Теорема Лагранжа — Дирихле. Теоремы Ляпунова

Ограничимся изучением устойчивости равновесия системы, подчиненной голономным, стационарным и идеальным связям. Если такая система находится в консервативном силовом поле, то устойчивость равновесия системы определяется согласно теореме Лагранжа — Дирихле или теоремам Ляпунова. Теорема Лагранжа—-Дирихле гласит если в положении равновесия системы потенциальная энергия имеет минимум, то положение равновесия устойчиво. [c.580]

Теорема Лагранжа — Дирихле дает достаточные уаювия устойчивости положения равновесия. Если же в положении равновесия потенциальная энергия не имеет минимума, то вопрос об устойчивости часто можно решить при помощи следующих теорем Ляпунова о неустойчивости. [c.87]

Глубокие обобщения теоремы Лагранжа — Дирихле содержатся в работах А. М. Ляпунова. Некоторые результаты А. М. Ляпунова рассмотрены ниже. [c.217]

Попытаемся применить метод, которым мы пользовались в этом параграфе при доказательстве теоремы Лагранжа — Дирихле, к доказательству теорем А. М. Ляпунова. Вновь рассмотрим функцию [c.227]

В теоремах А. М. Ляпунова о неустойчивости равновесия рассмотрены практически важнейшие случаи обращения теоремы Лагранжа — Дирихле. [c.346]

Устойчивость равновесия системы. Теорема Лагранжа — Дирихле. Понятие о теоремах Ляпунова [c.336]

Теорема Лагранжа — Дирихле содержит утверждение об устойчивости равновесия системы в том ее положении, где потенциальная энергия задаваемых сил достигает минимума, но не дает никаких оснований судить о том, будет ли равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия в этом положении системы имеет максимум. Ответ на этот важный вопрос для весьма обширного класса случаев, практически вполне исчерпывающих мыслимые приложения, содержится в теоремах Ляпунова (1857—1918). Доказательство теорем Ляпунова не может быть здесь дано удовольствуемся их формулировкой ). [c.339]

Строгое доказательство теоремы Лагранжа впервые дал Дирихле, поэтому эта теорема часто называется теоремой Лагранжа — Дирихле. Здесь приводится доказательство Ляпунова, вытекающее непосредственно из его прямого метода. [c.78]

В теореме Лагранжа—Дирихле ничего не говорится о том, что происходит в случае, когда данное условие не выполняется. Этот вопрос до сих пор полностью не решен. Частичное его решение дают Две теоремы А. М. Ляпунова, одну из которых для рассматриваемого нами случая (и только для него ) можно упрощенно сформулировать так положение равновесия системы неустойчиво, если в этом положении ее потенциальная энергия имеет максимум. [c.310]

Теорема Лагранжа — Дирихле дает критерий, позволяющий утверждать, что равновесное положение консервативной системы устойчиво, если ее потенциальная энергия имеет минимум. Однако по этой теореме нельзя определить, каково равновесие системы, если ее потенциальная энергия в равновесном положении не имеет минимума. В этих случаях применяют следующие теоремы Ляпунова о неустойчивости равновесия. [c.16]

Теорема Лагранжа — Дирихле и теоремы Ляпунова относятся к случаю равновесия консервативной системы. [c.17]

Функции Ляпунова. Наиболее эффективным методом исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова. Этот метод не предполагает нахождения тех или иных решений уравнений возмущенного движения, а связан с отысканием некоторых функций V переменных i, Ж2,..., t и изучением свойств самих этих функций и их производных, функции V будем в дальнейшем называть функциями Ляпунова. В основе прямого метода Ляпунова лежат соображения, использованные Дирихле в его доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы (см. п. 225). [c.515]

Теоремы Лагранжа — Дирихле и Ляпунова относятся к силам, имеющим потенциал. Для силы тяжести иллюстрацией может служить тяжелый шарик на поверхности (фиг. 41). Вообще, если при малом отклонении опертого твердого тела или системы от положения равновесия центр тяжести повышается, равновесие устойчиво, если понижается — неустойчиво, наконец, если остается на прежнем уровне — безразлично. В этом заключается так называемый принцип Торричелли. [c.378]

Постоянная не имеет существенного значения. Если дз о, равновесие устойчивое (по теореме Лагранжа — Дирихле) если д < 0, равновесие неустойчивое (по теореме Ляпунова) если, наконец, дд = 0, то аналогично рассматривают <24, Вообще, если первый, не равный нулю, коэффициент положителен, равновесие устойчиво, если отрицателен, — неустойчиво. [c.378]

Ляпунов сначала занялся исследованием вопроса об устойчивости эллипсоидных форм равновесия вращающейся жидкости этой проблеме посвящена была его магистерская днссертащтя (1884). В этой работе он ввел определение понятия устойчивости вращающейся жидкости. Он доказал, что признак устойчивости системы, обладающей конечным числом степеней свободы (теорема Лагранжа—Дирихле), не может быть безоговорочно перенесен на случай движения жидкости, имеющей бесконечное число степеней свободы. Далее он установил достаточный критерий устойчивости фигур равновесия и показал, что эллипсоид вращения является устойчивой фигурой равновесия, если его эксцентриситет не превышает некоторой, определенной Ляпуновым, величины. В частности, он дал полный разбор вопроса об устойчивости некоторых ранее известных фигур равновесия, так называемых эллипсоидов Маклорена и Якоби. [c.266]

Определение устойчивого состояния равновесия базируется на анаг лизе поведения системы при фиксированных внешних параметрах и является частью рассмотренного определения устойчивого процесса деформирования при непрерывном и медленном изменении параметров нагружения. Один из путей отыскания момента потери устойчивости указывают теоремы Лагранжа-Дирихле и Ляпунова [63]. Рассматривая малые отклонения от основного состояния, можно судить [c.206]

Прямой метод Ляпунова заключается в отыскании некоторых функций вещественных переменных t, хи Хч,и в изучении свойств их производных, взятых в силу дифференциальных уравнений возмущенного движения. В основе метода лежит изложенный ранее способ, использованный Леженом Дирихле при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия. [c.573]

Рассмотренные случаи являются элементарным доказательством теоремы Лагранжа —Дирихле и теоремы Ляпунова, приведенных в 20.2. [c.519]

А22 О имеем минимум и по теореме Лагранжа —Дирихле равновесие устойчиво при А22 < О экстре1У1ума нет и по первой теореме Ляпунова равновесие неустойчиво. Мы можем свести результаты в следующую таблицу [c.439]

Г. В том частном случае, когда все заданные силы являются силами тяжести, мы имеем V = MgZ . В частности, если система имеет одну степень свободы и является плоской фигурой, движущейся в своей плоскости Оху, то надо исследовать траекторию Г ее центра тяжести 1) найти прежде всего те ее точки, в которых касательная к Г горизонтальна 2) если в такой точке кривая Г направлена вогнутостью вверх, то имеем минимум ординаты центра тяжести, т. е. минимум потенциальной энергии, и по теореме Лагранжа —Дирихле равновесие устойчиво 3) если в точке М вогнутость направлена вниз (случай максимума), или если имеем точку перегиба, то по теоремам Ляпунова можно утверждать, что равновесие неустойчиво, если разложение ординаты у точки С в окрестности точки М в ряд Маклорена по степеням обобщенной координаты qi начинается с члена, содержащего q, — в противном случае необходимо рассмотрение [c.499]

В заключение подчеркнем еще раз, что как теорема Лагранжа-—Дирихле, так и теоремы Ляпунова относятся к случаю равновесия консервативной системы. Вопрос об устойчивости равновесия неконсервативной системы прихо- [c.371]

Итак, в первом случае П = Пш1п и по теореме Лагранжа — Дирихле равновесие устойчивое. Во втором случае П = Пщах чтобы здесь применить теоремы Ляпунова, положим ф = я — ф и разложим П по степеням т] [c.16]

ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА — ДИРИХЛЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ. Одним из поучительных прило-ясений изложенной теоремы, в котором отвлеченные свойства функций Ляпунова получают конкретное физическое истолкование, может служить известная теорема об устойчивости равновесия консервативной системы, впервые сформулированная Ж. Лагран-жем и строго доказанная Л. Дирихле ). Эта теорема излагается обычно следующим образом. [c.397]

Теорема Лагранжа—Дирихле. II. Если в нуле вом положении энергия положения изображающей систеЩ точки имеет равный нулю изолированный минимум, то равновесие в этом положении устойчиво по Ляпунову. [c.398]

Рассмотренные случаи являются элементарным докагательством теоремы Лагранжа—Дирихле и теоремы Ляпунова, приведенных в I 20.2. [c.697]

Мы подчеркивали, что теорема о равновесии для материальной системы (п. 3°, 1) доказана для общего случая материальной системы, имеющей любое число степеней свободы можно ли при этих же условиях считать справедливой и теорему Лагранжа — Дирихле До А. М. Ляпунова все авторы так и поступали — механически распространяли эту теорему, доказанную при конечном числе степеней свободы, на случай бесчисленного множества степеней свободы А. М. Ляпунов, рассматривая устойчивость равновесия твердого тела, плавающего в жидкости, писал по поводу этой теоремы ... мы считаем полезным привести самостоятельное доказательство ее, относящееся к этому случаю, ибо при общем доказательстве ее весьма важное значение имеет предположение, что потенциал зависит от конечного числа переменных, определяющих положение системы, чего не будет в случае, когда система состоит отчасти из жидкости ). [c.441]

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ — ТЕОРЕМА РАУСА Циклическими координатами называются координаты, не входящие явно в функцию Лагранжа Ь. Стационарным движением системы с циклическими координатами называется движение, в котором нециклические координаты и циклические скорости сохраняют постоянные значения. Для такого движения Э. Раус построил энергетический критерий устойчивости, аналогичный критерию Лагранжа — Дирихле для равновесного состояния консервативной системы. Этот критерий можно получить как простое следствие теорем об устойчивости Ляпунова. [c.419]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...