Ляпунова теорема вторая

В случаях, когда задача об устойчивости не решается линейным приближением, необходимо использовать теоремы второго метода Ляпунова теории устойчивости движения. [c.85]

Теорема (Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости движения). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы что существует функция V такая, что ее производная, в силу этих уравнений, в области (1) может быть представлена в виде [c.527]

Основные теоремы второго метода Ляпунова [c.428]

Если, однако, в качестве элемента траектории принять не вектор xi xq ( O о) oj ) i вектор-отрезок этой траектории xi xq ( O q), 0, i + 6 ) при—/г< <0, который будем обозначать символом ( 0 ), 0 )> и заменить функцию Ляпунова V х ("O ), t), определенную на векторе х, функционалом V (х ( б ), t), определенным на вектор функции X ("б ), то, как показал Н. Н. Красовский (1959), основные определения и теоремы второго метода Ляпунова весьма естественно переносятся на функционалы F, причем теоремы оказываются обратимыми. Так, например, теорема, соответствующая теореме II Ляпунова, формулируется следующим образом. [c.29]

В сочинении Ляпунова теоремы о неустойчивости называются второй и третьей. Но мы называем второй теоремой теорему об асимптотической устойчивости, а поэтому здесь теоремы о неустойчивости именуются третьей и четвертой теоремами второго метода. [c.83]

Рассмотренные выше теоремы второго метода Л. М. Ляпунова, устанавливающие достаточные признаки устойчивости или [c.87]

Следовательно, найденная функция V удовлетворяет всем условиям 4-й теоремы второго метода Ляпунова, и рассматриваемая теорема доказана полностью. [c.99]

Поэтому заключаем, на основании теоремы второй прямого метода Ляпунова, что нулевое решение системы (2.48) устойчиво асимптотически. [c.111]

Случаи, когда задача об устойчивости гамильтоновых систем не решается линейным приближением, будут исследованы в последующих главах. При исследовании мы часто будем использовать теоремы второго метода Ляпунова теории устойчивости движения. Приведем здесь некоторые определения и сформулируем необходимые в дальнейшем теоремы. Доказательство этих теорем можно найти, например, в [51, 95]. [c.27]

Первая теорема Ляпунова. Если потенциальная энергия V (q) консервативной системы в положении равновесия не имеет минимума и если это обстоятельство устанавливается из рассмотрения членов второй степени в разложении V (q) в ряд по степеням, q, то это положение равновесия неустойчиво. [c.228]

Теоремы I и III предыдущего параграфа можно доказать, применяя второй метод А. М. Ляпунова. [c.344]

Рассматривая методы А. М. Ляпунова, следует признать, что второй метод имеет большую общность, чем первый. В частности, теоремы I и II, доказанные первым методом, можно доказать, применяя второй метод А. М. Ляпунова. Затруднения, возникающие при применении второго метода, зависят от отсутствия известных правил, которые позволили бы в конкретных задачах строить функции V А. М. Ляпунова. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопрос об общих методах построения функции V в различных задачах механики. Эти затруднения в настоящее время в значительной степени преодолены ). Начиная примерно с тридцатых годов XX в. появился также ряд исследований о существовании функций А. М. Ляпунова для определенных классов задач. [c.346]

Первая теорема Ляпунова. Равновесие неустойчиво, если отсутствие минимума потенциальной энергии узнается по членам второго порядка в разложении потенциальной энергии без необходимости рассматривать члены высших порядков. [c.341]

Вторая теорема Ляпунова. Равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия имеет максимум и наличие этого максимума может быть установлено из рассмотрения членов наименее высокого порядка, которые действительно имеются в разложении потенциальной энергии в степенной ряд. [c.341]

Теорема Ляпунова I. Если потенциальная энергия П(9 , ., 9я) консервативной системы в положении равновесия не имеет минимума и это обстоятельство можно усмотреть из членов второй степени IIj( j,. .., q ) в разложении (1) ), то данное положение равновесия неустойчиво. [c.197]

Эта теорема есть частный случай первой теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости. Для доказательства ее необходимо привлечь рассуждения, примененные Ляпуновым при изложении им второго метода. См. А. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, 1950, стр. 77 и сл. [c.423]

Впрочем, для доказательства неустойчивости при выполнении неравенства (32) применима и теорема 2 Ляпунова из п. 226, так как при этом функция П в точке = О имеет максимум, и это узнается по членам наинизшего (в нашем случае — второго) порядка в разложении (31). [c.499]

Выберем число ае так, чтобы для j = 1, 2,..., к выполнялись неравенства О < ае < 2rj. Тогда при достаточно малых /х функция W будет определенно-отрицательной. Но функция У, очевидно, знакопеременная и, следовательно, не является знакопостоянной, противоположного с W знака. На основании второй теоремы Ляпунова о неустойчивости получаем отсюда вывод о том, что при наличии хотя бы одного корня характеристического уравнения с положительной вещественной частью невозмущенное движение неустойчиво. Теорема доказана. [c.532]

Приведем несколько примеров систем, устойчивых по Ляпунову. В первом и во втором примерах мы найдем общее решение уравнений движения, а в третьем примере воспользуемся теоремой Ляпунова. [c.475]

Согласно второй теореме Ляпунова, достаточным условием для асимптотической устойчивости является V < О, что соответствует d [c.196]

Однако, учитывая, что анализ устойчивости состояний равновесия механизма будем выполнять на основе теоремы Ляпунова по линеаризованному уравнению [3] в соответствии со структурой уравнений Лагранжа второго рода, члены, содержащие частные производные, выпадут из уравнений движения, поэтому инерционные коэффициенты можно представить в таком виде [c.15]

Теоремы прямого (второго) метода Ляпунова. В теории устойчивости невозмущенное движение принято называть установившимся, если соответствующие ему дифференциальные уравнения возмущенного движения автономны [10]. В противоположном случае невозмущенное движение называют неустановившимся . В исследовании устойчивости движения автономных и неавтономных систем (установившихся и неустановившихся движений) имеются некоторые различия. [c.37]

Это объясняется тем, что, согласно закону больших чисе.ч в его простой форме — в первом случае и согласно обобщенной предельной теореме Ляпунова (которая, как уже говорилось, применима к рассматриваемой схеме) — во втором,— пределы частостей переходов из фиксированной области в некоторую другую заданную область равны пределам частости переходов, ]гри которых система, попавшая в фиксированную область, перешла в нее из заданной области (понятно, что это заключение может быть сделано не только по отношению к областям, состоящим из группы ячеек, но и по отношению к самим ячейкам). Это свойство, называемое обычно симметрией флюктуаций относительно прошедшего и будущего или обратимостью флюктуаций, показывает, в частности, что всякая неравновесная область с подавляющей вероятностью происходит из той более равновесной области, в которую она с подавляющей вероятностью переходит. Это свойство основано лишь на зависимостях, характеризующих цепи Маркова. [c.142]

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия системы спутник — стабилизатор сравнительно легко получаются в общем виде построением функции Ляпунова, роль которой выполняет функция Гамильтона системы. Единственная трудность связана с. тем, что производная от функции Ляпунова в силу уравнений движения является лишь знакопостоянной, а не знакоопределенной функцией, поэтому, теоремы второго метода Ляпунова в этом случае нельзя применить без дополнительного исследования. [c.297]

Это дополнительное исследование делается ненужным в том случае, когда Яг есть знакоопределенная квадратичная форма. Действительно, тогда, по крайней мере при достаточно малых 1 /5 , характеристическая функция Я есть знакоопределенная функция и ее можно взять за функцию Ляпунова. Но, полагая V = Н, мы найдем в силу уравнений (2.34) V = О, откуда следует (по первой теореме второго метода Ляпунова), что невозмущенное движение устойчиво. А отсюда, наоборот, вытекает, что в этом случае все корни определяющего [c.103]

Согласно второй теореме Ляпунова, иевозмущепное движение, определяемое уравнениями (1 ), неустойчиво, если среди корней характеристического уравнения (13 ) имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью. И в этом случае отброшенные нелинейные слагаемые в правой части уравнений (1С ) не могут влиять на устойчивость движения. [c.652]

Первое условие устанавливает пределы для крутизны к характеристики устройства, создающего ускоряющий момент, второе условие определяет нижнюю границу кинетического момента Я. Так как при выполнении условий (6.78) все корни характеристического уравнения будут иметь отрицательные вещественные части, то на основании первой теоремы Ляпунова об устойчивости по первому ггриближению однорельсовый вагон асимптотически устойчив независимо от членов высшего порядка V и 0. [c.182]

Теорема Ляпунова ). Важно отметить, что теорема Дирихле допускйет следующее обращение если состояние равновесия М соответствует просто некоторому стационарному значению потенцпйла и, которое не является максимумом, и если, как это имеет место в обшем случае, отсутствие максимума можно обнаружить из рассмотрения местных числовых значений вторых производных, то равновесие будет неустойчивым. [c.358]

Кривая Ь на рис. 18.61, соответствующая равновесиям 0<ф< < я, характеризуется условием р/й1ф-< О, так что П < 0. Это значит, что в наклонном равновесии энергия П имеет максимум и по второй теореме Ляпунова это пололтение неустойчиво. [c.397]

Прямой (или второй) метод Ляпунова относится к группе методов, при которых условия устойчивости определяются только на основе однородной системы уравнений без использования их решений [56, 57, 59]. А. М. Ляпунов ввел в рассмотрение некоторую функцию V q, q,. . <" >), называемую функцией Ляпунова Функция V называется знакопостоянной, если она кроме нулевых значений может принимать значения только одного знака. Знакопостоянная функция, принимающая нулевые значения только при равенстве,нулю всех ее переменных, называется знакоопределенной. На основании первой теоремы, доказанной А. М. Ляпуновым, если дифференциальное уравнение свободных колебаний таково, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V, вычисленная согласно этому уравнению, была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равной нулю, то равновесное состояние устойчиво. [c.75]

Вторая теорема Ляпунова по исходным условиям отличается от первой тем, что в ней требуется, чтобы производная V была функцией знакоопределенной, противоположного знака с V, причем утверждается, что в этом случае имеет место асимптотическая устойчивость. [c.75]

Анализируя структуру второй вариации (12), можно установить справедливость следующей теоремы (2-теоремы) безузловые стационарные решения (8) б-устойчивы по Ляпунову в области [c.259]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...