Циклические координаты, циклические интегралы

ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ, ЦИКЛИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ [c.344]

Циклические координаты. Циклические интегралы........................539 [c.14]

Подобным же образом, если переменные дг, -, дг (г<к) являются циклическими координатами, то мы получим г линейных интегралов типа (6.15), с помощью которых можем понизить порядок системы на 2г единиц. После интегрирования преобразованной системы 2 —2г-го порядка мы найдем все циклические координаты при помощи г квадратур. [c.281]

Циклические координаты и циклические интегралы. Функция Лагранжа L=T+U в общем случае зависит от обобщенных [c.411]

Равенства (127.3) называются циклическими интегралами. Рассмотрим некоторые примеры циклических координат. [c.345]

Какие обобщенные координаты называют циклически.ми и какой вид имеют циклические интегралы [c.363]

В качестве примера того, как получаются и каким образом используются первые интегралы уравнений движения, рассмотрим важный вопрос о циклических координатах. [c.269]

Рассмотренный пример циклических координат характерен для способа использования первых интегралов с целью понижения порядка рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Общий метод механики в таких случаях как раз и состоит в том, чтобы, используя наличие первых интегралов, отщепить часть уравнений системы и затем использовать независимые квадратуры. [c.271]

Первый интеграл, о котором идет речь в теореме 8.4.1, называется циклическим интегралом. В отличие от циклических координат остальные координаты называются позиционными. [c.557]

Принимая во внимание следствие 8.4.2, заключаем, что циклические интегралы линейны относительно циклических скоростей 9,- и не зависят явно от циклических координат д . С помощью циклических интегралов можно исключить из остальных уравнений движения циклические скорости, выразив их через скорости позиционных координат. При этом порядок системы уравнений движения снижается на 2з единиц, где 5 — число циклических координат. [c.557]

Она не зависит явно от углов риф, которые, следовательно, будут циклическими координатами. Им соответствуют циклические интегралы [c.566]

При циклических координатах также имеют место первые интегралы канонических уравнений. Действительно, пусть qu будет циклической координатой, тогда она не входит в функции L w Н. [c.91]

Предположим, что все обобщенные координаты циклические, тогда H=H pi t) и существует s первых циклических интегралов, вида [c.91]

Циклические координаты и циклические интегралы [c.367]

Циклические координаты и циклические интегралы. Функция Лагранжа Е = Т + и в общем случае зависит от обобщенных скоростей, обобщенных координат и времени. Если какая-либо обобщенная координата, например qj, не входит в выражение функции Лагранжа, то для нее [c.397]

Эти равенства, связывающие обобщенные скорости, координаты, время и постоянные интегрирования, являются первыми интегралами уравнений Лагранжа и называются циклическими интегралами. [c.401]

Переменные г ) и (р будут циклическими координатами. Им соответствуют первые интегралы (L = Т — П) [c.354]

Примечание. Циклические интегралы (3.11) содержат позиционные q и циклические ф скорости линейно. Поэтому из устойчивости стационарного движения относительно величин qii и следует устойчивость и относительно циклических скоростей ф (но не координат ф). [c.88]

Если некоторая декартова координата является циклической, то функции Гамильтона и Лагранжа инвариантны по отношению к перемещению системы вдоль соответствующей оси. Наличие циклической угловой координаты аналогичным образом обусловливает инвариантность относительно вращения. Так как эти циклические координаты приводят к постоянству соответствующего импульса, то, следовательно, наличие интегралов движения связано со свойствами симметрии системы. В силу равенства (5.29) существует аналогичное соотношение симметрии между функцией Гамильтона и временной координатой. Вообще свойства сохранения и симметрии так связаны, что эти термины применяются почти как равнозначащие. [c.68]

Аналогично, если не одна, а I обобщенных координат являются циклическими, то первыми интегралами будут I обобщенных импульсов и порядок системы дифференциальных уравнений (1) может быть понижен на 21 единиц. [c.327]

Согласно п. 164, существуют первые интегралы, отвечающие циклическим координатам [c.495]

Рассмотрим гироскопическую систему, т. е. натуральную систему, несколько лагранжевых координат которой являются циклическими ( 6.11). Пусть 1, q2,. . qm— циклические координаты, qm + i, Qm + 2, , Qn — нециклические, или явные координаты. Нам известны m + 1 первых интегралов системы, именно т циклических интегралов, соответствующих т циклическим координатам [c.161]

Пусть мы имеем установившееся движение, в котором циклические интегралы равны Pi, а явные координаты равны а +ь т + г, . [c.161]

Циклические интегралы, соответствующие циклическим координатам ф и г] , имеют вид [c.164]

СУЩЕСТВОВАНИЕ ИГНОРИРУЕМОЙ КООРДИНАТЫ. Изложенная выше концепция циклических интегралов и доказываемая ниже теорема без труда обобщаются на многомерный случай, т. е. на произвольные механические системы, которые будут рассматриваться гораздо позднее. [c.181]

ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ —обобщённые координаты механич. системы, не входящие явно в выражение характеристич. ф-ции этой системы. Наличие Ц. к. позволяет при использовании соответствующих ур-ний получить сразу столько интегралов этих ур-ний, сколько система имеет Ц. к. Напр., если Лагранжа функция L qi, q,, t), где q, — обобщённые координаты, q-,—обобщённые скорости, t—время, не содержит явно координаты то qi будет Ц. к. При этом соответствующее Лагранжа уравнение примет вид [c.428]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Координата ра, не входящая в состав функции Н, называется циклической. Интеграл (11.50), соответствующий циклической координате, иазыъагтся циклическим интегралом. [c.148]

Циклические интегралы (11. 344а) позволяют найти циклические обобщенные скорости как линейные неоднородные функции нециклических скоростей. Коэффициенты этих линейных функций в общем случае зависят от нециклических обобщенных координат. [c.350]

Понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения П1)н помощи уравпеиий Рауса. Пусть с/а (а = А +1,. ... . ) —циклические координаты. Тогда имеем п — к первых интегралов [c.277]

Описанная в п. 164, 165 процедура понижения порядка системы дифференциальных уравнений движения является одним из наиболее эффективных и практически важных способов, примеияемы. с при интегрировании уравнений движения. Всякая симметрия задачи, допускающая такой выбор обобщенных координат, чтобы некоторые из них qa были циклическими, приводит к существованию первых интегралов ра = onst и, как мы видели, позволяет свести исследовапие движения к рассмотрению системы с меньшим числом обобщенных координат. Для обобщенно консервативных систем с двумя степенями свободы наличие одпоп циклической координаты позволяет свести интегрирование уравнений движения к квадратурам (см. п. 164). [c.278]

Таким образом, для осуществимости стационарного движения необходимо и достаточно, чтобы начальные значения позиционных координат qj удовлетворяли s равенствам (3.24) и все начальные значения позиционных скоростей д J равнялись нулю (при q = onst шд = О все циклические скорости ф будут сохранять постоянные значения). Отметим, что в функцию R входят постоянные j циклических интегралов (3.11), поэтому значения q j н стационарном движении зависят от циклических скоростей ф, содержащихся в j. [c.87]

Дервые два интеграла суть интегралы, связанные с циклическими координатами ф и тр соответственно. Последний — интеграл живых сил — можно определить также непосредственно, ибо действительные перемещения находятся среди возможных Го, к, h обозначают соответствующие постоянные первых интегралов, т — масса гироюкопа и кожуха. [c.199]

Замечание. Интегралы, связанные с циклическими координатами или циклическими иеремещениями, являются липей- [c.308]

Найти первые интегралы движения сферического маятника длины /, положение которого определяется углами 9 и tp. Ответ. 1) Интеграл, соответствующий циклической координате t ) (интеграл моментов количества движения относительно оси г)з 4sin e = ni [c.372]

Во многих конкретных приложениях вторым интегралом является интеграл количества движения, соотв8тствующ,ий циклической координате дг-В этом случае исходными известными интегралами являются [c.455]

Интегралы, линейные относительно импульсов. Если среди лагранжевых координат, описываюш,их динамическую систему, имеется циклическая координата (скажем, q ), то соответствующий импульс при движении сохраняет свое значение неизменным. Докажем, что, и обратно, любая автономная система, имеюи ая пространственный интеграл, линейный относительно импульсов, при надлежащем выборе лагранжевых координат может быть описана как система с циклической координатой. [c.522]

П. В. Воронец опубликовал новый метод преобразования дифференциальных уравнений динамики, который позволил значительно расширить известные ранее результаты в области задачи п тел. Развивая идею Э- Рауса об игнорировании координат , он показал, что в случае, когда уравнения движения системы допускают линейные относительно скоростей интегралы, из этих уравнений можно исключить циклические координаты и соответствующие им скорости и ускорения. Этот метод дал возможность П. В. Во-110 ронцу сравнительно просто получить известные результаты Ж. Лагранжа, К. Якоби, Э. Бура, А. Бриоши и Р. Радо при произвольном законе притяжения. П. В. Воронец подробно исследовал задачу четырех тел и указал случай интегрируемости в квадратурах для закона притяжения обратно пропорционально кубам расстояний. В случае сил взаимодействия, пропорциональных любой степени расстояний, он установил возможность двух типов движений. Исследуя дифференциальные уравнения задачи трех тел Ув форме Лагранжа, Воронец изучил случай аннулирования кинетического момента, а также случай пространственного движения, при котором образуемый телами треугольник остается равнобедренным и массы точек, расположенных в его основании, равны. [c.110]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...