Асимптотический метод Крылова и Боголюбова

Глава 10. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД КРЫЛОВА И БОГОЛЮБОВА [c.203]

В этом пункте описан асимптотический метод нелинейной механики в том виде, в котором он разработан в основном в трудах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [11, 12, 32]. Этот метод представляет собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Он позволяет получать приближенные аналитические решения весьма сложных нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр е. Эффективнее всего применение асимптотического метода для построения приближенных решений нелинейных уравнений, которые при 8=0 вырождаются в линейные, описывающие гармонический колебательный процесс. [c.65]

Большинство методов малого параметра (например, метод Пуанкаре, метод усреднения, метод пограничного слоя) первоначально возникли при решении конкретных задач механики и физики, а затем были развиты и обобщены. Впоследствии многие из этих методов получили математическое обоснование например асимптотические методы нелинейной механики, а также метод усреднения обоснованы в работах Н. М Крылова и И. И. Боголюбова [II, 32]. [c.65]

Рассмотрим класс практически нерезонансных многочастотных вращательных систем и для них построим асимптотическую теорию возмущений на основе метода Крылова — Боголюбова. Предположим, что решение x t, ц, Хо, yo),y t, ц Хо, у о) системы (114) таково, что для всех целочисленных векторов к, норма которых удовлетворяет неравенству [c.46]

Теории колебаний, качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамических систем удалось полностью исследовать лишь двумерные системы, а стохастические автоколебания возможны только у систем размерности, не меньшей трех. Методы малого параметра А. Пуанкаре [243, 244] и асимптотические методы Н. М. Крылова — Н. Н. Боголюбова [92], применимые к системам любой размерности, не позволяли обнаружить стохастические движения, если их не было у порождающей системы, что связано с нестепенным порядком малости областей существования стохастических движений по малому параметру. [c.81]

Обоснование перехода к (4.3) содержится в методе Н.М. Крылова и H.H. Боголюбова, подробно описанном в книге [10]. В этом методе используются асимптотические разложения [c.130]

Асимптотический метод расчета периодических структур является комбинацией процедур многих масштабов и Крылова-Боголюбова (гл. 7). Решение (1.1) ищется в виде [c.314]

Асимптотические методы использовались уже Пуанкаре ([337],гл. 8) и были развиты для решения широкого круга задач нелинейной механики Н. М. Крыловым, И. И. Боголюбовым и их школой (см., например, [242) и [447, т. Прим. ред. [c.13]

Асимптотические методы нелинейной механики, развитые в работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, положили начало новому большому направлению в теории возмущений. Они глубоко проникли в различные прикладные области (теоретическую физику, механику, прикладную астрономию, динамику космических полетов и др.) и послужили основой для многочисленных обобщений и создания разнообразных вариантов этих методов. Существует большое число подходов и методик, при этом рассматриваются различные классы математических объектов (обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, уравнения с запаздыванием и др.). Состояние затронутых вопросов освещается в обзорных монографиях и оригинальных работах [9, И, 12, 17, 19, 21, 22, 37, 38, 46, 68, 69, 70, 86, 87, 89, 90, 93, 106, 111]. [c.6]

Эту основную идею метода Бан-дер-Поля в сочетании с некоторыми положениями общей теории квазилинейных систем Пуанкаре можно взять за исходную в построении обобщенного асимптотического метода Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [22], пп- [c.542]

Методика Крылова-Боголюбова получила обширные обобщения в виде метода осреднения. При этом сначала делается замена переменных с разделением их на быстрые и медленные, а затем по быстрым переменным производится некое осреднение. Отсылая читателя к специальной литературе [10, 61], ограничимся замечанием, что асимптотическое расщепление задачи мы наблюдаем и здесь. [c.130]

Приближенные методы исследования нелинейных систем в принципе совпадают с первым приближением асимптотического метода Н. И. Боголюбова и с методом Ван-дер-Поля, поскольку известные уравнения Реллея и Ван-дер-Поля имеют аналогичный вид. Они также аналогичны и с первым приближением методов малого параметра А. Пуанкаре и Б. В. Булгакова и с теорией возмущений для медленно затухающих процессов, изложенной в работе Н. Н. Боголюбова. Оценка первого приближения в работах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, А. Пуанкаре, Б. В. Булгакова, Я. 3. Цыпкина и других авторов производится путем учета последующих приближений, но связана с большими математическими вычислениями и практически обычно не применяется. [c.38]

Метод эквивалентной линеаризации n[o kho считать обобще7ГИем асимптотического метода Крылова — Боголюбова, применяемого для исследования систем со слабой нелинейностью, и метода статистической линеаризации. [c.138]

Разработке и обоснованию методов исследования таких квазилинейных систем и приложению этих методов к решению конкретных задач посвящена большая литература. Не останавливаясь на обзоре всей этой литературы, укажем только основополагающие работы. Это фундаментальные исследования по разработке асимптотических методов исследования нелинейных систем Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского [18, 19, 5, 25] работы Л. И. Мандельштамма, Н. Д. Папалекси, А. А Андронова, А. А. Витта [3, 4, 23, 27] работы Б. В. Булгакова [6, 7]. В основе этих методов лежит гипотеза о наличии порождающего решения, за которое берется решение системы (5.1) при 1 — 0. [c.119]

Особенно бурно и широко развивалась теория колебаний, в которой методы Ляпунова тоже нашли плодотворное применение. Нелинейные колебания, изучение которых стало первоочередной задачей к началу 20-х годов, стали в сущности предметом новой научной дисциплины, получившей название (пожалуй, не совсем точное) нелинейной механики. Уже к началу 30-х годов советская механика занимает в этой области ведущее положение благодаря трудам школы Л. И. Мандельштама (1879— 1944), Н. Д. Папалексн (1880—1947), А. А. Андронова (1901 — 1952), широко применявшей методы Ляпунова и Пуанкаре, и трудам Н. М. Крылова (1879—1955) и Н. Н. Боголюбова, использовавших главным образом асимптотические методы, родственные методам небесной механики. Развитие современной теории нелинейных колебаний в ряде других стран, например в США, началось с изучения переводных трудов советских ученых. [c.291]

Асимптотическая теория возмущении, опирающаяся, с одной стороны, па начальное приближение, построенное с помощью какого-либо оператора сглаживания (усредпегтия), и, с друго11 торопы, на последовательные замены переменных для нолуче-впя тех функций, которые мы назвали выню добавками, получила в математической литературе название метод усреднения , а во многих литературных источниках — метод Крылова — Боголюбова . [c.6]

Основу таких оценок составляет теорема М. А. Красносельского 60, 61] об асимптотической эквивалентности погрешности приближений метода БГ и погрешности приближений рядом Фурье искомого решения. Корни этой идеи восходят к работам Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [64]. Об обосновании метода Бубнова — Галеркина применительно к линейным задачам см. работы М. В. Келдыша [49] и С. Г. Михлина [69]. [c.245]

Для построения асимптотического решения (3.5) воспользуемся методом Крылова-Боголюбова. Делая замену переменных Н = = гсо ф, 1 = —и осредняя по фазе tp, получаем уравнение дляг — амплитуды колебаний по [c.225]

У читателей, еше помнящих предыдущий параграф, возникает естественный вопрос почему же мы там получили циклы, хотя и была использована трофическая функция в форме Хилла V = = Ах 1 (К + х )7 Ответ прост дело в том, что в 3 мы пользовались методом Крылова—Боголюбова, а он асимптотический, и мы использовали не саму функцию, а ее асимптотическое разложение, тем самым шевеля ее. Ясно, что это шевеление и дало нам циклы. [c.230]

Одним из преимуществ метода Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова является доставляемая им возможность доводить расчет до желаемой степени точности, ограничиваясь конечным числом членов разложений (13.31) и (13.32). Являясь, как правило, рас-( ходящимися, эти разложения обладают свойством, которое делает их вполне пригодными для практических расчетов, причем для расчетов, требующих иногда сравнительно большой точности. Дело в асимптотических свойствах этих разложений, в силу которых конечное число первых членов такого ряда при ц О может дать представление периодического решения уравнения (13.30) с высокой точностью для длительного промежутка времени. [c.544]

Глава I посвящена различным аспектам асимптотической теории дифференциальных уравнений с Малым параметром, основанной на идее усреднения (сглаживания) правых частей. Приведено обобщенное уравнение и дана интерпретация метода усреднения, а также описаны наиболее распространенные в динамике операторы сглаживания, позволяющие строить различные варианты теории возмущений по степеням малого параметра ц. Дальню в этой главе рассмотрены различные классы нелинейных систем без частотных резонансов и изложена конструктивная методика построения их асимптотических решений с помощью преобразования Крылова — Боголюбова. [c.16]

Из приведенных формул видно, что построение асимнтотиче- ской теории возмущений неавтономных многочастотных систем (75) представляет собой громоздкую аналитическую задачу из-за того, что функции преобразования Крылова — Боголюбова и,, v, выражаются через интегралы (89)—(94), и, следовательно,. эффективность построения асимптотической- теории зависит от эффективности аналитических методов вычисления интегр 1лов (89)-(94). [c.119]

Метод усреднения в сочетании с преобразованием Крылова — Боголюбова, применяемый к уравнениям (25), позволяет в принципе построить асимптотическую теорию возмущений в двухпланетной задаче до любого конечного порядка. Методика и алгоритмы, изложенные в гл. III, здесь естественно находят непосредственное применение. Астрономы разработали несколько [c.139]

Аналитическую теорию движения спутника с учетом величин второго порядка малости можно найти, например, в работах М. Д. Кислика [5] и А. Страбла [17]. В обшем подходе к описанию возмущенного движения спутника А. Страбл следует, по существу, идее Ганзена разложения движения, хотя вывод уравнений движения им получен новым пзггем и в иной форме. Он при интегрировании уравнений применяет методы теории нелинейных колебаний, в частности метод асимптотической теории Н. М. Крылова— Н. Н. Боголюбова — Ю. Д. Митропольского [1, 7 им получен ряд интересных результатов. А. Страбл в своей работе не придерживается общепринятых в небесной механике классических определений, что, как нам кажется, не является вполне оправданным. Совершенно иначе подошел к задаче М. Д. Кислик. Положение спутника относительно основной системы он определяет эллиптическими координатами, а уравнения движения записывает в канонической форме интегрирование уравнений он проводит классическим методом Гамильтона — Якоби. Известно, что в большинстве случаев в задачах небесной механики уравнение Гамильтона — Якоби не интегрируется в квадратурах М. Д. Кислик, оставаясь в пределах точности до второго порядка малости включительно, преобразовал выражение земного потенциала и разрешил уравнение Гамильтона Якоби в квадратурах. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...