Преобразование координат при повороте осей

Учитывая преобразования координат при повороте осей на угол а, проекции вектора д на координатные оси хну можно написать [c.202]

Координаты точки А относительно главных осей Zj и i/i определим, применив формулы преобразования координат при повороте осей [c.301]

Координаты точки В относительно главных осей 2j и определим по формулам преобразования координат при повороте осей [c.302]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ [c.55]

Выразим координаты и Zf в зависимости от Xj и zut- Дня этого воспользуемся формулами аналитической геометрии преобразования координат при повороте осей на угол а [c.187]

Имея это в виду и принимая начало координат О в центре тяжести фигуры, найдем моменты инерции относительно осей Оух и Oz], повернутых по отношению к первоначальным осям Оу и Oz на угол 0 (рис. 252). По формулам преобразования координат при повороте осей имеем [c.449]

На основе формул преобразования координат при повороте осей, известных из аналитической геометрии, [c.109]

По формулам преобразования координат при повороте осей имеем [c.76]

Преобразуем теперь уравнения (10.57) и (10.58), отнеся их к некоторой общей системе координат х, у в п лоскости касания (рис. 10.6). Обозначим угол между осями х и х через ф, угол межДу осью а и осью Xi — через ipi, а угол между осями х и Х2 — через причем г]) = — 1 — I a- Тогда по известным формулам преобразования координат при повороте координатных осей [c.348]

Малые деформации элемента материала. Преобразование деформаций при повороте осей координат. Направления главных деформаций [c.121]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ КООРДИНАТ [c.418]

МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ЭЛЕМЕНТА МАТЕРИАЛА. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ КООРДИНАТ. [c.105]

Второй путь основан на замене исходного гетерогенного материала условной однородной анизотропной средой, упругие характеристики которой находятся расчетно-экспериментальны-ми методами. Различные варианты этого подхода характеризуются порядком введения в расчет экспериментальных констант. В частности, они могут быть введены как упругие характеристики некоторого элемента, из которого затем образуется анизотропная среда. При этом ее упругие постоянные находятся расчетным путем на основании известных геометрических соотношений, определяющих преобразование постоянных при повороте осей координат [5, 66]. Для плоской задачи теории упругости соответствующие результаты получены в работах [11, 20, 30, 85, 99, 105, 120]. [c.5]

Компоненты вектора перемещения Ыг, Ые, связаны с компонентами и (1 = 1, 2, 3) обычными соотношениями преобразования координат при повороте системы вокруг оси ог [c.14]

Преобразование деформаций при повороте осей координат. [c.121]

Общие формулы преобразования координат при параллельном переносе и повороте осей, например для систем и [c.130]

Для выражения центробежных моментов инерции через главные моменты инерции используем формулы преобразования координат точек тела при повороте осей координат вокруг точки О (рис. 36). Эти формулы получим проецированием на оси Охуг радиус-вектора точки М , разложенного предварительно на составляющие, параллельные осям двух систем осей координат в точке О. Имеем [c.278]

Математически существование направлений, для которых характерна одинаковая реакция анизотропного материала на идентичное нагружение, эквивалентно предположению о неизменности коэффициентов жесткости и податливости при повороте осей декартовой системы координат. Имея это в виду, рассмотрим две системы координат, связанные преобразованием [c.18]

Характеристики упругости анизотропных сред являются компонентами материального тензора четвертого ранга в трехмерном пространстве. Их преобразование при повороте осей координат происходит путем суммирования произведений, содержащих множителями по четыре косинуса углов поворота осей. Число компонент материального тензора зависит от симметрии среды (расчетной схемы анизотропии материала), а величина компонент непосредственно характеризует упругие свойства материала. [c.9]

Закон преобразования характеристики какого-либо свойства при повороте осей координат (и ранг соответствующего тензора) может быть выведен исходя из теоретических соображений. Сопоставление геометрического изображения этого закона в виде фигуры (поверхности анизотропии) с экспериментальными данными может служить проверкой правильности исходных допущений, лежащих в основе вывода об их применимости к исследуемому материалу. [c.9]

Эта формула следует из закона преобразования компонент тензора второго ранга при повороте осей координат. Для некоторых ортотропных материалов (стеклопластиков) формула (3.30) подтверждена экспериментальными данными в [17]. [c.237]

Проведя точно такие выкладки для и Juv, получим формулы преобразования моментов инерции при повороте осей координат [c.173]

Второе соотношение между этими величинами мы получим, если обратимся к преобразованиям поворота осей координат на угол в 45°. Например, при повороте осей координат вокруг оси г на 45° будем иметь формулы преобразования в виде [c.509]

Заслуживает внимания то обстоятельство, что подчиняется правилу преобразования декартовых тензоров третьего ранга только в случае таких преобразований, у которых det aij = 1 (например, при повороте осей). Если же преобразование таково, что det ai, = —1 (например, преобразование отражения относительно одной 3 координатных плоскостей, в результате чего правая система координат превращается в левую), то формулу преобразования е.у следует писать со знаком минус. Такие тензоры называются псевдотензорами. [c.31]

Этого результата мы достигли, выполнив требование, чтобы вид соотношений не менялся при повороте осей координат на 90° и 180° однако такого условия недостаточно для обеспечения изотропности тела. т. е. полной однородности его во всех направлениях. Поэтому применим еще одно преобразование координат, связанное с поворотом осей на произвольный угол. [c.85]

В соответствии с общим определением тензоров компоненты тензора инерции /,ь при повороте осей координат относительно начала преобразуются в Jui (г, k=x, у, г ). Причем компоненты Jш определяются через компоненты Jui и представляют квадратичные формы относительно направляющих косинусов. В последнем можно убедиться непосредственным вычислением Jиспользуя формулы преобразования координат при повороте координатной системы. Тензор инерции будет второго занга. [c.173]

Свойства анизотропных сплошных сред, обладающих симметрией в указанном выше смысле, можно количественно охарактеризовать математическими величинами, преобразование которых при повороте осей координат будет происходить по определенным линейным законам. Разным свойствам одной и той же среды могут при этом соответствовать величины, преобразующиеся по различным законам, имеющим общие характерные черты. [c.7]

Угол между неподвижной плоскостью Юх и подвижной плоскостью гОх обозначим нерез <р, причем будем отсчитывать этот угол от неподвижной плоскости в направлении, обратном движению часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси г. Данное тело может получить только вращательное перемещение вокруг неподвижной оси г так как его положение вполне определяется одним параметром — углом (р, то это тело представляет собой неизменяемую систему с одной степенью свободы. Примем угол ф за обобщенную координату этой системы, т. е. положим Qi = ф. Если обозначим координаты точки Mi тела, т. е. точки приложения силы Fi в неподвижной системе осей, через и j/j, а в подвижной системе — через и j/-, то по известным из аналитической геометрии формулам преобразования координат при повороте системы осей на угол ф будем иметь [c.541]

ЭлементьЕ этой матрицы при поворотах осей координат преобразуются вместе с преобразованием проекций векторов. [c.39]

Для вычисления центробежного момента инерции, в качестве системы вспомогательных осей координат возьмем главные центральные оси инерции цилиндра Сх у г (оси его симметрии). Систему осей координат Сх у г можно получить из системы Сху1х2х, путем поворота ее на угол а вокруг оси Сх , совпадающей с осью Сх . Формулы преобразования координат любой точки тела при повороте осей (рис. 266) в случае произвольного тела можно выразить в форме [c.356]

В результате объединения пространства и времени в одну четырехмерную реальность (пространство — время), все четыре измерения которого в прпниипе эквивалентны, получается стройная система записи величин, инвариантных относительно преобразования Лоренца. При поворотах в обычном трехмерном пространстве преобразуются только пространственные координаты например, при повороте на угол 0 вокруг оси 2 координаты преобразуются по следующим формулам [c.366]

В случае изотропного тела формулы (а) не должны изменяться при любых преобразованиях координат. Преобразуя координаты путем поворота осей на 180°, можно установить, что нормальные напряжения не связаны с угловыми деформациями, а касательные напряжения не связаны с линейными деформациями. Кроме того, касательные напряжения не связаны с угловыми деформациями в других плоскостях. После поворотов осей на 90° и на произвольный угол число упругих постоянных сокращается до [c.32]

Найдем, вапрниер, матрицы преобраэоваяия прв повороте осей прямоугольной декартовой системы координат. Пусть Охуг-старая, а Ох у г -яовая система координат. Углы между старыми я новыми осями (д х ) -4 х , х ) заданы. Из аналитической геометрии известны преобразования при повороте осей координат [c.22]

Вместо алгебраического решения характеристического у равнения (1) можно использовать графический способ, известным под названием круга Мора, позволяющий находить компоненты тензора второго ранга в пространстве двух измерений и в произвольной системе ортогональных осей координат (напряжения или деформации в точке, моменты инерции площадей плоских фигур, кривизны нормальных сечений поверхности и пр.). Круг Мора дает графическую интерпретацию линейного преобразования любой симметричной матртЦ) или квадратичной формы второго ранга при повороте осей и, в частности, может служить для решения векового уравнения второй степени. [c.54]

Так как количества. Е ,Еу, Е , Н , Н , подчиняются при повороте осей координат тем же законаи преобразования, что и координаты х, у, z, то очевидно, что если мы в качестве осей координат возьмем главные оси поверхности второго порядка [c.19]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...