Преобразование дифференциальных и интегральных выражений

Зависимости между старыми и новыми переменны- ми, т. е. формулы преобразования, могут быть интерпретированы двояким образом либо как формулы отображения одной области на другую, либо как формулы преобразования координат в заданной области. И в том и в другом случае с переходом к новым переменным обычно необходимо преобразовать некоторые дифференциальные и интегральные выражения. [c.68]

Решить систему обыкновенных дифференциальных уравпений относительно преобразованных функций. (Если решение полученной системы вызывает известные трудности, то к ней следует еще раз применить подходящее интегральное преобразование относительно второй независимой (переменной. В результате преобразования получаем систему алгебраических ура(внений, решение которой более элементарно. После нахождения (выражений для дважды преобразованных функций применяют к ним обратное преобразование. Получаемое решение и будет являться решением искомой системы обыкновенных дифференциальных уравнений.) [c.84]

Выражение (1.10) представляет собой линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Решив его при соответствующих начальных и граничных условиях, мы найдем распределение примеси Ск как функцию от х и 1. Для решения таких задач наиболее подходящим является метод интегральных преобразований. Допустим, что тонкий слой вещества примеси с поверхностной плотностью Q в начальный момент времени <=0 нанесен на торец полубесконечного образца постоянного сечения. В то же время в образце примесь отсутствует. Соответствующие начальные и граничные условия запишутся в виде [c.14]

С переходом к криввлинейным коордийатам возникает необходимость преобразования дифференциальных и интегральных выражений. Соответствующий теоретический материал изложен в гл. II. Применительно к методу конечных элементов эти преобразования иллюстрируются следующими задачами. [c.227]

Цель книги —описание во. бужаения, распространения и приема сейсмических поли а различных аспектах, причем во многих случаях с большой детальностью При этом от читателя не требуется знания соответствующих разделов высп1ей математики во всей их полноте. Например, не применяются формализованные векторные операции, не используется символика и операции с тензорами. Хотя предполагается знакомство с алгеброй комплексных чисел, но автор избегает использования функций комплексного переменного, а об интегрировании в комплексной плоскости Даже пе упоминается, В связи с этим преобразования Фурье для любой функции приводятся в таком виде, чтобы читатель имел возможность сверять результаты по таблицам интегралов. Знания дифференциального и интегрального исчисления, а также курса дифференциальных уравнений вполне достаточно для понимания обсуждаемых в книге проблем. Очевидно, при таком способе изложения материала мы чем-то поступились Так, некоторые выражения могли бы быть написаны более компактно. Кроме того, теряются возможности обобщения некоторых результатов. Выбор математического аппарата в некоторых случаях базируется на физических соображениях, хотя можно было бы дать 6o.iee точное и общее решение. Если такой подход позволит воспринять обсуждаемые принципы и применить нх к интересующим проблемам, он будет оправдан. [c.5]

Интегрирование по частям интеграла (2.15.3) преобразует первый член подинтегрального выражения в —иу. Теперь мы имеем обычную лагранжеву задачу с переменными I/ и и, которая может быть преобразована в гамильтонову форму, что даст две пары канонических уравнений для четырех переменных у, и, pi, р , они заменяют собой одно первоначальное дифференциальное уравнение четвертого порядка для у. Показать эквивалентность канонической системы и первоначального дифференциального уравнения. Очевидно, что этот метод перехода от вторых производных к первым производным применим при любом количестве переменных. В общем случае при наличии производных m-ro порядка следует начать с выших производных, сводя их к производным т — 1)-го порядка затем процесс повторяется до тех пор, пока в подинтегральном выражении останутся одни лишь первые производные. Это и означает, что под-интегральное выражение приведено при помощи преобразования Гамильтона к каноническому виду. [c.200]

Видоизменение принципа Даламбера для систем е неинте-грируемыми связями. Непосредственное применение принципа Даламбера к выводу уравнений движения систем с неинтегрируемыми связями представляет то неудобство, что в состав аналитического выражения принципа входят дифференциальные выражения второго порядка, а это иногда значительно затрудняет переход от одних переменных к другим. С другой стороны, интегральные принципы, а именно, принципы Гамильтона, Лагранжа, Гельмгольца, хотя и содержат выражения первого порядка, но они несправедлявы для систем с неинтегрируемыми связями. Между тем, если равенство, выражающее принцип Даламбера, подвергнуть одному, почти очевидному, преобразованию, то мы получим формулу, весьма удобную для приложений, содержащую выражения первого порядка и по внешнему виду аналогичную формуле для вариации гамильтонова действия. [c.596]

Устанавливаемое В. н. м. свойство движения сводится во многих случаях (но не всегда) к тому, что для истинного движения системы нек-рая физ. величина, являющаяся ф-цией кинематич. и динамич. характеристик зтой системы, имеет экстремум (минимум или максимум). При этом В. II. м, могут отличаться друг от друга видом той физ. величины (той ф-]1ии), к-рая для истинного движения является экстремальной, а также особенностями механич. систем и классами тех движений. для к-рых это экстремальное свойство имеет место. По форме В. н, м. можно разделить на дифференциальные, устанавливающие, чем истинное движение системы отличается от кинематически возможных в каждый данны) момент времени, и интегральные, устанавливающие это различие для перемещений, совершаемых системой за конечный промежуток времени. В рамках механики дифференц. принципы имеют более общий характер, т. к. они приложимы к системам с любыми голономными и неголономными связями (см. Голочом-пая система Пеголопомная система). Интегральные принципы в их наиб, компактной форме приложимы только к голономным и даже только к консервативным системам. Однако выражение их через энергию и инвариантность по отношению к преобразованиям координат системы делает ати принципы приложимыми далеко за пределами классич. механики. [c.246]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Прежде всего необходимо указать, что дифференциальные принципы обладают одним общим недостатком. Формулировка этих принципов всегда требует введения особых координат для исследуемой системы. Необходимость введения таких координат придает решению каждой проблемы специфически механический вид. Но дело не только в этом. Физика должна формулировать законы природы так, чтобы они не зависели от произвольного выбора исследователем системы координат. Физический закон, сформулированный нами, должен быть инвариантным относительно той или иной группы преобразований координат. Эти преобразования должны быть выражением каких-то фундаментальных свойств материального мира. Инвариантность является необходимым, хотя и недостаточным условием истинности формулированных нами физических законов. То, что те или иные законы инвариантны лишь по отношению к тем или иным преобразованиям, введенным как логическое обобщение опытных данных (преобразование Галилея — равномерного движения и сложения скоростей, преобразование Лоренца — опыта Майкельсона и т. п.), указывает на определенные границы, на сферу применения этих законов. Так, уравнение Шредингера, которое не инвариантно по отношению к лоренцовым преобразованиям, являясь аналогом уравнений классической механики, ограничено соответствующим образом в объеме охватываемых им явлений. Интегральный же принцип Гамильтона имеет то огромное преимущество, что он может быть сформулирован так, что окажется инвариантным по отношению к любым преобразованиям координатных систем. [c.870]

Далее применяют один из двух методов. Первый метод—нахождение аналитических выражений для кривых распределения потенциалов переноса путем приближенного решения дифференциальных уравнений переноса, например с помощью интегральных преобразований. Второй метод — использование теории подобия. Для нахождения системы критериев подобия служат дифференциальные уравнения переноса и условия одиозначности. Иногда вводят также параметрические критерии, существенное влияние которых на процесс ожидается на основании дополнительных соображений, касающихся механизма или обстановки процесса. Такого рода параметрическими критериями при исследовании теплообмена мелсду частицами и потоком газа в псевдоожнженном слое могут быть число исевдоожижения и отношение фактической поте- [c.246]

В настоящей главе изучаются квазистатические температурные напряжения в кусочно-однородных телах. Здесь рассматривается квазистатическая задача термоупругости для составной полосы-пластинки, нагреваемой путем конвективного теплообмена с внешней средой, температура которой является функцией времени, С использованием интегрального преобразования Лапласа нестационарная задача теплопроводности для рассматриваемой системы приведена к решению обыкновенного частично вырожденного дифференциального уравнения с кусочно-постоянными коэффициентами, построенного методом И. Ф Образцова— -Г Г. Онанова [117]. Затем в замкнутом виде находятся выражения соответствующих найденному температурному полю температурных напряжений, исследуется влияние теплоотдачи, способов закрепления краев на характер распределения температурных напряжений в стеклянной полосе-пластинке с подкрепленным коваровым стержнем краем. [c.259]

Качественное различие существует лишь между амплитудой М. к., с одной стороны, и частотной и фазовой — с другой (рис. 1). Сравнивая между собой выражения (3) и (4), легко убедиться, что отличие частотной М. к. от фазовой сводится к интегральному или дифференциальному преобразованию по времени мо-дулируюхцей ф-ции Дш со ( 1г) сИ = 11з ((гг). т. е. для всякого закона изменения частоты может быть указан эквивалентный закон изменения фазы. [c.277]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...