Преобразование напряжений при повороте осей координат

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ КООРДИНАТ [c.418]

Преобразование составляющих напряжения при повороте системы координат. Составляющие напряжения. в координатной системе X, Y, Z обозначим через а ., и т. д. возьмем далее координатную систему S, Н, Z, направление осей которой задается таблицей косинусов [c.11]

Соотношения типа (1. ) называются формулами преобразования компонент тензора напряжений при повороте координатных осей. Заметим, что вообще всякая физическая величина, определяемая шестью компонентами, которые удовлетворяют формулам преобразования при повороте осей координат типа (1.2), называется симметричным тензором второго ранга. Примерами таких величин являются деформация тела, инерция твёрдого тела с одной неподвижной точкой и другие ). Как числа и как векторы, тензоры можно складывать, вычитать, умно- [c.19]

Симметрия таких величин, как напряжения в элементе какой угодно соответствует преобразованию ком-тензора при повороте прямоугольной системы координат. Это преобразование сводится для напряжений и деформаций к суммированию произведений, содержащих множителями по два косинуса углов поворота осей координат, поэтому ранг соответствующего тензора — второй. Число компонент тензора напряжений не зависит от симметрии среды, а величина компонент не характеризует свойств среды, так как это полевой тензор. Например, действие гидростатического давления можно описать шаровым тензором напряжений, у которого все компо- [c.8]

При преобразовании компонент тензора напряжений вследствие поворота системы координат возникают два важных вопроса при каком векторе нормали п вектор напряжений о" в точке будет параллелен п и при каком п нормальные компоненты вектора напряжений будут иметь экстремальные значения Оба вопроса связаны с определением собственных значений тензора напряжений. Математически это сводится к преобразованию главных осей, и решение задачи достигается так называемой диагонализацией тензора напряжений. [c.25]

Аналогичным образом можно учесть влияние поворота системы координат на угол а (рис. 8.9 (Ь)). В отличие от п. 8.4.1.4, в котором уже обсуждались соответствующие преобразования компонент напряжений и деформаций, теперь повернутые оси координат будут обозначаться через Х и у. Покажем, как производится пересчет комплексных функций напряжений при таком повороте. Справедливы равенства [c.219]

Таким образом, хотя и введенная в 6 гл. I матрица Г и введенная выше матрица S определяют симметричные тензоры второго ранга, однако эти два тензора заданы нами в двух по существу различных системах координат. Несколько ниже тензор напряжения будет преобразован к декартовой системе координат точек тела до деформации. Тогда его компоненты при повороте координат осей будут преобразовываться по закону, идентичному формулам I (6.4). Можно было бы поступить и наоборот—-определить тензор деформации в декартовой системе координат точек тела после деформации. Однако последнее было бы равносильно отказу от материальных координат и переходу к пространственным координатам, что было признано в начале первой главы нерациональным. [c.64]

Условные обозначения А — площадь в мм Ат. — площадь замкнутой фигуры, ограниченной средней линией в мм Ь — ширина в мм с — жесткость в кгс/мкм й — деформация (перемещение) в мм О — коэффициент демпфирования (безразмерный) Е — модуль упругости в кгс/мм /г(о) — безразмерное отклонение в точке а, относящееся к л-й собственной частоте [г(х) — безразмерное отклонение в точке I, относящееся к г-й собственной частоте С — модуль сдвига в кгс/мм / — момент инерции в мм 1т — геометрическая жесткость сечения при кручении в мм Ь— длина в мм М — момент в кгс мм т — масса в кг с /мм Р — сила в кгс Ра — сила в точке а в кгс Р — поперечная сила в кгс 5 — статический момент инерции в мм 5 — длина (путь) в мм 5 =/(1) — оператор Лапласа х — координата (отрезок) в мм X — скорость в мм/с х — ускорение в мм/с у—координата (отрезок) в мм г — координата (отрезок) в мм б — толщина стенки в мм в — маховый момент инерции в кгс мм с А — коэффициент касательных напряжений К — собственное значение (число) <р — угол между главной осью инерции и нейтральной осью в град Ф — угол поворота при кручении в град или радиан (О — собственная частота в с- [А] — произвольная матрица [Д] — матрица демпфирования [ ] — единичная матрица [ ] — матрица податливости — матрица податливости для системы с несколькими защемлениями (заделками) [/ ея] — матрица податливости для системы с несколькими местами заделки и дополнительными связями [/ и] — матрица для системы со связями [/С] — матрица жесткости [Л1] — матрица общей массы [т]— матрица массы элемента Т] — матрица преобразования [у] — матрица приведения нагрузок (I — вектор перемещения — вектор внутренних сил О — нуль-вектор р — вектор нагрузки [c.57]

При ограниченных значениях угла 11 эти напряжения могут быть использованы для управления двигателями, установленными на осях подвеса Охх, Оуг и Ог ). При значительных углах прокачки второго карданного кольца преобразование координат должно быть сделано с учетом второго поворота координатных осей на угол 11) вокруг оси Охг. Для этой цели используется второй синусно-косинусный вращающийся трансформатор — [c.103]

Воспользуемся законом преобразования компонеш тензора напряжений при повороте координат (1.3.12) и преобразуем эти компонопы при переходе от главных ОС СТ1, стз тензора напряжений к произвольным осям El, Ез с помощью матрицы направляющих косинусов (рис. 57) [c.200]

Вместо алгебраического решения характеристического у равнения (1) можно использовать графический способ, известным под названием круга Мора, позволяющий находить компоненты тензора второго ранга в пространстве двух измерений и в произвольной системе ортогональных осей координат (напряжения или деформации в точке, моменты инерции площадей плоских фигур, кривизны нормальных сечений поверхности и пр.). Круг Мора дает графическую интерпретацию линейного преобразования любой симметричной матртЦ) или квадратичной формы второго ранга при повороте осей и, в частности, может служить для решения векового уравнения второй степени. [c.54]

Преобразование характери стик монослоя при повороте системы координат. При переходе от естествен ных для однонаправленного материалк (связанных с его микроструктурой) осей координат (/, 2, 3, см. рнс, 8,1) к некоторой системе координат (.г. у, г), полученной вращением осе " (/, 2) вокруг оси 3 на угол 0 (рис. 8. ), матрицы напряжений и де ч ма1г, преобразуются следую лпм зом 1] [c.233]

В случае изотропного тела формулы (а) не должны изменяться при любых преобразованиях координат. Преобразуя координаты путем поворота осей на 180°, можно установить, что нормальные напряжения не связаны с угловыми деформациями, а касательные напряжения не связаны с линейными деформациями. Кроме того, касательные напряжения не связаны с угловыми деформациями в других плоскостях. После поворотов осей на 90° и на произвольный угол число упругих постоянных сокращается до [c.32]

Для нахождения сдвиговых коэффициентов aik, g k, Щк, pik, q k, rriik вводится новая система координат х , х, поворотом осей x , Xk на положительный угол ф вокруг оси Xj до совпадения оси х с направлением V, вдоль которого действует напряжение а , и получены константы Fik, Bik, Dik, kuk, h k, tiik. Выразим компоненты тензора напряжений, отнесенные к старой системе координат, через напряжение, совпадающее по направлению с осью л . Если ф = 45°, то согласно правилу преобразования компонентов тензора при переходе от одной системы координат к другой = Okilnlik (здесь действует правило суммирования), где — компоненты тензора напряжений в новой системе координат, 1ц, Ijk — направляющие косинусы, ац — Okk = = = /1 — Оц == а Ik = О я Sv) S// —-- Sv, Sik = [c.120]

Выведенные в разд. 2.5 формулы преобразования напряжений были первоначально получены для плоского напряженного состояния затем (разд. 2.7) стало ясно, что их можно использовать для элемента, находящегося в трехосном напряженном состоянии, при условии, что элемент был поьернут относительно одной из осей координат. Данная процедура, относящаяся к деформациям, будет следовать той же схеме. Формулы преобразо-вания деформаций будут выведены для случая плоского деформированного состояния, но останутся в силе для трехосного деформированного состояния при условии, что поворот в новое положение будет происходить относительно одной из осей координат. [c.88]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...