ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Бифуркации сепаратрис из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Теорема 4 [91]. Уравнения (4.11) имеют дополнительный аналитический интеграл в том и только том случае, когда твердое тело динамически симметрично. [c.287] Для несимметричного тела это соотношение никогда не выполнено, что и требовалось доказать. [c.287] В работе [38] исследована интегрируемость уравнений более общей задачи о вращении ферромагнетика с нешаровым тензором намагничивания (при учете гиромагнитных эффектов). [c.287] Пусть Я = Яо(г) + Н г,Ь) +о( ) — функция Гамильтона, 2тг-пе-риодическая по и аналитическая на множестве ) х х ( — о, о)) где О — область в о 0. [c.288] Число Л — положительное собственное число невозмущенной линеаризованной системы—будет фигурировать в дальнейших рассмотрениях. [c.289] Второе утверждение теоремы 2 допускает интересное уточнение, принадлежащее снова С. А. Довбышу. [c.292] Предложение 2. Существует такая область Sq С Si в пространстве параметров задачи, что при малых е О имеется замкнутая аналитическая инвариантная кривая, расположенная вблизи невозмущенных сепаратрис и разделяющая возмущенные неподвижные точки zi(e) и Z2(e). [c.292] В частности, в этих случаях не существует гетероклинных движений сепаратрисы гиперболических точек zi(s) и Z2(s) не пересекаются, оставаясь расположенными по разные стороны от замкнутой инвариантной кривой. Доказательство предложения 2 основывается на теореме Мозера об инвариантных кривых с использованием техники, развитой при доказательстве теоремы 2. [c.292] Оказывается, поверхности Л+ и Л Г пересекаются при всех s G G (-а, а). Это утверждение, очевидно, эквивалентно существованию гомоклинного решения x(t) (x(t) тг при t — 00). Доказательство можно извлечь, например, из следующего общего утверь ждения. [c.293] Теорема 3 [24]. Пусть (M,T,V) —обратимая механическая система, М компактно, метрика Т не зависит от времени, а потенциальная энергия V М х Mt — М периодична по t. Если V x,t) V xQ,t) для всех х ф xq и t Е R, то существует такое двоякоасимптотическое (гомоклинное) решение х(-), чтох Ь) — жо при t — 00. [c.293] Если —а е а, то V x,t) V -K,t) для всех-а G [0,2тг] тг и всех I. [c.293] Так как поверхности Л+ и Л не совпадают при малых е ф О, то те значения , а + 5 ( 5 0), при которых Л+ =, изолированы. Поскольку при а поверхности и Л пересекаются, то уравнение (5.2) интегрируемо лишь при изолированных значениях . [c.293] Следует подчеркнуть, что интегрируемые случаи изолированы не всегда. Действительно, в 1 гл. П приведен пример аналитической гамильтоновой системы, аналитически зависящей от параметра , которая на всюду плотном множестве значений е является вполне интегрируемой и одновременно при значениях , принадлежащих другому всюду плотному множеству, не допускает даже непостоянных непрерывных интегралов. [c.293] Вернуться к основной статье