояние из всех других состояний, в одном из которых она была в предшествующий момент. Каждая из этих вероятностей равна произведению вероятности того, что система в предшествующий момент находилась в соответствующей ячейке, на вероятность перехода из этой ячейки в данную фиксированную ячейку за интервал времени между двумя выделенными дискретными моментами и т. д. Одним словом, изменение вероятностного распределения со временем определялось так, как если бы переходы между ячейками реально существовали, и значения вероятностей переходов определялись по теории возмущений. Получаемое таким путем в некоторый момент распределение вероятностей, т. е. значение вероятностей различных ячеек,. определяется долей систем ансамбля тождественных независимых систем, оказавшихся в различных ячейках, если системы ансамбля действительно совершали переходы с указанными вероятностями (и если число систем ансамбля [c.148]

Часто встречаются случаи совместного использования теорем сложения и умножения вероятностей в целях определения так называемой полной вероятности. К таким случаям относится определение вероятностей зазоров и натягов в соединениях как сумма произведений вероятностей отклонений размеров деталей, входящих в соединение (см. ниже). [c.32]

Обозначим bi и 2 вероятность отказа соответственно первой и второй деталей. Тогда надежность тех же деталей будет (1—Ь]) и (I—bz). Применяя теорему умножения вероятностей, можно интересующую нас надежность машины, т. е. вероятность непоявления ни одного отказа, выразить [c.137]

В теории надежности принято различать три вида структурных схем соединения последовательные, параллельные и последовательно-параллельные. При последовательном соединении отказ любого элемента вызывает отказ всей системы. Безотказная работа означает, что каждый элемент должен работать безотказно и такая система не может быть надежнее самого ненадежного элемента. При последовательном соединении не следует понимать простого физического последовательного соединения элементов, при этих схемах отказ любого элемента вызывает отказ всей системы. Если последовательно соединенные элементы являются независимыми, то вероятность безотказной работы находится умножением вероятностей каждого из элементов [c.18]

Таким образом, машина, обеспечивая выполнение заданных ей функций, должна быть возможно проще по конструкции. Усложнение конструкции оправдается лишь при появлении новых положительных качеств или выполнении машиной новых полезных функций. Весьма действенным методом повышения надежности машины или установки является резервирование. Суть этого метода заключается в создании резервной (избыточной) работоспособности в наиболее важных частях машины. Для резервирования характерно так называемое параллельное соединение узлов, при котором отказ машины происходит лишь при одновременном отказе всех ее узлов. Отказ каждого из них с точки зрения теории вероятности является независимым событием, поэтому вероятность отказа всего изделия в целом (машины) при параллельном соединении согласно закону умножения вероятностей для независимых событий определится рмулой [c.16]

Перейдем теперь к установлению основных теорем относительно вероятностей теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей. Доказательство этих теорем весьма несложно оно соединено лишь с допущением, что все события можно приводить к равновозможным. [c.12]

Следствием теорем сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности. [c.67]

Некоторое упрощение в математическом представлении надежности организационных систем может быть принято на основании правил из теории вероятностей. Например, правило умножения вероятностей утверждает, что вероятность совместного наступления двух событий равно произведению вероятности первого события на условную вероятность второго при условии, что первое событие состоялось. [c.37]

Рассмотрим определение -характеристики, используя теорему умножения для зависимых событий Р АВ) = Р А)-Р В1А), где АВ — сложное событие (совместное выполнение событии А и Б) Р АВ) — вероятность данного события и Р В/А) — условная вероятность события В (т. е. при условии, что А имело место). [c.141]

Чтобы сравнить характер кривых для разных моментов времени, эти кривые были нормализованы умножением ординат каждой кривой на постоянный коэффициент, так чтобы кривые совпадали в точке, расположенной посредине между центром и краем диска. Эта точка была выбрана для совмещения кривых потому, что в ней влияние краевого эффекта и контактной площадки, возникающей на контуре диска в месте приложения нагрузки, должно быть, вероятно, наименьшим. Совпадение этих нормализованных кривых с теоретической кривой при одинаковом порядке полос в точке, расположенной посредине между центром и краем диска, было весьма хорошим. Это позволило сделать вывод, что порядок полос интерференции в этих материалах зависит только от времени. Эти порядки полос сравниваются в табл. 5.2—5.5, где указано относительное (%) отклонение экспериментальных результатов от теоретических. В этих таблицах расстояние выражено как его отношение к радиусу диска. Таким образом, картина полос в диске, полученная через 22 час после приложения нагрузки, все еще аналогична картине полос, полученной сразу же после нагружения, в том отношении, что обе картины по распределению порядков полос соответствуют решению но теории упругости. Исключение составляют области около краев, где временные эффекты становятся заметными уже через несколько часов. Эти опыты проводились на двух отливаемых фенолформальдегидных смолах. На фиг. 5.3 иллюстрируется характер изменения со временем оптической постоянной Каталина в условиях ползучести под постоянной нагрузкой. В гл. 7 показано, чтО порядки полос, найденные после разгрузки, эквивалентны порядкам, получаемым для замороженной картины полос. [c.126]

Формула полной вероятности объединяет вторую теорему умножения с теоремой сложения. [c.287]

Пример 4.17. Теорему и формулу (4.5) обычно называют правилом умножения и часто используют при анализе надежности. Предположим, что система состоит из трех подсистем, для которых известны вероятности успешного выполнения поставленной задачи в течение времени t [c.114]

Например, если для сборки узла слесарь возьмет вал с наименьшим размером 29,98 мм (вероятность Р ), а втулку с наибольшим размером 30,08 мм (вероятность Рз), то в соединении будет наибольший зазор, равный 30,08—29,98 == 0,1 мм. Для определения числового значения вероятности такого события Р (появление в узле наибольшего зазора) применим теорему умножения Р = Р]. Рз. [c.46]

Согласно теореме умножения теории вероятностей (см. 16) вероятность одновременного появления при одном измерении изделия всех погрешностей с наибольшим значением (Дм и Ди и т. д.) ничтожно мала, так как должна равняться произведению вероятностей этих событий. Поэтому суммарную, т. е. предельную, погрешность метода измерения Ант определяют на основе квадратичного сложения по формуле [c.110]

В основу теоретического расчета допусков на звенья цепи берут известную теорему умножения из теории вероятностей, основанную на том, что вероятность совпадения всех случайных событий равна произведению их вероятностей (см. гл. XI). [c.225]

Для решения этой задачи воспользуемся одним из законов теории вероятности — первым законом умножения. Согласно этому закону вероятность совместного появления нескольких независимых событий (схема и — и ) равна произведению вероятности этих событий. [c.15]

В нашем случае независимым событием является безотказность работы отдельных узлов машины. Применяя теорему умножения, получим, что вероятность безотказной работы машины при последовательном соединении равна произведению вероятностей исправной работы ее узлов, или надежность машины при последовательном соединении равна произведению надежности ее узлов, т. е. [c.15]

В нашем случае независимым событием является безотказность работы отдельных узлов машины. Применяя теорию умножения, получим, что вероятность безотказной рабо гы машины при последовательном соединении равна произведению вероятностей исправной работы ее узлов, т, е. [c.15]

При переходе атома из одного положения равновесия в другое энергия системы переходит через потенциальный барьер между минимумами. Согласно теории скоростей реакций мы должны предположить, что в процессе перехода система термически возбуждена до высоты потенциального барьера (перевальной точки 5), который она затем и преодолевает. Вероятность V того, что этот процесс будет иметь место для данного атома в единицу времени, равна потоку частиц через 5, делённому на полное число атомов внедрения. Для простоты мы предположим, что энергия системы зависит только от трёх пространственных координат атома, совершающего переход. Более того, мы будем считать, что потенциал приблизительно постоянен вдоль некоторого короткого отрезка при переходе через перевальную точку. Тогда поток атомов через 5 будет равен среднему числу атомов на единице длины 5, умноженному на их среднюю скорость. Поскольку в каждый данный момент в перевальной точке находится только малая часть диффундирующих атомов, число атомов на единицу длины в 5 будет равно полному числу атомов внедрения л, умноженному на отношение суммы состояний, рассчитанной на единицу длины в точке перевала, к сумме состояний атомов внедрения, находящихся в положении равновесия. [c.523]

Далее в своей теории Лондон рассматривает квантовомеханическое выражение для электрического тока, который равен умноженной на заряд —е плотности потока вероятности [c.305]

Выражение (А1.6) известно как правило умножения теории вероятностей. [c.321]

Одна из наиболее трудных задач стендовых испытаний — выбор режима стендовых испытаний, который, с одной стороны, должен дать максимальное сокращение времени испытаний, с другой,— обеспечить подобие физической картины отказа изделия. Как известно из теории подобия, два процесса (ускоренный и эксплуатационный) можно считать подобными, если переход от одного к другому осуществляется только путем изменения масштаба, т. е. умножением на постоянную величину [1, 23]. Для изделий, вероятность безотказной работы которых подчиняется закону Вейбулла, необходимым (но не достаточным) условием подобия эксплуатационных и стендовых испытаний служит равенство коэффициентов вариации времени работы изделия до отказа [c.61]

Применив к событию Я,Л теорему умножения для зависимых событий (4.9), получим окончательный вид формулы полной вероятности [c.67]

При этом мы считаем, что все отдельные погрешности отличаются только знаком и имеют по абсолютной величине максимально возможное значение 0.05. Такое допущение только завысит общую погрешность результата, что для нас сейчас несущественно. Пусть при измерении первого образца мы допустили погрешность, равную +0.05, вероятность чего, как уже говорилось, равна 1/2. Вероятность того, что и при измерении второго образца мы сделаем снова положительную погрешность, будет в соответствии с известным нам правилом умножения вероятностей равна (1/2) , т.е. 1/4. Наконец, вероятность при всех 100 измерениях сделать ошибку одного и того же знака будет (0.5) , или примерно 2-10 . Такая вероятность (в соответствии со сказанным выше) с любой практической точки зрения равна нулю. Таким образом, мы пришли к заклк>-чению, что невозможно сделать погрешность в общей массе образцов в 5 г (0.05 100), ибо вероятность такой погрешности незначимо мало превышает нуль. Иначе говоря, действительная погрешность при таком способе взвешивания будет всегда меньше 5 г. Мы выбрали наиболее неблагоприятный случай - погрешность каждого взвешивания имеет наибольшее значение, и все погрешности оказались одного знака. Теория вероятностей дает возможность оценить,какова будет вероятность появления погрешностей других численных значений. Для этого введем сперва понятие средней квадратической, а также средней арифметической погрешностей. [c.32]

Закон распределения вероятностей для состояний объединенной подсистемы может быть найден и другим путем. При слабом взаимодействии подсистемы I и II являются квазинезависимыми. Применяя теорему умножения вероятностей, вычислим вероятность того, что одна из них обладает энергией а другая — 82. [c.49]

Распространим теперь теоре лу умножения вероятностей на случай какого угодно числа событий. К такому обобщению можно притти, переходя последовательно от случая двух событий к случаю тре о от случая трех событий к случаю четырех, и так далее. [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...