ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дополнительные условия. Метод неопределенных множителей Лагранжа из "Вариационные принципы механики " Естественно сначала исключить одну из переменных — например, и — при помощи дополнительного условия, выразив ее через остальные и . Тогда мы получим функцию гг — 1 переменных Wi, Un-i, которую можно уже исследовать методами свободной вариационной задачи. Этот способ вполне оправдывает себя, а иногда оказывается и наиболее простым. Однако очень часто исключение переменных является чрезвычайно обременительной задачей. Кроме того, условие (2.5.2) может быть симметричным относительно переменных и ,. .., тогда, вообще говоря, нет никаких оснований искусственно выделять одну из переменных в качестве зависимой, выражая ее через остальные как через независимые переменные. [c.66] Лагранж предложил прекрасный метод рещения задач с дополнительными условиями, так называемый метод неопределенных множителей , который, не прибегая к исключению некоторых переменных, сохраняет их симметрию и тем не менее сводит задачу к задаче о свободной вариации. Этот метод очень общий. Он применим при любом количестве дополнительных условий и даже в случае не-голономных условий, заданных в виде неинтегрируемых соотношений между дифференциалами переменных. [c.66] Эта операция не тривиальна, так как хотя мы и прибавили нуль, но мы в действительности прибавили сумму, нулю равна вся сумма, но не отдельные ее члены. [c.67] И опустить дополнительное условие, оперируя со всеми и как со свободными, независимыми переменными. [c.68] Из-за этих условий т вариаций могут рассматриваться как зависимые и быть выражены через остальные вариации. Мы будем считать зависимыми последние т из вариаций а первые п — т — соответственно независимыми. [c.68] Эти уравнения представляют собой не что иное, как заданные ранее дополнительные условия. Теперь мы их получили а posteriori из решения вариационной задачи. [c.70] Метод Лагранжа позволяет использовать дополнительные координаты, что очень часто по многим соображениям механики оказывается удобным. Он сохраняет полную симметрию всех координат, так как делает ненужным деление переменных на зависимые и независимые. [c.70] Резюме. Метод неопределенных множителей Лагранжа сводит вариационную задачу с дополнительными условиями к свободной вариационной задаче. Функция F, для которой ищется стационарное значение, преобразуется путем прибавления левых частей дополнительных условий, каждая из которых умножается предварительно на некоторый неопределенный множитель К. Вариационная задача для преобразованной функции решается как свободная. Получающиеся условия стационарности вместе с имеющимися дополнительными условиями определяют искомые значения переменных и множители X. [c.70] Вернуться к основной статье