Плоскость комплексных корней характеристического уравнения

Плоскость комплексных корней характеристического уравнения 433, 435 [c.477]

Изменение типа состояния равновесия при непрерывном изменении параметров происходит при изменении чисел корней характеристического уравнения, находящихся справа и слева от мнимой оси комплексной плоскости X, т. е. при обращении действительной части одного из его корней в нуль. Поэтому любая точка границы области [c.251]

Корни характеристического уравнения (9.78) для исследо-вания устойчивости движения удобно изображать в виде точек на комплексной плоскости. Тогда условие устойчивости при линейных уравнениях движения формулируется как условие расположения всех корней характеристического уравнения слС ва от мнимой оси комплексной плоскости. Если хотя бы один вещественный корень или одна пара сопряженных комплексных корней находится справа от мнимой оси, то механизм неустойчив. Мнимая ось является границей устойчивости. [c.182]

Итак, задача о континуальной системе сведена к задаче о системе с k степенями свободы. Устойчивость невозмущенного равновесия системы без диссипации соответствует расположению всех корней характеристического уравнения на мнимой оси комплексной плоскости, а при учете диссипации — расположению всех корней в левой полуплоскости (см. раздел 6). [c.452]

Обычно анализ устойчивости в той или иной форме выполняется путем изучения положения вектора, характеризующего полол е-ние корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного. Алгебраические критерии устойчивости обеспечивают этот анализ косвенно в форме анализа знака определителя, образуемого из коэффициентов соответствующего дифференциального уравнения. Частотные критерии связаны с построением годографа вектора Михайлова А (/ш), получаемого путем подстановки = /<в в характеристическое уравнение. [c.86]

Корни характеристического уравнения будут иметь отрицательную вещественную часть, если кривая, описываемая концом вектора Михайлова в плоскости комплексного переменного, при изменении св от О до оо проходит, последовательно против часовой стрелки, начиная с положительной ветви вещественной оси, п квадрантов, где п — степень характеристического уравнения. [c.755]

В случае выполнения этого условия все корни характеристического уравнения системы регулирования оказываются внутри контура АОВ (рис. 13-88, а) плоскости корней, за исключением, возможно, пары комплексных корней, попадающих на границу контура. Условию попадания хотя бы одной пары комплексных корней на границу контура соответствует удовлетворение равенства [c.861]

Рассматривая действительные корни характеристического уравнения (626) в качестве частного случая комплексных сопряженных корней, можно все корни уравнения расположить на комплексной плоскости (фиг. 278), в которой осью ординат является мнимая ось, а осью абсцисс — действительная. Каждому корню в этом случае соответствует на выбранной координатной плоскости вполне определенная точка, а сам корень может быть изображен в виде вектора, длина которого является модулем комплексного числа, а угол наклона (отсчитанный от положительного направления действительной оси) аргументом (или фазой). [c.487]

Перемещение точки А в пространстве неминуемо связано с изменением коэффициентов характеристического уравнения и, следовательно, с перемещением корней на плоскости корней. Как только в процессе движения один из корней характеристического уравнения пересечет мнимую ось (фиг. 278) и попадет в правую полуплоскость, точка А из области сходящихся процессов (на фиг. 286 эта область заштрихована) перейдет в область расходящихся процессов в точку Ai и, следовательно, пересечет некоторую граничную поверхность, разделяющую области сходящихся и расходящихся процессов в рассматриваемом пространстве. Очевидно, что точка А будет находиться на границе между указанными областями в момент, когда один или несколько корней характеристического уравнения попадут на мнимую ось. Этот момент соответствует появлению у характеристического уравнения чисто мнимых корней ф. Далее мнимая часть комплексных сопряженных корней характеристического уравнения будет обозначаться символом i o. [c.516]

Или иными словами для того, чтобы система автоматического регулирования была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения, соответствующего ей, находились в левой части комплексной плоскости. [c.212]

Вычисление корней характеристического уравнения зачастую представляет сложность. Поэтому важное значение приобретают правила, которые дают возможность, минуя вычисление корней, определить устойчивость системы. Эти правила, называемые критериями устойчивости, позволяют не только установить, устойчива система или нет, но и выяснить влияние тех или иных параметров или структурных изменений в системе на её устойчивость. Известны различные формы критериев устойчивости (Михайлова, Найквиста и др.), но математически все они эквивалентны, так как выражают один и тот же факт в случае устойчивости системы все корни характеристического уравнения лежат в левой части комплексной плоскости. [c.213]

Анализ расположения корней характеристического уравнения (7.2.5) на комплексной плоскости составляет чисто алгебраическую задачу. Для развертывания характеристического определителя существует ряд оригинальных методов. К их числу следует отнести метод Крылова, метод Данилевского, метод Фаддеева и др. [52, 54]. С использованием этих методов средства вычислительной техники позволяют непосредственно находить коэффициенты характеристических полиномов сколь угодно высокой степени с наперед заданной точностью. Остаются весьма полезными критерии, которые могли бы давать ответ о размещении корней на комплексной плоскости, не прибегая к решению полной задачи о собственных значениях. К таким критериям относят критерий асимптотической устойчивости Рауса-Гурвица и родственные алгебраические критерии. [c.464]

S. Отсюда следует, что комплексные решения характеристического уравнения с нулевым демпфированием — это четыре пары корней, симметричных относительно действительной и мнимой осей. В каждом квадранте плоскости s находится по два корня. Поскольку эти четыре корня находятся в правой полуплоскости (Re(s) >0), данное решение соответствует неустойчивой системе. Такая система вообще не может быть устойчивой. Условие симметрии корней относительно мнимой оси может быть выполнено и в том случае, когда все корни находятся на мнимой оси, что соответствует нейтральной устойчивости. В отсутствие демпфирования движения винта или опоры, которое рассеивает энергию системы, лучшее, что может быть достигнуто,— это нейтральная устойчивость системы. [c.618]

Корни характеристического уравнения будут иметь отрицательную вещественную часть, если кривая, описываемая концом вектора Михайлова в плоскости комплексного переменного, при изменении ю от О до [c.755]

На остальной части первых квадрантов плоскостей X, V в. К. Я один из корней характеристического уравнения — вещественный отрицательный, а два других—комплексные с отрицательной вещественной частью [c.85]

Второй член в выражении (11) получается в результате интегрирования по двум берегам разреза комплексной плоскости вдоль отрицательной действительной полуоси, и его вычисление может быть легко произведено. Для вычисления третьего члена в соотношении (11) необходимо исследовать корни характеристического уравнения (10). [c.285]

Из формул (38)-(80) следует, что поведение корней характеристических уравнений в зависимости от параметров (г = , сг) аналогично поведению векторных диаграмм для соответствующих моделей для моделей (4а, б) и (7) кривые векторных диаграмм и корней характеристических уравнений остаются ограниченными при Р = а и уходят в бесконечность при Р > а, а для моделей (8) и (7а, б) при любых О < Р, а < I подобные кривые либо только неограниченны (модель (8)), либо только ограничены (модели (7а, б)). При Р < а корни характеристических уравнений для моделей (4а, б) и (7) попадают в правую полуплоскость комплексной плоскости р при некоторых значениях параметров (г = е, а). [c.708]

В композитных материалах на полимерной основе дисперсия волн обусловлена не только геометрической структурой, но и диссипативными свойствами связующего. Взаимодействие этих двух механизмов, приводящих к затуханию динамических возмущений, исследовалось для вязкоупругих продольных волн, распространяющихся перпендикулярно плоскостям раздела слоев. Приведенное выше аналитическое решение остается справедливым и для вязкоупругой среды, но теперь ij q являются комплексными величинами, зависящими от частоты колебаний ij q = [j q u ) + i lj q, < 0. Изучение объемных волн в вязкоупругом случае сводится к анализу корней характеристического уравнения eos sh = 6g, в котором коэффициент 6д, в отличие от упругого случая, является комплексной величиной. Один из корней этого уравнения pi = + Р2 всегда по абсолютной величине меньше единицы, а второй корень Р2 = 1/pi больше единицы. Первый корень описывает физически разумное решение при распространении волн в положительном направлении оси z п +оо) а, второй — в отрицательном направлении оси z п —оо). Если положить pi = ехр г/г (s + s"), то hs и hs находятся по соотношениям hs" = — 1п pi , eos hs = pi exp/га", sin hs = = р ехр/гз", однозначно определяющим hs при изменении частоты от нуля до [c.822]

Пусть А — линейное симплектическое отображение плоскости (р, д). Отображение А сохраняет площадь dp Л dq, следовательно, det Л = 1. Поэтому произведение собственных значений Ai, Л2 отображения А равно 1. Но Al и Л2 — два корня характеристического уравнения det(A—AF) = О с действительными коэффициентами. Следовательно, Al и А2 либо оба действительные, либо комплексно сопряженные Al = А2. В первом случае один из корней по абсолютной величине больше 1, а другой меньше 1 [c.213]

Мы не будем исследовать характер движений во времени в зависимости от характера корней характеристического уравнения и не будем приводить решений к действительному виду в случае комплексных X и X ), а перейдем сразу к анализу характера возможных траекторий на фазовой плоскости. [c.293]

Штриховкой показана та часть область, которая при движении вдоль кривой остается справа, когда в комплексной плоскости параметра р двигаемся вдоль мнимой оси от —i o до i o. При этом полуплоскость Imp > О также остается справа. Таким образом, на плоскости А при переходе из незаштрихованной области в заштрихованную порядок неустойчивости увеличивается на единицу. Осталось определить число корней характеристического уравнения с положительной действительной частью в какой-нибудь одной точке плоскости А. Папример при А = 1 найденные численно корни равны pi = —0.513376,р2,з = —0.65878 1.12403, Р4,5 = 0.415468 0.987388. Таким образом в этой точке имеется два корня с положительной действительной частью, следовательно порядок неустойчивости в незаштрихованной области равен = 2 а в заштрихованной D = 3. [c.64]

Таким образом, устойчивость заданных равновесных состояний или заданных движений систем проверяется по корням характеристического уравнения. Расположение корней на комплексной плоскости относительно мнимой оси может быть установлено по критериям устойчивости без решения характеристического уравнения. Критерии устойчивости разделяются на алгебраические и частотные. Алгебраические критерии приводятся ниже без доказательства. [c.88]

Рис. 5.1. Расположение корней характеристического уравнения устойчивой линейной системы на комплексной плоскости

Если все корни характеристического уравнения (5.11) располагаются на комплексной плоскости слева от мнимой оси, то = О и [c.92]

Характеристическое кубическое уравнение может иметь либо три вещественных корня, либо один вещественный и два комплексных. В зависимости от расположения этих корней на плоскости комплексного переменного г получаются различные случаи. Корни характеристического уравнения связаны соотношением Я1+Яг+Яз= = ТцН-Т22 + Тзз=—Тзз. Из анализа возможностей получаем такие соотношения (исследование поведения фазовых кривых в каждом конкретном случае не представляет особого труда). [c.170]

Действительно, рассмотрим для наглядности случай п = 2. Характеристическое уравнение (14) будет уравнением четвертого порядка. Пусть pj (j = 1, 2, 3, 4) — его корни при = 0. Будем изображать их на комплексной плоскости р (рис. 177, а). Пусть при малых е один из корней, например pi, сошел с окружности и стал по модулю больше единицы. Из-за вещественности коэффициентов уравнения (14) комплексно сопряженный корень р с необходимостью сместился бы в точку, симметричную относительно вещественной оси. А так как число всех корней равно четырем и смещения корней р2, р2 при малых е малы, то у сместившегося корня pi не оказалось бы обратного по величине, что противоречит теореме Ляпунова-Пуанкаре. [c.552]

Если корни Л характеристического уравнения (18.148) размещать на комплексной плоскости (рис. 18.86), то левая полуплоскость Ке X < О будет областью устойчивости, а правая Йе >. > О — областью неустойчивости. Точки мнимой оси соответствуют случаям, сомнительным по Ляпунову, и требуют дополнительных рассмотрений. Динамический анализ сводится к выяснению зависимости положения корней Xs на Л-плоскости от уровня нагружения. Дальше речь будет идти о таких случаях нагружения системы, когда из двух параметров риг отличен от нуля только один. [c.433]

Анализ показывает, что для большинства машинных агрегатов (при реально мыслимых параметрах) у > О, и области существования корней располагаются в правой полуплоскости (рис, 29). Для рассматриваемого характеристического уравнения четвертого порядка можно в плоскости параметров а, р выделить четыре области / — корни pj (/=1, 2, 3, 4) комплексные (попарно сопряженные) [c.68]

Ко второй группе отнесены все случаи, когда имеется нейтральное геометрическое место точек нейтральная точка, линия или плоскость. Здесь корни вещественны, разного знака (рис. 8—14). К третьей группе отнесем случаи спиралевидных линяй тока и их вырождения — замкнутых линий (на плоскости фокус и центр). Они характеризуются наличием комплексных корней у характеристического уравнения (рис. 15—18). [c.28]

Этот метод применим для исследования устойчивости следящего гидропривода. И. А. Вышнеградским предложена диаграмма в безразмерных параметрах U и Z (рис. 2.30). Эта диаграмма делит плоскость параметров исследуемой системы на три основные области. В области I для значений U н Z, определяющих точки этой области, линеаризованная система неустойчива. В области // характеристическое уравнение системы имеет один отрицательный вещественный корень и два комплексных сопряженных корня с отрицательной вещественной частью и, следовательно, система устойчива. В области III характеристическое уравнение имеет три отрицательных вещественных корня и устойчивость с такими параметрами апериодическая. На рис. 2.30 пунктиром проведена дополнительная ветвь, ограничивающая область IV. Системы, параметры которых находятся в области IV, имеют монотонные переходные процессы. Доказательство этих условий да-64 [c.64]

Выделение областей устойчивости в пространстве параметров системы. Характеристическое уравнение зависит от параметров Pi, Рг,. .., Р,- системы. Каждой точке г-мерного пространства параметров соотаетствуег некоторое расположение корней характеристического уравнения в комплексной плоскости. При перемещении точки а пространстве параметров непрерывным образом изменяется расположение корней характеристического уравнения. Различным областям пространства параметров будет соответствовать различное число корней характеристического уравнения в правой полуплоскости. Таким образом, пространство параметров можно разделить па области D [k), где k — число корней характеристического уравнения в правой полуплоскости ф-разбиение). Поскольку при переходе в правую полуплоскость корень характеристического уравнения пересекает мнимую ось, то уравнение границ разбиения имеет вид Р (loj) = 0. Оно эквивалентно паре вещественных уравнений [c.100]

При ограничении, накладываемом на область расположения корней характеристического уравне ния замкнутой системы, запас устойчивости опре деляется значением корневого показателя колеба тельности т (в практике расчетов принимают фа яичные допустимые значения т = 0,221 и 0,366) Расчет АСР на заданный запас устойчивости произ водят по расщиренной КЧХ разомкнутой системы Расположению пары комплексно-сопряженных корней на лучах, проведенных под углом Э = ar tg от к мнимой оси в левой полуплоскости плоскости корней характеристического уравнения замкнутой системы, отвечает условие [c.533]

КРИТЕРИИ ОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧАСТЕЙ КОР-0Й ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. Как следует из теорем Ляпунова, для суждения об устойчивости движения по первому дриближению необходимо иметь в своем распоряжении точные сведения о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения. Иначе говоря, нужно знать, как расположены [ орни характеристического уравнения на комплексной плоскости относительно мнимой оси. Когда все корни характеристического уравнения лежат слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные вещественные части, полином, соответствующий развернутому определителю характеристического уравнения, называется ус-щойчивым полиномом. Решить вопрос об устойчивости или неустойчивости полинома можно без предварительного вычисления его корней с помощью специальных критериев устойчивости, предложенных Э. Раусом, А. Гурвицем, X. Найквистом, А. В. Михайловым [113] и др. В основе этих критериев лежат известные теоремы Коши о числе корней функции внутри замкнутого контура. Некоторые из таких критериев дают возможность не только установить распределение корней полинома на комплексной плоскости, но также и определить необходимые изменения параметров системы, для того чтобы сделать ее движение устойчивым. [c.451]

В практическом использовании второй метод Ляпунова значитель но сложнее, чем способы исследования устойчивости по первому при ближению, ибо общих рецептов построения функций Ляпунова не су ществует- Теория устойчивости по первому приближению сводит вопр об устойчивости к чисто алгебраической задаче - к анализу расположени корней характеристического уравнения в комплексной плоскости корне а для этой цели разработаны различные стандартные приемы [14, 33]. [c.44]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...