Некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях

Некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях. Рассмотрим дифференциальные уравнения движения в канонической форме [c.378]

Исследование областей, в которых реализуются те или иные решения, удобнее всего производить в плоскости а, в. Ta oe исследование связано с трансцендентными системами уравнений, например, с системой (4.23)-(4.25) или (3.57), (3.58), (3.44), (3.45) и с решениями краевых задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений, например, (1.20), (2.40)-(2,43). Анализ областей существования различных решений в общем виде здесь не представляется возможным. Некоторые необходимые результаты могут быть получены при помощи вычислений. Ряд заключений может быть получен на основании уже имеющихся сведений о решениях вариационных задач. [c.124]

Если локальному подходу соответствовал аппарат дифференциальных уравнений, то глобальному подходу соответствует аппарат вариационного исчисления. В связи с тем, что основы вариационного исчисления обычно незнакомы студентам к моменту, когда изучается классическая механика, автор вынужден предпослать изложению вопросов, связанных с глобальным подходом, некоторые сведения о вариационном исчислении, ограничиваясь лишь самыми необходимыми фактами мы рассмотрим к тому же не общий, а лишь частный, недостаточный для наших целей случай, когда сравниваются кривые, принадлежащие одному и тому же однопараметрическому семейству (пучку). [c.272]

Первые интегралы системы дифференциальных уравнений удобно получать из так называемых общих теорем динамики, когда выполняются некоторые дополнительные условия для действующих сил. Кроме того, общие теоремы динамики, даже когда по ним нельзя определить первые интегралы, дают ценную информацию о движении точки или системы. В некоторых задачах, где не требуется полного знания движения системы, эти сведения могут оказаться достаточными. [c.256]

Некоторые сведения из теории краевых задач и задач на собственные значения для дифференциальных уравнений. При обосновании условий устойчивости ниже используются различные общие факты из теории краевых задач для линейных дифференциальных уравнений. Приведем здесь некоторые из них (см., например, [248, 275, 456]), необходимые для дальнейшего. Пусть дано линейное дифференциальное выражение (у) порядка А 0, имеющее вид [c.235]

Общая схема сведения. Поскольку непосредственный анализ устойчивости по уравнениям в частных производных затруднителен, то в прикладных расчетах их обычно сводят к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого функции U (х, t) разлагают по некоторому базису с коэффициентами — функциями времени. [c.248]

Статистическая гидромеханика широко использует результаты и методы классической гидромеханики и теории вероятностей. Поэтому знание указанных двух дисциплин сильно облегчит знакомство с настоящей книгой. Тем не менее мы надеемся, что наша книга будет доступной и для лиц, имеющих лишь общую математическую и физическую подготовку. Имея з виду таких читателей, мы включили в первые два раздела основные сведения из классической гидромеханики (начиная с уравнений неразрывности и движения) и из теории вероятностей (начиная с самого понятия вероятности). Уже в этих главах, как и во всех дальнейших, мы старались уделять основное внимание принципиальным вопросам, не задерживаясь на технических деталях. С этим стремлением связано то, что мы нигде не излагаем методов решения встретившихся дифференциальных уравнений или других стандартных математических задач, а сразу приводим ответ (который иногда совсем нелегко найти). В то же время мы сравнительно подробно останавливаемся на некоторых недостаточно широко известных, но важных математических вопросах, традиционно опускаемых во всех книгах и статьях, предназначенных для механиков или физиков (типа, например, вопроса об эргодических теоремах или спектральных разложениях случайных полей) этим объясняется то, что целых два раздела книги посвящены математической теории случайных полей. [c.25]

Систему уравнений (24.3) в общем случае можно решить численно методом разностных уравнений, определенных на сетке характеристик, используя при этом соотношения на характеристиках (24.5) и равенство (24.6), или же путем сведения уравнений (24.3) к интегро-дифференциальным уравнениям и решению их методом последовательных приближений. Вычисления в этом случае значительно более сложны, чем в случае однородной среды. Можно определить некоторый класс неоднородных сред, для которых в областях упругих деформаций решения получаются в замкнутом виде. [c.217]

Материал этой главы расположен по следующему плану. Разд. 2,1 посвящен свойствам решений однородных дифференциальных уравнений различного типа. По характеру зависимости коэффициентов этих уравнений от времени они подразделяются на уравнения с постоянными, периодическими, квазипериодическими коэффициентами, а также на уравнения более общего типа. В разд. 2.2 мы покажем, как применить понятие инвариантности относительно групповых операций к уравнениям двух первых типов. В разд. 2.3 мы познакомимся с неоднородными дифференциальными уравнениями. Некоторые общие теоремы из алгебры и теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (связанные системы) приведены в разд. 2.4. В разд. 2.5 вводятся пространства дуальных решений. Общий вид решений для случая постоянных и периодических матриц коэффициентов рассмотрен соответственно в разд. 2.6—2.8. В разд. 2.8 и в начале разд. 2.7 мы затрагиваем некоторые аспекты теории групп, а из разд. 2.8 читатель сможет почерпнуть начальные сведения по теории представлений. В разд. 2.9 мы излагаем теорию возмущений, позволяющую получить явные решения для случая матриц периодических коэффициентов. [c.91]

Общие сведения. Особенностью НЛП является зависимость ее погонных параметров от пространственной координаты z элементы матриц НЛП, рассматриваемой как некоторый 4-полюсник, также будут функциями г. В связи с этим важно установить дифференциальные уравнения и граничные условия, которым удовлетворяют элементы матриц НЛП. [c.89]

Общим интегралом этих уравнений как раз и являются уравнешш (1), где а, 6, с суть произвольные постоянные. Таким образом, метод Лагранжа дает больше сведений о кинематике потока, нежели метод Эйлера если исходить из метода Эйлера, то траектории частиц можно получить лишь после интегрирования системы дифференциальных уравнений, тогда как в методе Лагранжа траектории непосредственно даны. Но метод Лагранжа зато гораздо сложнее. В дальнейшем мы будем встречаться чаще с кинематическим описанием потока по методу Эйлера однако в некоторых вопросах, именно при изучении деформаций жидкой частицы, отдельных видов се движения, мы, по сути дела, будем применять метод Лагранжа. [c.116]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...