Пересечение призм и пирамид плоскостью и прямой линией

Пересечение призм и пирамид плоскостью и прямой линией [c.156]

Итак, мы рассмотрели пересечение призм и пирамид плоскостью и прямой линией. Построения сводятся к решению задач на пересечение плоскостей и прямой с плоскостью, изложенных в 24—26. Эти задачи имеют существенное значение и встречаются в различных случаях. Они же лежат в основе построения линий взаимного пересечения многогранных поверхностей, рассматриваемого в следующем параграфе. [c.160]

Чтобы определить точки пересечения ребер призмы DD и ЕЕ с гранями пирамиды, через эти ребра проводят вспомогательные горизонтальные плоскости Q и Qi, которые пересекут пирамиду по треугольникам, горизонтальные проекции которых ghi и klm будут подобны основанию пирамиды. Ребро призмы DD пересечет пирамиду в точках 5 и б, где оно пересекает треугольник GHI. Ребро ЕЕ пересечет пирамиду в точках 7 и S, в которых оно пересекает треугольник KLM. Отметив горизонтальные проекции точек 5, 6, 7 и 8, затем строят их фронтальные проекции. Точки, расположенные на общих гранях призмы и пирамиды, соединяют отрезками прямых, которые будут принадлежать искомой линии пересечения многогранников. Участки линии пересечения, расположенные иа невидимых [c.133]

В задаче на пересечение призмы и пирамиды боковые граи последней чаще всего являются плоскостями общего положения. В этом случае линия пересечения задается только на одной проекции. Остальные ее проекции строят с помощью вспомогательных прямых, проведенных на гранях пирамиды. [c.81]

Как уже указывалось, способ вспомогательных плоскостей общего положения рекомендуется применять при построении линии пересечения конических и цилиндрических поверхностей общего вида, а также и их частных видов — поверхностей пирамид и призм. В этих случаях вспомогательные плоскости удобно выбирать так, чтобы они пересекали обе поверхности по их образующим. Такими плоскостями будут плоскости общего положения. Эти плоскости в случае пересечения двух конических поверхностей должны проходить через прямую 8Т, соединяющую их вершины (рис. 192). В случае пересечения конической и цилиндрической поверхностей вспомогательные плоскости должны проходить через прямую ТТ, проведенную через вершину Т конической поверхности, параллельно образующим цилиндрической поверхности (рис. 193). [c.183]

На рис. 153, б показана аксонометрическая проекция пересекающихся многогранников. Ее построение несколько отличается от построения в предыдущем примере. Построив известным путем аксонометрическую проекцию пирамиды, строим вторичную горизонтальную проекцию призмы (рис. 153, в), используя отрезки п.1, 2 и I, измеренные на чертеже. Затем, используя высоты и 22 ребер над плоскостью Я, строим аксонометрические проекции вершин основания призмы и соединяем их прямыми (рис. 153, г). Линии пересечения строим по точкам, откладывая на аксонометрических проекциях ребер призмы расстояния от этих точек до вершин оснований. Например, для определения в аксонометрической проекции точек / и // используем отрезок 1х. [c.151]

На рис, 108 показан пример построения линии пересечения пирамиды и призмы. Так как боковые грани призмы занимают проецирующее положение по отношению к фронтальной плоскости, фронтальную проекцию линии пересечения строить не надо. Для построения двух других проекций линии пересечения определяют на фронтальной плоскости проекций точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы (точки 1 6 и 2 5 и симметричные им относитель Ю плоскости п точки) и вводят вспомогательную плоскость р для определения отрезков прямых, по которым пересекается профильная грань призмы с боковыми гранями пирамиды (отрезок 3 — 4 и симметричный ему относительно плоскости а отрезок). [c.51]

Итак, построение линии пересечения двух многогранников сводится к решению задачи на пересечение прямой линии с многогранником. В предыдущем параграфе было показано, что для рационального решения этой задачи в одних условиях следует пользоваться проектирующими плоскостями, в других — простейшими секущими. К последним следует прибегать в том случае, если основания обоих многогранников расположены на одной плоскости. Построения оказываются менее сложными, если этой плоскостью является одна из плоскостей проекций. Рассмотрим применение метода простейших секущих плоскостей к построению линии пересечения пирамид и призм. [c.116]

Построить в ортогональных проекциях и аксонометрии линии пересечения фронтально проецирующей плоскости Р с правильными призмой и пирамидой, а также прямым круговым цилиндром и конусом. [c.127]

Точки пересечения ребер пирамиды 5Л и S с гранями призмы в данном случае можно определить по их профильным проекциям 2 , 3 и 4", так как боковые грани призмы на профильную плоскость проекций проецируются в виде прямых линий. Проведя линии связи до фронтальных и горизонтальных проекций соответствующих ребер пирамиды, отмечают на них фронтальные и горизонтальные проекции этих точек. [c.133]

Пересечение пирамиды с прямой призмой (рис. 56). Боковые ребра призмы проецируются в точки, а боковые ее грани являются горизонтально проецирующими отсеками плоскостей. И в этой задаче, как это было ранее (см. рис. 51 и 52), следует выделить частный случай пересечения, когда одна проекция линии пересечения многогранников известна. [c.45]

Последовательно заключив ребра пирамиды в горизонтально- или фронтально-проецирующие плоскости (например, 2), устанавливаем, что с гранями призмы пересекаются все ребра пирамиды. Вслед за этим найдем, что с гранями пирамиды пересекается ребро призмы с. Определив точки пересечения ребер и граней, выясним, какие из них принадлежат одним и тем же граням одной из поверхностей и последовательно соединим их прямыми линиями. [c.251]

Например, при пересечении прямой с поверхностями призмы, пирамиды и сферы в качестве вспомогательной плоскости выбирают проецирующую плоскость. При пересечении конической поверхности прямой линией такой плоскостью является плоскость общего положения, проходящая через вершину и, следовательно, пересекающая эту поверхность по прямым линиям. При пересечении цилиндрической поверхности прямой целесообразно проводить через данную прямую вспомогательную плоскость параллельно образующим этой поверхности. При пересечении такой плоскости с цилиндрической поверхностью получаются прямые линии. [c.158]

Из четырех боковых ребер призмы только ребро MN пересекает пирамиду. Чтобы найти точки пересечения этого ребра с гранями пирамиды, через ребро и вершину 5 пирамиды проводим вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость 2. Она пересекает пирамиду по прямым линиям, которые пересекают ребро [c.163]

При пересечении плоскостью многогранника (например, призмы, пирамиды и др.) в сечении получается многоугольник с вершинами, расположенными на ребрах многогранника. При пересечении плоскостью тел вращения (цилиндра, конуса и др.) фигура сечения часто ограничена кривой линией. Точки этой кривой находят при помощи вспомогательных линий-прямых или окружностей, взятых на поверхности тела. Точки пересечения этих линий с секущей плоскостью будут искомыми точками контура криволинейного сечения. [c.94]

В результате пересечения плоскости Р с пирамидой образуется ромб, стороны которого будут параллельны сторонам оснований пирамиды. Его легко построить, перенеся точку а на горизонтальную плоскость проекций и проведя прямые, параллельные сторонам основания. В результате пересечения плоскостью Р призмы образуется прямоугольник, равный размеру горизонтальной проекции призмы. Точки 5, 6, 7, 8 пересечения контуров ромба и прямоугольника и будут искомыми точками линии пересечения обоих тел. Как получить профильные проекции 5", 6", 7", 8" этих точек, показано на чертеже линиями связи со стрелками. [c.81]

На той же горизонтальной проекции видно, что ребро призмы II VI пересекает грань ASF пирамиды. Для построения точки пересечения L 1, V) этого ребра заключаем его в горизон-тально-проецирующую плоскость R, которая пересекает грань ASF пирамиды по линии IX S (9 S 9 S), а ребро II VI пересечется с этой линией в искомой точке ( , I). Аналогично строится точка пересечения Li(/i, /i) ребра IV VI призмы с гранью BS пирамиды. Далее построим точки пересечения ребер пирамиды с поверхностью призмы. Для построения точки М (т, т ) пересечения ребра SE с передней гранью I II VI V призмы проведем через него горизонтально-проецирующую плоскость Р. Она пересекает переднюю грань призмы по прямой VI VII (6 7, 6 7 ), а ребро SE пересечет эту прямую в искомой точке М(т, т). Аналогично строится точка Ai) (mi, mi) пересечения ребра пирамиды SD с задней гранью призмы III IV VI V (эта точка симметрична с точкой т относительно ребра 5 6). На горизонтальной проекции видно, что ребра 5/1 и S3, т. е. грань /4SS пирамиды пересекается с гранью II IV VI призмы. Обе грани занимают фронтально-проецирующее положение и пересекаются между собой по прямой TT t t[, tt ), перпендикулярной фронтальной плоскости проекций. Фронтальная проекция этой прямой Г получается при пересечении фронтальной проекции 2 4 6 грани призмы с фронтальной проекцией a b s грани пирамиды. Горизонтальная проекция tti прямой пересечения плоскостей построена по ее фронтальной проекции. [c.41]

Точки пересечения ребер пирамиды с призмой легко определяются на горизонтальной проекции. С помощью линий связи строим фронтальные проекции этих точек. Из вертикальных ребер призмы лишь одно ребро пересекает пирамиду. Точки пересечения этого ребра с гранями пирамиды определяем, проводя вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость через ребро и вершину пирамиды. Она пересекает грани пирамиды по прямым, которые пересекают ребро призмы в точках 7,7 и 8,8. Соединяем построенные проекции точек отрезками [c.45]

Построим линию пересечения поверхностей призмы с боковыми ребрами а, 6, с и пирамиды AB S (рис. 361). Последовательно заключив ребра пирамиды в горизонтально или фронтально проецирующие плоскости (например, П), устанавливаем, что с гранями призмы пересекаются все ребра пирамиды. Вслед за этим найдем, что с гранями пирамиды пересекается ребро призмы. с. Определив точки пересечения ребер и граней, выясним, какие из них принадлежат одним и тем же граням одной из поверхностей и последовательно соединим их прямыми линиями. [c.136]

Сечение пирамиды или призмы (черт. Ill) может быть построено и с помощью теоремы Дезарга ( 2), если предварительно определена точка пересечения одного из ребер с заданной плоскостью 0L, например точка 1=ЗАг а и прямая т = аГ р (Р — плоскость основания многогранника). В перспективно-коллинеарном соответствии двух плоскостей а и линия т их пересечения является осью коллинеации, а вершина S пирамиды — центром. [c.51]

Проекции 3, 3 точки пересечения ребра АО пирамиды с верхней задней гранью призмы найдены с помощью вспомогательной фронтальной плоскости (6/,), которая проведена через это ребро. Плоскость пересекает грань призмы по прямой, параллельной ребрам призмы и проходящей через точку 23 на основании призмы. В пересечении фронтальных проекций этой прямой и ребра а найдена фронтальная проекция точки пересечения указанного ребра с задней верхней гранью призмы и на линии связи — горизоггтальная проекция 3. С нижней гранью призмы, перпендикулярной плоскости V, ребро АО пересекается в точке с фронтальной проекцией 5. В проекционной связи на проекции аЗ построена ее горизонтальная проекция 5. [c.83]

На рис. 153, а показан пример построения проекций линии пересечения поверхностей правильной треугольной пирамиды, стоящей на плоскости проекций Н, и прямой треугольной призмы, основание которой расположено в плоскости проекций W. Профильная проекция показывает, что поверхность призмы полностью пересекает поверхность пирамиды, и, следовательно, имеем две ломаные лиции пересечения. Более того, устанавливаем, что поверхность призмы пересекается с левой и правой боковыми гранями пирамиды, а задняя грань пирамиды в пересечении не участвует. Следовательно, линии пересечения представляют собой плоские фигуры — треугольники. Профильные проекции линий пересечения совпадают с профильной проекцией призмы — треугольником /" = 2"-3" = 5"-4" = 6". Для построения двух других проекций линий пересечения необходимо найти проекции точек пересечения ребер призмы с гранями пирамиды. Для определения проекций точек / и II пересечения верхнего ребра воспользуемся горизонтальной плоскостью-посредником Q. Она пересекает поверхность пирамиды по треугольнику АВС, подобному основанию. Его фронтальная проекция а Ь с лежит на следе (Ру), а горизонтальная аЬс определяется посредством линий связи. Отметив горизонтальные проекции 1 п 2 искомых точек, при помощи линий связи строим их фронтальные проекции 1 и 2. Аналогично при помощи плоскости находим проекции точек пересечения III—VI двух других ребер призмы с гранями пирамиды. Заметим, что в плоскости Рг лежит вся нижняя грань боковой поверхности призмы. Поэтому решение этой части задачи можно рассматривать как решение задачи на пересечение двух плоскостей — граней пирамиды и призмы. Соединив последовательно найденные одноименные проекции точек, получаем проекции линии пересечения поверхностей данных многогранников. [c.151]

Построения показаны на рис. 6.13, б. Рассмотрим их для левой части чертежа (от оси пирамвды). Проекции 1 , 1, 2", 2, 3", 3, 4 , 4 точек пересечения ребер призмы с гранями пирамиды найдены путем проведения через них фронтальных плоскостей Р(Р )> а(а ), у(у )- 01Ш пересекают левые боковые грани пи] )амвды по фронталям —прямым линиям, параллельным левому ребру пирамиды. Положение их фронтальных проекций определено по горизонтальным проекциям 21, 22, и 24 точек пересечения горизонтальных проекций Р, а и / плоскостей р, а, у с гортзон-тальной проекцией основания пирамиды. В пересечении фронталь- [c.69]

Пересечение пирамиды с призмой. /7рос-пгейшая секущая плоскость должна пересекать пирамиду по треугольнику, а призму — по параллелограмму. Это условие окажется выполненным, если ось пучка простейших секущих плоскостей будет проходить через вершину пирамиды параллельно боковым ребрам призмы. На рис. 199 показана одна из плоскостей пучка, проходящая через ребро пирамиды. Положение этой плоскости определяют две прямые ЗМ и ЗА. Из рисунка видно, что Р пересекает основание призмы в точках и М , через которые проводим прямые параллельно боковым ребрам призмы. Это линии плоского сечения призмы, пересекаясь с ребром дают точки [c.111]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...