Преобразование второго закона Ньютона

Преобразование второго закона Ньютона [c.186]

Как известно, основные результаты (законы, теоремы, следствия) классической механики получаются из различных модификаций и преобразований второго закона Ньютона. В частности, уравнения Лагранжа в обобщенных координатах и канонические уравнения Гамильтона являются естественными обобщениями закона движения Ньютона на механические системы с геометрическими связями. [c.11]

Если специальный принцип относительности справедлив для быстрых движений, то все законы механики должны быть инвариантны по отношению к преобразованиям Лорентца (9.39) или (9.40), вытекающим из них преобразованиям скоростей (9.48) и ускорений (9.53) и (9.54) и, наконец, преобразованиям сил (9.63) — (9.65), полученным в предыдущем параграфе. В частности, можно было бы показать (как это было сделано в 57 для медленных движений), что второй закон Ньютона сохраняет свою форму при переходе от одной инерциальной системы координат к другой и в случае быстрых движений. Однако в общем виде это доказательство требует применения специального математического аппарата, излагать который здесь было бы нецелесообразно. Поэтому мы вынуждены ограничиться только самыми простыми конкретными примерами и самыми общими замечаниями по вопросу об инвариантности законов механики. [c.293]

Перейдем теперь к примеру, иллюстрирующему инвариантность второго закона Ньютона по отношению к преобразованиям ускорений, скоростей и сил, вытекающим из преобразований Лорентца — Эйнштейна. В качестве примера выберем таком частный случай, когда тело испытывает только тангенциальное ускорение. Для этого [c.294]

Рассмотренные примеры, представляющие собой весьма частные случаи, не могут служить доказательством инвариантности второго закона Ньютона и законов сохранения по отношению к преобразованиям Лорентца, а являются лишь иллюстрацией этой инвариантности. Идея же наиболее общего метода доказательства инвариантности физических законов подсказана дальнейшим развитием представления об интервале. Как было показано ( 63), из относительных (неинвариантных по отношению к преобразованиям Лорентца) понятий расстояния между двумя точками и промежутка времени между двумя событиями может быть составлена комбинация — интервал, являющийся инвариантом по отношению к преобразованиям Лорентца. [c.295]

Уравнение (1.1) является записью второго закона Ньютона применительно к элементу сплошной среды. Известно, что законы Ньютона являются инвариантными по отношению к преобразованию Галилея. Легко проверить, что векторное уравнение (1.6) по отношению к этому преобразованию не инвариантно. Если в акустическом случае классическое волновое уравнение оказывается инвариантным по отношению к преобразованию Лорентца, то уравнение движения Ламе не инвариантно и по отношению к этому преобразованию. Причина такого положения в неточности, допуш,енной при вычислении ускорения элемента среды. Производная по времени для данного элемента среды d/dt и производная по времени в данном месте пространства d/dt отличаются между собой. С учетом этого различия указанный парадокс исчезает, однако соответству-юш,ее уравнение движения становится нелинейным. Нелинейные слагаемые имеют тот же порядок малости, что и отброшенные при выводе уравнений (1.1) — (1.3) в лагранжевой системе координат, жестко связанной со средой. [c.17]

Преобразование основного закона динамики. Основной закон динамики (второй закон Ньютона) в неподвижной системе отсчета записывается так [c.179]

Любая физическая теория должна быть построена таким образом, чтобы ее основные законы были инвариантны к преобразованиям Лоренца. Выясним, инвариантен ли к преобразованиям Лоренца основной закон механики — второй закон Ньютона. [c.185]

Простая проверка показывает, что нет. А это значит, что механические явления в системах отсчета, движущихся друг относительно друга со значительными скоростями, будут протекать по-разному, что противоречит принципу относительности. В чем же дело А дело в том, что, как и преобразования Галилея, второй закон Ньютона — приближенный закон, справедливый лишь при малых скоростях движения тел и систем отсчета. Его следует уточнить, т. е. придать ему такую форму записи, которая была бы инвариантна к преобразованиям Лоренца. [c.186]

Во всех инерциальных системах отсчета, например условно неподвижной (х, у, г) и движущейся (х у, г ) относительно неподвижной равномерно прямолинейно поступательно со скоростью Vo вдоль оси Ох, второй закон Ньютона имеет одинаковый вид. Инвариантность закона Ньютона относительно преобразований Галилея [c.34]

Но уравнение (12.1) не является инвариантом относительно преобразования Лоренца. Следовательно, в теории относительности второй закон Ньютона требует уточнения. [c.236]

Следовательно, второй закон Ньютона справедлив в любой инерциальной системе, как это и должно быть в соответствии с принципом относительности. Другими словами, фундаментальные уравнения Ньютона инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея. Хорошо известно, что эта инвариантность нарушается при более сложных преобразованиях, приводящих к понятию ускоренных систем отсчета, так как возникает необходимость введения фиктивных центробежных сил и сил Кориолиса, зависящих от ускорения системы отсчета и не следующих непосредственно из динамических уравнений. [c.12]

Рассмотрим величины, входящие в формулу (5.7) второго закона Ньютона. В соответствии с преобразованиями Галилея ускорение — [c.80]

Заметим в заключение, что все переменные, от которых зависят рассмотренные силы (радиусы-векторы точек Гу в (10.3), удлинение пружины Д/ в (10.10), скорости тела относительно подставки или среды в (10.13), (10.14) и (10.16)) инвариантны относительно преобразований Галилея (6.1), а следовательно, инвариантны и сами силы. Вместе с инвариантностью массы и ускорения это приводит к инвариантности второго закона Ньютона, чем обеспечивается выполнение принципа относительности Галилея. [c.37]

Первый и второй законы механики Ньютона инвариантны относительно преобразований координат, обусловливающих переход от неподвижной системы координат к подвижной, движущейся поступательно, равномерно и прямолинейно относительно условно неподвижной. [c.230]

Эйнштейну удалось показать, что уравнения такого преобразования прекрасно согласуются со всеми известными эффектами первого и второго порядка и дают полное объяснение всех явлений, происходящих при движении источника света относительно наблюдателя, либо, наоборот,—наблюдателя относительно источника. Более того, эти два основных постулата потребовали модификации уравнений движения Ньютона, что привело к появлению нового закона динамики. Однако наиболее сильный результат новой теории состоял в том, что два ранее независимых понятия массы и энергии оказались объединенными при помощи знаменитого уравнения Е = тс . Эйнштейн открыл это соотношение сначала в неполном виде в 1905 г., а позже, в 1907 г., придал ему окончательную форму. [c.332]

Планк в своей речи, произнесенной в Стокгольме в 1920 г. (в связи с получением им Нобелевской премии), останавливаясь на значении введенного им в науку понятия кванта действия , говорил ...или квант действия был фиктивной величиной — тогда весь вывод закона излучения был принципиально иллюзорным и представлял собой просто лишенную содержания игру в формулы, или при выводе этого закона в основу была положена правильная физическая мысль — тогда квант действия должен был играть в физике фундаментальную роль, тогда появление его возвещало нечто совершенно новое, даже неслыханное, что, казалось, требовало преобразования самих основ нашего физического мышления, покоившегося, со времени образования анализа бесконечно малых Ньютоном и Лейбницем, на представления о непрерывности всех причинных связей. Опыт решил в пользу второго предположения. [c.607]

До сих пор в основе всех наших рассуждений лежали некоторые исходные представления, играющие во всем последующем построении роль аксиом. Мы постулировали, в частности, второй закон Ньютона и при гыводе основ ых законов и теорем механики всегда исходили из него. В настоящей главе, выводя уравнения движения в форме, ковариантной по отношению к любым точечным преобразованиям координат, мы также положили в основу рассуждений второй закон Ньютона и в конечном результате придали ему форму уравнений Лагранжа. В этом смысле второй закон Ньютона оказывается эквивалентным утверждению о том, что движение может быть описано уравнениями (22), а движение в потенциальном поле — уравнениями (29), где L = T—К. [c.164]

Согласно (82), все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Например, второй закон Ньютона в неподвижной системе имеет вид F=mA xjAt . Если x —x — vt и v= onst, то d x/d/ = d .r7dr , а так как = (по определению), то F =тЛ х jAr. Вид уравнения движения при переходе от одной инерциальной системы к другой не меняется. Это свойство называется инвариантностью закона по отношению к преобразованиям Галилея. [c.132]

Наиболее простыми примерами, иллюстрирующими инвариантность законов механики, являются задачи, в которых применяется не сам второй закон Ньютона, а вытекающие из него законы сохранения импульса и энергии, применяемые для решения задачи об ударе. Это и понятно, так как в задачах об ударе мы не рассматриваем сил и ускорений и пользуемся только лишь формулами преобразования скоростей, связь между которыми устанавливается на рсновании законов сохранения. Первым таким примером может служить задача об абсолютно неупругом ударе, рассмотренная в 59. Действительно, из закона сохранения импульса при этом рассмотрении была получена формула преобразования скоростей (9.14), которая представляет собой частный случай общей формулы (9.48), вытекающей из преобразований Лорентца — Эйнштейна. Следовательно, если бы мы шли по обратному пути, т. е. применили бы формулу (9.48) к преобразованию скорости при переходе от системы /< к системе К, то убедились бы, что закон сохранения импульса соблюдается в системе К. [c.294]

Конечно, при U = О случаи тангенциального и нормального ускорений в системе неразлпчимы и уравнение второго закона Ньютона для случая нормального ускорения (3.31) также имеет вид (9.76). Однако в системе К, которая движется относительно К со скоростью V, случай чисто тангенциального ускорения получится только при условии, что лежит на одной прямой с F. В самом деле, только в этом случае сила F в системе К будет лежать на одной прямой со скоростью тела и — — г (в системе К ) и будет сообщать телу только тангенциальное ускорение. Применяя формулу преобразования тангенциального ускорения (9.53) для случая, когда и —v, получим [c.295]

В статье Исследование принципов механики и геометрические доказательства относительно сложения и разложения сил (Комментарии Петербургской академии наук, 1726) Д. Бернулли рассматривает основные идеи и исходные принципы механики Ньютона и Вариньона. Он показывает, что закон сохранения количества движения ( mv = onst) аналогичен интегралу J pdt = onst второго закона Ньютона р — давление, сила), называемому им механическим началом . Аналогичным образом, после преобразования закона Ньютона к виду vdv = pdx, он [c.159]

При этом выяснилось, что координаты точки (точнее - события) в двух инерциальных СО связаны друг с другом более сложными формулами, чем преобразования Галилея (6.1) - они называются преобразованиями Лоренца. Уравнения движения, даваемые вторым законом Ньютона, не сохраняют своей формы при преобразованиях Лоренца, что указывает на приближенный характер ньютоновской механики. Уравнения движения в релятивистской механике, построенной в начале нашего века и описывающей движение материальной точки с любыми скоростями вплоть до скорости света в вакууме, сохраняют форму при преобразованиях Лоренца. Однако, как было пояснено во введении, движение макроскопических тел вполне удовлетворительно описьшается ньютоновской механикой и не возникает практической необходимоста пользоваться релятивистскими формулами. [c.31]

Строго говоря, сила инерции не подпадает под определение силы, данное ранее. Согласно этому определению (см. 7) силы характеризуют взаимодействие тел, в то врем как силы инерции не обусловлены действием на рассматриваемое тело каких-либо других тел, а возникакгг только как следствие ускоренного даижения СО К. Кроме того, силы инерции зависят от ускорения системы отсчета ад, в то время как ранее предполагалась инвариантность сил по крайней мере по отношению к преобразованиям Галилея. С другой стороны, силы инерции проявляют себя, вызывая ускорение материальной точки, точно так же, как и всякие другие силы, стоящие в правой часта уравнения движения. Поэтому, если обобщить определение сил, положив в основу то, как они фигурируют во втором законе Ньютона и не требуя их инвариантности при переходе от одной СО к другой и вьшолнения третьего закона Ньютона, то силы инерции поддадут под это определение. Так что относипъ ли силу инерции к категории сил или нет - вопрос чисто терминологический. [c.99]

Поскольку линейным преобразованием все прямые переводятся в прямые, то и в этой системе рассматриваемая точка движется равномнерно и прямолинейно. В соответствии с первым законом Ньютона и ее следует признать инерциальной. Но это войдет в противоречие со вторым законом, который в этой системе, как легко проверить, не имеет места. [c.264]

Галилеева симметрия в конце XIX в. не включалась в канонический формализм как мы уже отмечали, вопрос о том, какой закон сохранения отвечает ей, оставался открытым. В силу особой роли времени в классической механике галилеево-ньютонова группа как некоторая единая система преобразований, действующая на пространственно-временном многообразии, оставалась неизвестной, несмотря на то, что все ее генераторы были известны, по существу говоря, со времени Галилея и Ньютона. Галилеев принцип относительности имел большое значение для обоснования системы Коперника (Галилей), использовался Гюйгенсом в качестве одного из главных постулатов теории упругого удара, но уже в Началах Ньютона формулировался в виде следствия из трех основных аксиом или законов механики, а в механике XVIII в., как правило, не фигурировал вообще. Во второй половине XIX в. возобновляется некоторый интерес к физическим основам механики, в частности к вопросам об абсолютном пространстве, инерциаль-ных системах отсчета и принципе относительности Галилея (Э. Мах, К. Нейман, Л. Ланге и др.) . Частично это было связано с проблемой увлекаемо-сти эфира в оптике и электродинамике движущихся сред. Однако исследования эти не носили систематического характера, и галилеева симметрия в механике не рассматривалась на одном уровне с евклидовой симметрией. Отчетливое понимание роли галилеевой симметрии в классической механике и открытие галилеево-ньютоновой группы произошло, по сути дела, после открытия теории относительности. Ф. Клейн в этой связи подчеркивал Эта выделенность t (т. е. времени.— В. В.) играла определенную тормозящую роль в истории развития механики. Несмотря на то, что уже Лагранж [c.238]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...