Случай Изинга

Третья часть посвящена приложениям результатов общей теории к некоторым специальным проблемам. В ней рассмотрены модель Изинга и предложенное Онсагером решение задачи Изинга для двумерного случая, а также вопросы, касающиеся жидкого гелия и неидеального бозе-газа. Подробное рассмотрение этих задач не только [c.5]

Приведенные соотношения определяют весьма общую модель Изинга, решение которой было получено только в некоторых частных случая . С точки зрения физика эта модель крайне упрощена очевидное возражение против нее состоит в том, что вектор магнитного момента молекулы мо- [c.22]

Jy = О, то оператор Ж диагонален, и модель сводится к модели Изинга с взаимодействием между ближайшими соседями (каждый спин эффективно направлен вверх или вниз вдоль направления z). Такие модели можно построить на решетке произвольной размерности, но с двумерной восьмивершинной моделью связан одномерный случай (10.14.1). [c.262]

Как показано в разд. 10.3, обычная модель Изинга с взаимодействием между двумя ближайшими спинами является частным случаем восьми-вершин ой модели, который реализуется при выполнении условия (10.3.10), т. е. сс1 = аЬ. Отсюда с учетом (10.15.1а) следует [c.273]

Приводимые здесь соображения можно специализировать на случай модели Изинга [37] или обобщить на произвольный граф, построенный из пересекающихся прямых линий [32, 33]. [c.284]

Данное выражение для Z очень похоже на статистическую сумму (1.8.2) модели Изинга. Действительно, в разд. 1.9 показано, что общая модель Изинга с взаимодействием между ближайшими соседями во внешнем поле эквивалентна решеточному газу с взаимодействием между ближайшими соседями. Модель жестких гексагонов представляет собой предельный случай последней. [c.402]

Рассмотрим теперь другой простой предельный случай А = оо, когда гамильтониан эквивалентен гамильтониану Изинга [c.26]

Рассматривая эти переменные 8 , 8г< как спины Изинга [как в формуле (1.5)], мы получаем удобный аппарат, который можно применить к случаю бинарного сплава. Так, отрицательное значение Г (К ) соответствует избытку атомов с противоположными спинами (т. е. атомов противоположного типа) в рассматриваемых узлах в противном случае преобладают атомы того же самого типа. Вместе с тем общая проблема локального магнитного порядка представляет интерес и сама по себе. [c.32]

Чтобы полностью определить функцию Р ( os 0), нужна более подробная статистическая информация (например, надо знать высшие моменты этого распределения). Модель бинарного сплава (или модель Изинга) представляет собой особый случай здесь среднее значение (а,аг-) полностью задает вероятность найти в данной паре узлов одинаковые или неодинаковые атомы [см. в связи с этим соотношения (1.22)]. Это обстоятельство, тривиальное с математической точки зрения, следует подчеркнуть хотя бы потому, что в литературе наблюдается тенденция ссылаться на параметр порядка как на некий символ, однозначно характери-зуюш ий все статистические свойства неупорядоченной системы. [c.44]

Алгебраически наиболее серьезное следствие перехода от одномерной модели к трехмерной состоит в том, что при этом теряются все преимущества представления через матрицу переноса (8.19). Иначе говоря, появляется та же фундаментальная трудность, что и в статистической механике при рассмотрении модели Изинга (ср. 5.7) поскольку в двумерной или трехмерной решетке каждый узел имеет соседей в разных направлениях, процесс распространения возбуждений уже нельзя изобразить в виде простого произведения независимых матриц, как в формуле (8.20). При рассмотрении линейной цепочки такое представление обеспечило самосогласованный характер уравнения Дайсона — Шмидта (8.76), из которого можно получить точный спектр. Строгого аналога этой теоремы для случая большего числа измерений, по-видимому, нет. [c.377]

Методы приближенные для двумерного случая 153—158 Модель Изинга 151 [c.403]

Самым знаменитым частным случаем гамильтониана (10.2.1) является, однако, случай > = 1. Это так называемая модель Иаинга (хотя в действительности она была предложена Ленцом в 1920 г.). Ограничиваясь случаем взаимодействия ближайших соседей, можно записать гамильтониан модели Изинга следующим образом [c.359]

Отклонение свободной энергии йббса (() = -р5 ) от значения ее для идеальных растворов Од изучалось в рамках хвазихимичеоко-го приближения модели Изинга [12]. Согласие с экспериментальными значениями, полученными из равновесных давлений паров смеси, очень хорошее. Аятиферромагнитный вариант модели Изинга ( 7< 0) отвечает, согласно формуле (64), случаю 2>2 2 деЯстви- [c.21]

Благодаря своей простоте квантовые решеточные системы оказываются ценными и в неравновесной статистической механике. Рассматривая предельно простой случай обобш,енной модели Изинга (в смысле, указанном в начале данного пункта), Радин [309] проанализировал поведение во времени величины R) для широкого класса начальных условий и локальных наблюдаемых. Можно показать, что в этом случае эволюция во времени не действует G-абелевым способом. Для физических приложений более важно другое обстоятельство оказывается возможным придать точную математическую форму традиционно принимаемому положению о том, что скорость приближения к равновесию в термодинамическом пределе должна быть связана со степенью непрерывности спектра эффективного гамильтониана. Подчеркнем, что здесь речь идет об эволюции во времени локальной наблюдаемой, погруженной в бесконечную систему, а поэтому гамильтониан, о котором мы говорим, совпадает с тем, который локально реализует эволюцию во времени бесконечной системы. Как оператор этот гамильтониан зависит от гильбертова пространства, на котором он действует в конструкции ГНС, и поэтому степень непрерывности его спектра зависит от представления. Коль скоро начальное состояние фо выбрано, степень непрерывности спектра гамильтониана можно связать с зависимостью функции е ( со — со )=бшш от пространственных переменных. Следует иметь в виду также, что метод Радина допускает обобш,ение на взаимодействия более широкого типа, чем описанная выше простая модель Изинга. [c.388]

Как-то мотивировать сделанный выбор можно, рассматривая разложения в ряд статистической суммы. Если произвести низкотемпературное разложение для любой регулярной решетки подобно тому, как это сделано в разд. 1.8, то для вычисления членов до второго порядка включительно нужно знать только такие характеристики решетки, как число узлов и координационное число. В третьем порядке уже потребуется число треугольников на решетке, в четвертом — число тетраэдров (т. е. кластеров, состоящих из четырех связанных узлов) и других высокосвязных четырехточечных графов и т. д. Интересен простой случай, когда замкнутые цепочки узлов отсутствуют и поэтому нет треугольников, тетраэдров и т. п. Тогда мы получаем модель Изинга на решетке Бете, как мы ее здесь определили. [c.56]

Метод, использованный для получения этого результата, является, по существу, методом слабого разложения графа [174, 177, 249]. Подобно соотношению дуальности в модели Изинга (разд. 6.2), выражение (10.2.11) связывает высокотемпературную модель а, Ь, с, с1 почти дэавны) с низкотемпературной а > Ь, с, /). Действительно, в следующем разделе показано, что модель Изинга представляет собой частный случай восьмивершинной модели соотношение дуальности (6.2.14) может быть выведено из соотношения (10.2.11). [c.209]

Случай = Jy = О, отвечающий одномерной модели Изинга, рассмотренной в гл. 2, легко решается. Случай У = О известен как Л У-модель и связан с моделью Изинга. Для всех собственных значений (при конечных N) могут быть получены точные выражения и вычислена статистическая сумма. Такие вечисления выполнены в работах [142, 161]. [c.262]

Случай J = Jy иногда называется моделью Гейзенберга — Изинга. Бете [52] дал правильную форму выражений для собственных векторов оператора в работе [263] строго доказана справедливость анзаца Бете и в пределе больших N получено минимальное собственное значение гамильтониана. [c.262]

Существует три частных случая восьмивершинной модели, которые были решены до решения общей модели без внешнего поля модель Изинга [184], рассмотренная в гл. 7, модель свободных фермионов [83] и модель типа льда, или шестивершинная модель [157 — 159], рассмотренная в гл. 8. Указанные случаи связаны с XZ-, У-моделями и моделью Гейзенберга — Изинга соответственно. В каждой модели соответствующее критическое значение параметра равно О, тг/2 или тт. Эти частные случаи детально исследованы в работах [84, 123]. [c.272]

В разд. 12.2 — 12.8 будет показано, что модель Поттса может быть решена в критической области [30, 45, 231]. Имеется еще несколько точно решаемых случаев д = 1 (тривиальный случай), д = 2 (модель Изинга), модель на квадратной решетке с д = ЗиА = -оо (задача о трехцветном раскрашивании, разд. 8.13) и модель на треугольной решетке с = 4 и К = —оо (задача о четырехцветном раскрашивании [20]). [c.324]

Сказанное выше применимо к любой решетке не обязательно плоской. Ограничим теперь рассмотрение случаем, когда -/ является квадратной решеткой с N узлами. Тогда из (12.9.1) следует, что модель Эшкина — Теллера (ЭТ) можно представить себе как две модели Изинга на квадратной решетке ( -модель и а-модель), связанные посредством четырехспинового взаимодействия. [c.354]

На данном этапе функция у (а Ь с, с/) произвольна, так что ВСГ-модель включает в себя многие модели, представляющие интерес для статистической механики. Например, она включает случай, когда наряду с взаимодействием четырех спинов на каждой грани имеются взаимодействия между п фами спинов, лежащих на диагоналях, а это не что иное, как сформул1фованная на языке спинов (10.3.1) восьмивершинная модель. Вообще ВСГ-модель включает в себя восьмивершинную модель как в магнитном , так и в з пектрическом поле, а также модель Изинга во внешнем поле. [c.365]

В разд. 10.1 и 10.3 мы видели, что восьмивершинная модель содержит в качестве частных случаев решенные ранее модель Изинга и шестивершинную модель. Когда Ф. Ву и я решали в 1973 — 1974 гг. трехспиновую модель, казалось, что это новая модель. Однако, как было показано в разд. 11.10, данная модель также является частным случаем восьмивершинной модели. [c.450]

Если такие методы существуют, то их можно применить для рассмотрения восьмивершинной модели, в которой две подрешетки имеют различные бельцмановские веса, но одинаковые комбинации Д и Г, определенные в (10.4.6). В частности, для такой модели можно определить, используя (10.4.17) и (10.12.5), один параметр д. Случай д = тг/2 соответствует Г = 0. При этом модель разбивается на две независимые модели Изинга для антиферромагнетика, которые можно решить алгебраически. (Можно решить также модель свободных фермионов Д = 0 см. разд. 10.16.) Пытаясь обобщить алгебраические методы, естественно в первую очередь обратить внимание на другие значения д, являющиеся простыми долями тг, например д = тг/З, Зтг/4 и т. д. [c.451]

Член взаимодействия в Н пропорционален Д. Система свободных фермионов, или ХУ-модель, соответствует случаю Д == = 0 и легко диагонализуется. Энергия квазичастиц равна Е к)) = ( os 2 /г -j- р sin к) Корреляционные функции выражаются в форме детерминантов такая форма получается в термодинамическом пределе после длинных вычислений. Связь Л У-модели с моделью Изинга на плоской решетке отмечена в гл. 7 и используется для вычисления критических индексов и т. д. (Маккой, Ву, 1973). [c.113]

Если выполнено условие 0)1(04 = (02(0з, то собственные состояния трансфер-матрицы Т и гамильтониаца Н замкнутой цепочки Гейзенберга — Изинга совпадают. Можно непосредственно убедиться, что Н коммутирует с Т. Доказательство (Сазерленд, 1970) будет приведено в гл. 8 для случая 8-вершинной (самосопряженной) модели (см. разд. 8.3). [c.139]

Формула (5.178) справедлива для модели Изинга в решетке любого числа измерений. Поскольку в циклической цепочке имеется лишь одна диаграмма нужного типа (с гг = Ж), одномерное решение, определяемое формулами (5.59) — (5.62), оказывается тривиальным случаем. Комбинаторный вывод решения Онзагера (5.126) для двумерной решетки [47, несмотря на его громоздкость и сложность деталей, также по существу элементарен. Связь между формулой данного типа и решением проблемы димера, т. е. задачей об определении числа различных способов разместить в решетке двухатомные молекулу без их пересечения, подробно обсуждалась Кастелейном [64]. Ссылки на соответствующую алгебраическую теорию пфаффианов можно найти в работе [41], но все это увело бы нас далеко от физики неупорядоченных систем [c.229]

Принципиальные вопросы статистического поведения маг-нитоуиорядоченпых систем изучаются обычно на четырех хорошо известных моделях Изинга, Гейзенберга, Хаббарда и 5 — -модели. Поскольку модель Изинга может рассматриваться как предельный случай анизотропной модели Гейзенберга, то фактически можно говорить о трех фундаментальных моделях в науке о магнетизме твердого тела. [c.5]

Модель Изинга представляет собой частный случай системы, рассмотренной в предыдущей задаче, где 0 может принимать только два значения +1 и —1, а взаимодехютвие задано в явном виде [c.363]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...