Символические динамические системы

Определение. Топологической марковской цепью с матрицей переходов А называется символическая динамическая система (Ел.а), где [c.205]

СИМВОЛИЧЕСКИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 61 [c.61]

Символические динамические системы [c.61]

СИМВОЛИЧЕСКИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 63 [c.63]

Определение 1.9.2. Ограничение сдвигов или а- на любое замкнутое инвариантное подмножество соответствующего сдвига называется символической динамической системой. [c.63]

СИМВОЛИЧЕСКИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [c.67]

Частным случаем дискретных динамических систем являются так называемые символические динамические системы. Они определяются в пространстве S двусторонних последовательностей из т элементов (т > 2), например чисел 0,1,. .., W—1, то есть функций р = p i), заданных на множестве Z всех целых чисел, значениями которых являются числа 0,1,. .., т — . [c.125]

Для символической динамической системы имеет, папример, место [c.126]

В. И. Арнольда, Ю. Мозера, Я. Г. Синая и др. Именно в рамках этого круга идей возникли понятия полного перемешивания, теория Колмогорова — Арнольда — Мозера (KAM) о наличии интегральных торов у гамильтоновых динамических систем, понятия энтропии динамической системы и символическое описание ее движений, топологической марковской цепи, открывающие пути к статистическому описанию детерминированных динамических систем. [c.82]

Динамические системы с гиперболическими структурами аналогичны системам, рассматриваемым и ранее символической динамикой [88, 588], и, в первую очередь, системам, описываюш им движение по инерции материальной точки в римановом пространстве отрицательной кривизны [363]. Однако при этом объем движущейся фазовой частицы не обязательно сохраняется он может уменьшаться, и система может быть диссипативной. [c.85]

Этот характер зависимости последующих значений Хп от предыдущих является общим для стохастических движений, он следует из так называемой символической записи движений детерминированной динамической системы. [c.211]

Динамические системы, у которых имеются траектории, всюду плотно заполняющие фазовое пространство, называются транзитивными. Наша система транзитивна на подмножестве А С В, поэтому ее можно отнести к транзитивному типу (термин Биркгофа). Любая неинтегрируемая проблема транзитивного типа может, однако, считаться решенной , если для нее можно указать специальный алгоритм, достаточно могущественный для разрешения всех вопросов о типах и распределении движений . ) В нашем случае этот алгоритм дает символическое представление траекторий в квадрате В, описываемое теоремой 1. [c.304]

ДОБАВЛЕНИЕ СИМВОЛИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [c.196]

Большинство свойств, обсуждаемых в настоящей главе, представляют собой топологические инварианты и могут быть определены для широкого класса топологических динамических систем, включая символические. Преобладание топологических инвариантов хорошо укладывается в картину, возникающую из рассмотрений 2.1, 2.3, 2.4 и 2.6. Кажется весьма правдоподобным, принимая во внимание результаты предыдущей главы, что гладкие динамические системы, если их рассматривать с точностью до гладкой сопряженности, практически никогда не являются устойчивыми и очень редко могут быть локально расклассифицированы. Напротив, структурная и связанная с ней топологическая устойчивость кажутся довольно широко распространенными явлениями. [c.117]

Как мы видели в гл. 15, исследование поведения динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями (см. 15.3), существенно упрощается, если от системы с непрерывным временем перейти к системе с дискретным временем. Такой переход осуществляется с помощью введения отображения секущей поверхности, разрезающей фазовый поток, в себя. При этом от дифференциальных уравнении мы переходим к разностным. Использование метода точечных отображении особенно удобно при анализе стохастического поведения динамических систем. Во-первых, как уже говорилось в гл. 15, эффективно понижается размерность фазового пространства и, кроме того, из процесса рассмотрения исключаются регулярные компоненты, не дающие стохастичности, но усложняющие описание — это, в частности, движение вдоль траектории, принадлежащей стохастическому множеству. Добавим, что для анализа стохастического поведения на основе отображений в математике развиты специальные методы — методы символической динамики [5, 6]. Их основная идея заключается в кодировании траектории последовательностью символов из некоторого набора, т. е. становятся дискретными не только моменты времени, в которые определяется состояние системы, но и сами состояния. [c.465]

Случайные процессы как динамические системы. Символическая динамика. .............. 158 [c.151]

Кодировка траекторий гладких динамических систем последовательностями натуральных чисел или последовательностями символов некоторого конечного алфавита впервые, по-видимому, была применена для описания глобального поведения геодезических на поверхностях отрицательной кривизны (Ж. Адамар, М. Морс и другие см., например, [1] гл. 8, 11). Это послужило толчком для изучения различных свойств гомеоморфизма сдвига в различных подпространствах пространства р-ичных последовательностей. Весь круг связанных с этим идей и понятий получил название символической динамики ([52]). Однако некоторое время после этого отображение Г Ш изучалось главным образом с точки зрения эргодической теории, тем более что оно тесно связано с эргодическими динамическими системами вероятностного происхождения — марковскими цепями и, в частности, со схемой Бернулли. Мы еще вернемся далее к этой связи. [c.55]

Символическая динамика. Символическое представление гладкой динамической системы означает, что почти каждая (в топологическом или метрическом смысле) траектория кодируется посредством конечного или счетного алфавита в бесконечную последовательность, так что динамическая система оказывается ассоциированной (сопряженной) со сдвигом в подмножестве пространства двусторонних последовательностей. Хорошая кодировка — это такая, при которой возникающее подмножество последовательностей устроено достаточно просто. Она требует специальных разбиений. [c.144]

Приведенная система уравнений является замкнутой, т. е. число зависимых переменных равно числу уравнений. В случае пространственной задачи имеется шесть зависимых величин w -, w ., w , р, р и Т. Поскольку второе уравнение системы (4-25) является символической записью трех уравнений (в проекциях на оси X, Y и Z), вся система образована шестью уравнениями. Таким образом, присоединяя к системе надлежащие граничные условия, можно найти, в принципе, искомые физические поля аналитическими методами. Однако практическое осуществление решения сопряжено с очень большими математическими трудностями и может быть успешно доведено до конца не во всех случаях. Существенное упрощение достигается при условии, что плотность постоянна и динамическая добавка температуры пренебрежимо мала. Тогда система (4-25) избавляется от термического уравнения состояния (4-24) и распадается на подсистему (4-26) [c.91]

Предварительные замечания. В этой главе показано применение операторных и комплексных передаточных функций (ПФ) для описания свойств линейных механических систем. Термин операторные ПФ связан с операционным исчислением [7], использующим преобразование Лапласа, и с символическим методом анализа [7, 13] линейных систем, использующим оператор дифференцирования. Термин комплексные ПФ связан с комплексным представлением гармонических функций и преобразованием Фурье. Операторные ПФ, характеризующие свойства системы при воздействии произвольного вида, используют для теоретического рассмотрения динамических задач. Комплексные ПФ характеризуют свойства системы при гармоническом воздействии на нее, т, е, они являются размерными п безразмерными частотными характеристиками системы. На практике их используют как для теоретического, так и для экспериментального исследования механических систем. В эксперименте значения комплексных ПФ всегда находят через пару первичных механических величин — сил, перемещений, скоростей, ускорений и т. д. Измеряемые Комплексные ПФ всегда являются результатом косвенных измерений, основанных на прямых измерениях первичных механических величин, т. е. являются вторичными механическими величинами. [c.41]

Определение, Символической динамической системой (Л, а) называется ограничение о на замкнутое а-ипвариаит-ное подмножество Л пространства 2т- [c.204]

В [38] приведеи пример минимальной символической динамической системы (Л,а), у которой Л(о Л)>0, хотя ввиду минимальности yVr,(ajA) = 0 для всех /г> 1, так что в (4.9) имеет место строгое неравенство. [c.209]

Это означает, что динамическая система (X,f) является фак-торсистемой символической динамической системы (Е, а), Впрочем, такое представление дает, вообще говоря, мало ии- [c.216]

Покажите, что сужение нетранзитивного гомеоморфизма / 5 —> 5 с иррациональным числом вращения на минимальное множество топологически сопряжено с символической динамической системой (точнее говоря, с ограничением топологического бернуллиевского сдвига СГ2 (см. 1.9.3) на замкнутое инвариантное множество Л). [c.404]

Перед тем как перейти к общей теории, мы хотели бы подчеркнуть, что простой пример, показывающий инвариантность класса гёльдеровых функций, уже был приведен ранее. Гиперболическое множество подковы Смейла (см. п. 2.5 в) топологически сопряжено с топологическим 2-сдвигом Бернулли. При правильном выборе скоростей сжатия и растяжения легко видеть, что это множество изометрично пространству 2-сдвига с метрикой с1) , как показано в п. 1.9 а. Следовательно, класс гёльдеровых функций этой символической динамической системы в точности совпадает с классом гёльдеровых функций на инвариантном множестве подковы относительно евклидовой метрики. [c.600]

Символическая динамическая система (см. определение 1.9.2) называется софи-ческой, если она является фактором топологической цепи Маркова. Докажите, что каждая топологически транзитивная софическая система обладает единственной мерой максимальной энтропии. [c.623]

Свойства символических динамических систем могут быть весьма разнообразными. Эти системы представляют собой богатый источник примеров и контрпримеров для топологической динамики и эргодической теории. [c.63]

Топологические марковские цепи ( символическая динамика ). Почти во всех известных мне примерах квазислучайность динамической системы связана с существованием инвариантных марковских подмножеств. [c.147]

Динамические системы с непрерывным временем. Определения ы-гиббсовских мер, мер с ненулевыми показателями Ляпунова и мер Синая переносятся на случай динамических систем с непрерывным временем (при этом необходимо исключить из рассмотрения показатель вдоль направления движения, который равен нулю). Определение марковского разбиения, его конструкция и соответствующая символическая модель для потоков на гиперболических множествах требуют определенных модификаций (см. [13]). Теоремы 3.1, 3.2, 3.10—3.12 (кроме утверждений 3) и 4)), 3.13—3.15, 3.17, а также приведенные по ходу изложения следствия из них переносятся дословно (следует только считать, что пбН). Теоремы 3.4 и 3.5 переносятся с очевидными модификациями (см. [3]). Аналогом утверждений 3) и 4) теоремы 3.12 является следуюшее утверждение [c.156]

Когда же говорят о методах символической динамики, то имеют в виду изучение произвольных динамических систем при помощи символических моделей, в которых последовательности (1.1) соответствуют траекториям изучаемой системы, а отображение а —некоторому сдвигу вдоль этих траекторий. В частности, методы символической динамики оказываются применимыми в качественной теории дифференциальных уравнений, где рассматриваются гладкие системы на гладких многообразиях, хотя сама по себе символическая динамика большей частью имеет дело со вполне несвязными нульмерными пространствами, гомеоморфными канторову множеству. [c.196]

Наиболее эффективными методы символической динамики оказываются в тех ситуациях, где изучаемые детерминированные системы обнаруживают аналогию со случайными процессами. К настоящему времени накопился ряд примеров и даже целые классы динамических систем, в том числе п с конкретным физическим содержанием, которым присущи черты квазнслучайного поведения и для описания которых удобно пользоваться топологическими аналогами некоторых понятий вероятностного происхождения, Подчеркнем, что речь здесь вовсе ие идет о рассмотрении моделей, в которых эволюция явно или неявно подвержена воздействию Случая (в виде случайных параметров, случайных начальных условий или случайного внешнего шума). Мы по-прежнему остаемся в рамках математического детерминизма, т. е. един- Мир , 1979 [c.196]

Это направление продолжает развиваться, н за последнее время появился ряд работ, в которых методы символической динамики применяются к анализу конкретных динамических систем. В [30] развивается подход, прн котором условия гиперболичности заменяются отчасти некоторыми когомологическими условиями н полученные результаты применяются к гамильтоновым системам с двумя степенями свободы н потенциалами типа обезьяньего седла , Энона —Эльса и т. п. В [55] изучается квазислучайное поведение геодезических иа открытых поверхностях, содержащих рога с неположительной кривизной. В [41] обнаружено бернуллиевское под- множество в анизотропной задаче Кеплера (см. также [34] н [35]). [c.219]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...