Начальные данные

Подставляя сюда начальные данные, найдем, что j=0. Тогда, заменяя в полученном результате на dx/dt, представим его в виде [c.192]

Подстановка начальных данных дает 0 =0, и окончательно получаем закон движения груза в виде [c.193]

Подставляя сюда начальные данные (при t=0 х=а), находим, что Са=0, Окончательно закон движения тела в канале будет иметь вид [c.194]

По начальным данным при, t=0 скорость v=0, следовательно, С =1па, [c.196]

Подстановка начальных данных дает i= 2=0. Таким образом, уравнения, приближенно определяющие закон относительного движения точки, будут [c.231]

TO, подставляя начальные данные, получим С = —Х<.т., i=0. Следовательно, колебания происходят с амплитудой Х< т по закону [c.236]

При решении, например, задачи Коши с заданными и, Ь, ы, т, i ъ некотором трехмерном объеме х, у, г в момент времени t = tQ все перечисленные 13 величин определяются. Возникает задача для 13 линейных интегральных уравнений с линейными начальными данными. [c.28]

Систему уравнений (2.40)-(2.43) следует интегрировать с начальными данными а(ук) = Oft, tf(yft) = oft, A2(yft), ф(ун) = Фн- Интегрирование производится от у = Ук до такого у = у, при котором ф Уt) = фа- Формулы (2.9) и (2.6) позволяют вычислить X к х при уь = у. [c.81]

Выберем в поле этого течения некоторую точку Л. Величины а и в этой точке следует обозначить через о и о Выберем также некоторую величину Аз. Определяются 4, i 4, Азл, A4, удовлетворяющие уравнениям (4.23)-(4.25). Необходимо убедиться в том, что полученное решение представляет разрыв класса Р . Далее производится интегрирование системы уравнений (2.35)-(2.37), (2.30), (2.11) с начальными данными а(уь) = 4, ЦУк) = < 4, Ыун) = Aih, V(y i) = 0h- Интегрирование продолжается до такого у = у,, при котором гр у,) = фа Величины X и ( вычисляются по формулам (2.8), (2.9) при Уь = У Решение задачи найдено, если координаты х/,, j/a и величина A3 выбраны так, что Ха + X = Ха, у, = Уа. где ха,уа — заданные величины, а ( равно заданному значению. На этом этапе может быть проверено выполнение необходимых условий минимума х- [c.123]

Далее необходимо интегрировать систему уравнений (5.6) при начальных данных [c.136]

Будем, далее, интегрировать уравнения (6.17), (6.42)-(6.46), определяющие функции (т ф), а ф), Цф), <р ф), у ф), а Ф)- Начальными данными являются равенства (6.50). Интегрирование следует производить ро ф = ф, < фс такого, что при ст = ст ф,) величина а за ударной волной, определяемая равенством < [c.162]

Решение задачи Коши для уравнений (1.20) с начальными данными на линии, ас (рис. 3.44) позволяет найти течение в области о/с и, в частности, характеристику первого семейства /с. Решением задачи Гурса для тех же уравнений при известных характеристиках /с и 6с определяется течение в области 6с/. [c.163]

Подставляя начальные данные в найденные для х, у, хну выражения [c.258]

МОЖНО было определить движение, должны быть заданы еще и начальные данные. Если в двух различных инерциальных системах взять численно одинаковые начальные данные, то в связи с тем, что законы движения имеют в них одинаковый вид, движения в этих системах будут описываться одинаковыми функциями времени. [c.46]

В тех случаях, когда речь идет о численном решении задачи, она, разумеется, может быть приближенно доведена до конца, например обычными методами приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Если же, однако, речь идет о нахождении общего решения, т. е. об умении записать решение дифференциальных уравнений (28) в замкнутой форме, то задачу такого рода можно решить лишь для отдельных частных случаев функциональных зависимостей, выражающих силы. Теория дифференциальных уравнений гарантирует лишь то, что это решение существует и является единственным (при нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на функции, выражающие силы) и что движение полностью определяется заданными начальными данными (29). [c.63]

Итак, используя только тот факт, что кинетический момент не меняется во времени, мы установили второе важное свойство любого центрального движения. Начальными данными, т. е. начальным положением точки и начальной ее скоростью, полностью определяются направление и величина постоянного вектора кинетического момента и тем самым однозначно определяются не только плоскость движения, но и секториальная скорость, с которой это движение происходит. [c.85]

Выражение г (t), полученное в результате этого интегрирования, будет содержать три произвольные постоянные. Этими тремя константами, зависящими от начальных данных, являются Ко, Eq и постоянная интегрирования С. Обращаясь теперь к формуле (35) и подставляя в нее выражение г (t), можно с помощью одной квадратуры найти полярный угол ф как функцию времени. При этом интегрировании будет введена еще одна постоянная. [c.85]

Все четыре произвольные постоянные ), которые войдут в выражения для г (О и ф(0> можно выразить через начальные данные — координаты и скорость точки в момент t = Q. Найдя таким образом г и ср как функции времени, можно исключить время и определить г как функцию ф, т. е. определить траекторию в полярных координатах. [c.86]

Действительно, если силы, стоящие в правых частях уравнений (2), не зависят от ускорений точек, то система, представленная в форме (2), разрешена относительно старших производных. Для систем такого рода (систем типа Коши) в теории дифференциальных уравнений установлены теоремы существования и единственности решения при заданных начальных данных. Эти теоремы утверждают, что при некоторых нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на правые части дифференциальных уравнений, существует решение этих уравнений, причем задание начальных данных — координат qj и скоростей qj, число которых соответствует порядку системы, — полностью определяет это решение, т. е. в нашем случае — последующее движение. [c.136]

О существовании и единственности решений по начальным данным Если на этот вопрос будет получен положительный ответ, то это будет означать, что уравнения Лагранжа удовлетворяют тем естественным требованиям детерминированности движения, [c.137]

Обращаясь к уравнениям (45), мы устанавливаем также, что каждое из этих уравнений является уравнением второго порядка, число же их равно п. Следовательно, общий порядок системы уравнений Лагранжа (22) (легко видеть, что все это верно и для уравнений, представленных в форме (29)) равен 2п. Поэтому для того, чтобы определить движение, нужно задать 2п начальных данных. Этими начальными данными являются значения п координат qi, q и п скоростей (ji,. .., q в начальный момент t = t . [c.141]

Если мы хотим, чтобы при этом движение по-прежнему определялось из уравнений Лагранжа однозначно (по начальным данным), то мы не можем произвольным образом, без всяких ограничений, постулировать лагранжиан L как функцию q, q w t. Действительно, основная теорема лагранжева формализма была доказана в предположении, что кинетическая энергия, а значит и лагранжиан, имеет вполне определенную структуру. Если лагранжиан задается каким-либо иным образом и имеет другую структуру, основная теорема лагранжева формализма, вообще говоря, не выполняется. Следовательно, вообще говоря, уравнения Лагранжа, полученные при этой иной функции Лагранжа, могут оказаться неразрешимыми относительно старших производных, и для них уже не будет верна теорема о существовании и единственности решения при заданных начальных данных. Для того чтобы сохранить это важное свойство уравнений Лагранжа, надо ограничить выбор лагранжиана L при его аксиоматическом задании. Легко видеть, что это ограничение должно быть представлено в форме [c.165]

После подстановки в явной форме выражения для/(г , Т о, АГо) в левой части формулы (69) получается эллиптический интеграл, и таким образом, задача сводится к одной простой квадратуре — эллиптическому интегралу. Интегралы такого рода хорошо изучены, и для них составлены специальные таблицы. Вычислив этот интеграл, т. е. найдя t как функцию от л и трех произвольных постоянных S, Ко и То, определяемых начальными данными, а затем разрешив полученное соотношение относительно г, нужно вернуться к уравнениям (66) и подставить в их правые части найденное выражение г. Тогда р vi q тоже будут найдены как функции t и указанных трех произвольных постоянных. Уравнения (60) полностью проинтегрированы, причем были использованы два готовых первых интеграла, даваемых законами сохранения, и лишь один раз пришлось вычислить интеграл. [c.198]

Указанный прием позволяет найти введенные выше вспомогательные переменные —проекции р, q и г как функции времени и начальных данных, но для того чтобы представить себе картину движения твердого тела по инерции, надо было бы проинтегрировать теперь систему уравнений (53). Значительно удобнее увидеть , каким образом фактически происходит движение твердого тела по инерции, воспользовавшись изящным геометрическим приемом, указанным Пуансо. [c.198]

Порядок системы уравнений Лагранжа равен 2п, и чтобы задать движение, надо задать 2п начальных данных, т. е. надо [c.207]

В фазовом пространстве выбор точки задает полную систему начальных данных. Поэтому выбор точки фазового пространства (за исключением особых точек—о них речь будет идти далее) полностью определяет движение. Траектории, соответствующие движениям в фазовом пространстве, нигде (кроме особых точек) не пересекаются. [c.208]

Начальным данным (35) соответствует некоторое движение изучаемой системы. Но система консервативна, и поэтому во время движения ее энергия не меняется [c.227]

С другой стороны, выпуская движение из точки a = (q, q ) в силу условия теоремы получаем, что обязательно существует такой конечный момент времени (, для которого d (/)/Л < О (здесь ( ) — значение энергии в движении Р ). Поэтому Е (t) а Е . Следовательно, значения энергии в движениях Р и в движении Р в момент времени t отличаются на конечную величину Е — Е ), несмотря на то, что начальные точки (<7 qs) и q, q ) этих движений сколь угодно близки, а это противоречит теореме о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных данных. Уравнения же Лагранжа всегда алгебраически разрешимы относительно старших производных, и предполагается, что для них теорема эта верна. Мы пришли к противоречию, показывающему, что предположение >0 ошибочно. Теорема доказана. [c.232]

В правых частях уравнений (20) стоят функции только гамильтоновых переменных. Поэтому система уравнений (20) замкнута относительно этих переменных и представляет собой систему 2п дифференциальных уравнений первого порядка, которые полностью определяют изменение во времени координат q и обобщенных импульсов р, если заданы начальные условия, т. е. значения координат и импульсов в момент = 0. Если заданы начальные значения лагранжевых переменных, то, используя формулы (9), можно подсчитать начальные значения обобщенных импульсов, получить таким образом начальные данные для уравнений (20), и, проинтегрировав эту систему уравнений, полностью определить движение в гамильтоновых переменных. Зная, как изменяются во времени координаты и обобщенные импульсы, можно затем, если это необходимо, по формулам (12) подсчитать, как изменяются во времени скорости q. [c.263]

Подстановка начальных данных flaeT i= j= e=0, и окончательно находим уравнения движения точки М в виде [c.199]

Условимся далее в этой книге системы, для которых L подсчитывается как Т — V, называть натуральными системами, а системы, для которых L вводится аксиоматически как-либо пваче, — ненатуральными системами. В гл. VII, посвященной исследованию движения в потенциальных полях, все изложение будет построено так, чтобы оно было верно как для натуральных, так и для ненатуральных систем, но, разумеется, мы будем при этом опираться на предположение о том, что удовлетворяется требование (78) и поэтому начальные данные полностью определяют движение. [c.166]

Найдено и описапо много иных интегрируемых случаев, но в них накладываются ограничения и на выбор начальных данных. [c.195]

Таким образом, начальные условия задают направление вектора Ко и плоскость, которая пересекает вектор Ко и касается эллипсоида инерции. При движении тела эллипсоид инерции также движется вместе с телом, однако он всегда касается указанной плоскости, положение которой в пространстве не меняется. В силу того, что точка Р расположена на направлении вектора ш, т. е. на направлении мгновенной оси, скорость этой точки тела в любое мгновение равна нулю. Отсюда следует, что движение по инерции тела с неподвижной точкой всегда происходит так, что эллипсоид инерции, построенный для неподвижной точки, вертится и катится без скольжения по неподвил<ной плоскости, положение которой в пространстве полностью определяется начальными данными. [c.199]

Из неравенства (36) сразу следует, что фазовая траектория, начинающаяся внутри б-окрестности, не достигает границ е-окре-стности, так как на границе е-окрестности Е Е. Поэтому для любой е-окрестности можно указать такую б-окрестность, что если начальные данные удовлетворяют неравенствам (35), то при всех удовле- [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...