Положение о локальном равновесии

Положение о локальном равновесии [c.234]

Известно, что время релаксации растет с увеличением размеров системы. Поэтому отдельные малые части ее приходят в равновесное состояние гораздо раньше, чем устанавливается равновесие между этими малыми частями. В силу такого положения, хотя система в целом и не находится в равновесии, можно говорить о локальном равновесии в макроскопически небольших частях системы и описывать их состояние с помощью всех тех параметров и термодинамических функций, которые использовались ранее. При этом предполагается, во-первых, что малые участки системы содержат еще очень большое число частиц, во-вторых, что отклонения от равновесия достаточно малы, в-третьих, что различие в свойствах между соседними элементарными объемами незначительно и, в-четвертых, что все процессы в системе протекают достаточно медленно. (Эти допущения уже использовались в 6.3 и 10.2.) [c.234]

Основное положение термодинамики необратимых процессов, вытекающее из предположения о локальном термодинамическом равновесии, заключается в том, что первый и второй законы классической термодинамики справедливы и для локально равновесных макроскопических частей системы. Для математического выражения второго закона термодинамики в случае твердых деформируемых тел, состояние которых определяется большим числом независимых переменных, удобной является формулировка, разработанная [c.6]

Второе положение основано на предположении о локальном термодинамическом равновесии и сводится к тому, что мгновенные значения термодинамических функций ( 1.5) являются однозначными функциями термодинамических параметров. Из этого вытекает,, что основные уравнения классической термодинамики (1.3.1) и [c.25]

Обсудим связь между материалом, изложенным в данном пункте, где речь шла об описании механических явлений вблизи положения равновесия, и макроскопической картиной пространства конфигураций. Мы оперировали с координатами, имевшими значение локальных координат. Они отражали малые локальные вариации bqi координат I вблизи положения равновесия Р. Потенциальная энергия V вследствие разложения в ряд Тейлора также отражала локальные вариации потенциальной энергии V в окрестности точки Я. Линейные члены выпадали, поскольку мы разлагали функцию вблизи точки равновесия. Разложение начиналось с членов второго порядка и давало то, что в общем случае называется второй вариацией функции (см. гл. II, п. 3). Теперь мы видим, что та же самая вторая вариация, которая была существенна при определении экстремальных свойств стационарной точки, существенна и в вопросе об устойчивости либо неустойчивости состояния равновесия. Если все X положительны, то вторая вариация является положительно определенной формой это означает, что потенциальная энергия увеличивается в любом направлении от Р. Следовательно, потенциальная энергия имеет локальный минимум в точке Р. Утверждения о наличии минимума потенциальной энергии и существовании устойчивого положения равновесия эквивалентны. Если по крайней мере один из корней отрицателен, то вторая вариация меняет знак и стационарное значение потенциальной энергии не является уже истинным экстремумом. В то же время соответствующее положение равновесия неустойчиво. [c.188]

Как уже отмечалось, без ограничения общности можно считать, что в положении равновесия qi = q2 =. .. = = 0. В силу того что потенциальная энергия П( 1,. .., qn) определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной, примем, что П(0,. .., 0) = 0. Так как в положении равновесия функция П имеет строгий локальный минимум, то существует такое число г > О, что в окрестности [c.490]

Согласно теореме о выпрямлении, в малой окрестности любой точки Хо G М", не являющейся положением равновесия (г>(хо) Ф Ф 0), всегда существуют координаты xi,...,x , в которых дифференциальные уравнения приобретают простейший вид 1 = 1, 2 = = 71 = 0. Поэтому координаты Х2, , х составляют полный набор независимых интегралов любой интеграл — функция от Х2, . , Хп- Проблема интегрирования дифференциальных уравнений трактовалась классиками (вплоть до работ Пуанкаре) исключительно с точки зрения явных формул для интегралов. Эта задача, однако, чисто аналитическая, и ее решение никак не связано с особенностями поведения фазовых траекторий. Оказывается, в ряде случаев можно указать простые явные формулы для локальных интегралов, в то время как в целом динамическая система вовсе не имеет первых интегралов. [c.62]

Из свойства 3 выводится тот факт, что при локальном рассмотрении окрестностей 8 и 8 диссипативные (ускоряющие) силы действуют (появляются) локально, несмотря на их отсутствие в исходной обратимой механической системе. Такая ситуация имеет место, например, в задаче о кельтском камне [25]. Однако, как это следует из 3 , зависимость свойства устойчивости от знака квазискорости на стационарном движении является общим для неголономных систем, независимо от того, какая форма уравнений нри этом выбрана. Если, конечно, стационарное движение не вырождается в положение равновесия, принадлежащее какому-либо (может быть, неочевидному) неподвижному множеству. [c.138]

Показать, что положение равновесия д = аг i = l, п) консервативной системы будет устойчиво, если потенциальная энергия П(д1, 2, , п) является дважды непрерывно дифференцируемой локально строго выпуклой функцией в точке а (т. е. в некоторой достаточно малой окрестности точки а при О а 1 выполняется соотношение П(аж - - 1 — а)уг) аП(ж ) + (1 — а)П(2/ ), где равенство имеет место лишь при = у ). Убедиться в том, что в нижнем положении равновесия математического маятника его потенциальная энергия является локально строго выпуклой функцией. [c.154]

Согласно этим теоремам задача об устойчивости равновесия или стационарного движения твердого тела с жидкостью приводится к задаче минимума потенциальной энергии V или измененной потенциальной энергии W системы. В случае полного заполнения жидкостью полости выражения V ш W являются функциями конечного числа переменных qj. В случае частичного заполнения полости V и W представляют собой функционалы, зависящие от формы объема т и свободной поверхности жидкости, а также от положения тела. Так как свойство минимума является локальным, то для строгого решения задачи минимума, за исключением особых случаев, можно ограничиться рассмотрением величин второго порядка малости. Поэтому для решения этой задачи можно использовать методы теории малых колебаний, если смещение свободной поверхности от положения равновесия представить в виде ряда пф системе собственных функций соответствующей краевой задачи. Таким методом был решен ряд конкретных задач о минимуме V и W (Н. Н. Моисеев, 1952 Г. С. Нариманов, 1956 В. В. Румянцев, 1962). Однако вычисления при [c.33]

Задача. Докажите, что в аналитической системе с одной степенью свободы положение равновесия О о не являющееся точкой строгого локального минимума потенциальной энергии, неустойчиво по Ляпунову. Приведите пример бесконечно дифференцируемой системы, где это не так. [c.91]

Замечание 3. Стремление решений к положению равновесия при <- -оо недостаточно для асимптотической устойчивости, как показывает рис. 3 (и не является локальным свойством). [c.28]

Оказывается, что — действительно порядок. Конечное частично упорядоченное множество можно очевидным образом изобразить с помощью графа с ориентированными ребрами (стрелки направлены в сторону убывания ). Разметим этот граф, указав для каждой вершины локальные характеристики соответствующей периодической траектории (п. 2.1 в случае потока надо, конечно, указывать, отвечает ли вершина положению равновесия или замкнутой траектории). Полученный размеченный ориентированный граф назовем фазовой диаграммой системы М.-С. Ясно, что диаграмма содержит значительную информацию о ДС. Все же эта инфор<М ация не яв- [c.192]

Однако здесь остается открытым вопрос о существовании предельных циклов. Ясно, что локальная устойчивость или неустойчивость положений равновесия дает нам весьма малую информацию [c.221]

Наиболее полно физические представления о природе совместимости материалов как оптимальном состоянии трибосистемы в заданных условиях работы вытекают из положений термодинамики необратимых процессов. Применение этих положений в трибологии описывается в работах Б.И. Костецкого, Л.И. Бершадского, Ю.К. Машкова, А.А. Полякова, В. Эбелинга и др. Трибосистема рассматривается как открытая система, обменивающаяся энергией и веществом с окружающей средой. Трибопроцессы проходят в стационарном, установившемся и нестационарном, переходном режимах. Наблюдаются локальные равновес- [c.10]

В этом отношении особого внимания заслуживает работа [172], обосновано положение о возникновении во всех кристаллах в ьнИх нолях внешних воздействий локальных сдвигонеустойчи- возбужденных состояний, подобных переохлажденной жид-ти. Эти состояния находятся в динамическом равновесии с ужающей их кристаллической средой и играют в поведении ссталлов фундаментальную роль. [c.7]

При управлении фазой нагрузки синхронного привода поршневого компрессора изменением положения поворотного статора, фазы напряжения на статоре или обмотке многофазного ротора АСД, силы тока возбуждения в двигателе продольно-поперечного возбуждения или полярности возбуждения важно определить условия устойчивости двигателя в синхронном режиме. При непрерывных методах регулирования и углового положения ротора необходимо проанализировать условия устойчивости двигателя при синхронной работе в окресности точки локального равновесия, определяемого углом О < . [c.109]

Благодаря своей простоте квантовые решеточные системы оказываются ценными и в неравновесной статистической механике. Рассматривая предельно простой случай обобш,енной модели Изинга (в смысле, указанном в начале данного пункта), Радин [309] проанализировал поведение во времени величины R) для широкого класса начальных условий и локальных наблюдаемых. Можно показать, что в этом случае эволюция во времени не действует G-абелевым способом. Для физических приложений более важно другое обстоятельство оказывается возможным придать точную математическую форму традиционно принимаемому положению о том, что скорость приближения к равновесию в термодинамическом пределе должна быть связана со степенью непрерывности спектра эффективного гамильтониана. Подчеркнем, что здесь речь идет об эволюции во времени локальной наблюдаемой, погруженной в бесконечную систему, а поэтому гамильтониан, о котором мы говорим, совпадает с тем, который локально реализует эволюцию во времени бесконечной системы. Как оператор этот гамильтониан зависит от гильбертова пространства, на котором он действует в конструкции ГНС, и поэтому степень непрерывности его спектра зависит от представления. Коль скоро начальное состояние фо выбрано, степень непрерывности спектра гамильтониана можно связать с зависимостью функции е ( со — со )=бшш от пространственных переменных. Следует иметь в виду также, что метод Радина допускает обобш,ение на взаимодействия более широкого типа, чем описанная выше простая модель Изинга. [c.388]

Выше говорилось о локальном исследовании положений равновесия и периодических колебаний в системе третьего порядка. Эго исследование проясняет структуру фазового портрета системы только в малой их окрестаостн. Полное (глобальное) построение фазового портрета нелинейной динамической системы третьего (и более высокого) порядка в общем случае представляет сложную и до сих пор не решенную проблему. Подробнее об анализе многомерных систем см. в монографии [6] и цитированной в ней литературе. [c.346]

Если квадратичная форма в разложении (2.23) в малой окрестности положения равновесия (нуля) является определенно-положительной, то и потенциальная энергия П будет определенно-положительной в этой окрестности. Так как, по предложению, П (О,. .., 0) = 0, то отсюда следует, что в положении равновесия П имеет локальный минимум и из теоремы Лагранжа — Дирихле следует устойчивость рассматриваемого положения равновесия. [c.87]

Влияние гироскопических сил и диссипативных сил с полной диссипацией на устойчивое положение равновесия голономной системы. В п. 225 отмечалось, что при добавлении к консервативной голономной системе гироскопических и диссипативных сил теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы при наличии строгого локального минимума потенциальной энергии остается справедливой, т. е. устойчивое при одних потенциальных силах положение равновесия системы остается устойчивым и при наличии гироскопических и диссипатипных сил. Это утверждение содержит только часть результатов, полученных Томсоном, Тэтом и Четаевым в задаче о влиянии гироскопических и диссипативных сил на устойчивость положения равновесия голономной консервативной системы. В данном параграфе рассмотрим другие теоремы Томсона-Тэта-Четаева. [c.535]

Теперь возможны два симметричных положения равновесия (рис. 17.1 б). Когда мы изменяем параметр к, то при переходе от значений И > 1о к значениям Н < 1о положение равновесия qeq = О становится неустойчивым. Возникаюшую неустойчивость можно назвать неустойчивостью, нарушающей симметрию частица может оказаться в левой или правой локальной потенциальной яме. При движении в окрестности точки qщ = ql дна ямы с полной энергией Е < к/2) Ь — /о) [c.139]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...