Виртуальное перемещение материальной системы точки

Это значит, что для стационарных связей действительные перемещения совпадают с одним из виртуальных перемещений. Материальная система, состоящая из п точек, имеет Зя вариаций координат. Однако в силу уравнений (1.26) эти вариации координат не являются независимыми друг от друга. Решая уравнения (1.26) относительной вариаций координат, для которых это решение возможно, мы их выразим через остальные дп — k. Следовательно, независимых вариаций координат будет 2>п — k, т. е. число независимых вариаций координат равно числу степеней свободы материальной системы. [c.18]

Виртуальным перемещением материальной системы называется такое мысленное малое перемещение Ьг ,, Ьгп отдельных ее точек из данного положения при фиксированном времени t, при-котором справедливы равенства [c.409]

При виртуальном перемещении материальной системы мы смещаем точки вместе с приложенными к ним силами. Поэтому если [c.184]

Возможным (виртуальным) перемещением данной системы называется совокупность любых бесконечно малых перемещений материальных точек этой системы, допускаемых в данный момент наложенными на систему связями. [c.384]

И. Бернулли, Лагранж). Конфигурация системы N материальных точек, на которые наложены идеальные двусторонние стационарные связи, допускающие в этой конфигурации тождественное равенство нулю скоростей всех точек системы, будет положением равновесия (определение 4.1.1) тогда и только тогда, когда в любой момент времени равна нулю сумма элементарных работ всех активных си.г Г,/, действующих на систему, на любом виртуальном перемещении = 1,.. ., Л точек их приложения [c.343]

В уравнении (15) — силы известной природы (точнее — известного происхождения активные и реакции неидеальных связей), приложенные к материальным точкам (точкам, обладающим инерционной массой) и 6г — совместимые с идеальными связями виртуальные скорости и виртуальные перемещения материальных точек (связи предполагаются стационарными удерживающими). Возможны некоторые равновесные положения и в системах с нестационарными связями, но мы ограничимся более простой ситуацией. Равенство (15) даёт условие эквивалентности нулю сил известного происхождения. [c.42]

Наоборот, если дано условие равновесия сил в каждой точке материальной системы, то отсюда не вытекает равновесие системы из обращения в нуль мгновенного значения некоторой величины никак не следует ее обращение в нуль на протяжении некоторого промежутка времени. Равновесие системы не вытекает не только из условия = О в каждой точке системы, но даже из условия + —О, — если система отсчета инерциальная, то при выполнении этого условия все точки материальной системы могут не быть в покое, а двигаться прямолинейно и равномерно. Из определений, а также из формулировки и доказательства теоремы очевидно вытекает, что принцип виртуальных перемещений является условием равновесия сил в каждой точке системы, — из (13.1) вытекает только то, что в данный момент времени и в данном положении материальной системы для каждой ее точки справедливо равенство (13.3) мы не можем, однако, утверждать, что оно останется справедливым и для последующих моментов времени и других положений системы ). Принцип виртуальных перемещений дает необходимое и достаточное условие равновесия сил в каждой точке материальной системы и в то же время необходимые, но не достаточные условия равновесия самой системы. [c.350]

Понятия о виртуальных скоростях и виртуальных перемещениях точек материальной системы являются одним из фундаментальных понятий аналитической механики. Введем сначала эти понятия на примере одной материальной точки. [c.12]

Виртуальными перемещениями точек материальной системы, подчиненной k связям вида (1.15), называют совокупность бесконечно малых векторов [c.18]

Полученный результат можно сформулировать так в каждый момент движения материальной системы, подчиненной идеальным связям, виртуальная работа всех активных сил и сил инерции на виртуальных перемещениях точек материальной системы равна нулю. [c.52]

Основная задача статики состоит в том, чтобы сформулировать условия, обеспечивающие равновесие системы материальных точек, а также найти все положения равновесия системы. Аналитическая статика предполагает такую форму условий равновесия, в которой не используются неизвестные реакции связей. При этом существенным оказывается понятие множества виртуальных перемещений точек системы, соответствующего связям. Тем самым учение о связях играет фундаментальную роль в теоретической механике. [c.305]

Векторы набора г , I/ = 1,..., Л , удовлетворяющего этой системе однородных линейных уравнений, называются виртуальными перемещениями системы материальных точек. [c.335]

Теорема 4.7.3. Пусть связи, наложенные на систему материальных точек, допускают в некоторой ее конфигурации виртуальные перемещения, соответствующие повороту всей системы как твердого тела вокруг неподвижной оси е. Тогда для равновесия системы в этой конфигурации необходимо, чтобы сумма моментов всех активных сил относительно этой оси равнялась нулю [c.350]

Теорема 5.1.3. Пусть после освобождения от некоторых связей оставшиеся связи идеальны и допускают поступательное, виртуальное перемещение системы материальных точек вдоль любого [c.383]

Теорема 5.1.6. (Об изменении кинетической энергии). Допустим, что связи, наложенные на систему материальных точек, идеальны и таковы, что дифференциалы действительных перемещений принадлежат множеству Т виртуальных перемещений. Тогда дифференциал кинетической энергии равен сумме работ всех активных сил на дифференциалах действительных перемещений точек системы [c.389]

Теорема 5.3.5. (Изменение кинетической энергии системы переменного состава). Пусть связи идеальны, а дифференциалы действительных перемещений всех материальных точек, образующих в данный момент времени рассматриваемую систему переменного состава, принадлежат множеству виртуальных перемещений. Тогда кинетическая энергия Т системы переменного состава удовлетворяет уравнению [c.415]

Доказательство принципа виртуальных перемещений.— Рассмотрим систему материальных точек М , подчиненных данным связям и находящихся под действием прямо приложенных сил. Требуется доказать, что для равновесия системы необходимо и достаточно, [c.286]

Системы со связями без трения,—Рассмотрим материальную систему, на которую наложены связи без трения, не зависящие от времени. Эти связи могут входить в различные категории, изученные в статике при рассмотрении принципа виртуальных перемещений, например твердые тела, имеющие неподвижную ось или неподвижную точку, твердые тела, сочлененные между собою или скользящие одно по другому, и т. д. Связи могут также выражаться не зависящими от времени уравнениями между координатами различных точек системы или между этими координатами и их вариациями. Такие связи называются связями без трения или идеальными, если работа их реакций равна нулю для всякого перемещения, совместимого со связями. Работа реакций идеальных связей исчезает из уравнения живых сил, так как действительное перемещение совместимо со связями. Достаточно поэтому учитывать лишь работу других сил, представляющих собою силы прямо приложенные, или активные. Теорема живых сил принимает в этом случае следующую форму [c.17]

Полезно отметить, что при составлении суммы работ реакций работа каждой из них должна быть вычислена на виртуальном перемещении той материальной точки, к которой она приложена в рассматриваемой системе. Так, если речь идет о системе материальных точек Pi (i = 1, 2,. ..) s Ri есть реакция, приложенная к точке Pi, то сумма работ 8Л реакций на виртуальном перемещении 8Pj определится соотношением [c.243]

Если материальная система отличается от системы 8 наличием некоторых добавочных связей и если некоторая система сил S удерживает 8 в равновесии, то тем более она будет удерживать в равновесии систему 8 . Действительно, виртуальные перемещения системы 8 все содержатся среди виртуальных перемещений системы S] поэтому, если соотношение (1) удовлетворяется для всех виртуальных перемещений системы 8, то тем более оно будет удовлетворяться для всех виртуальных перемещений системы 8 (но не обратно). Если далее все связи двусторонние (или, в более общем [c.252]

Если материальная система с двусторонними (неосвобождающими) связями без трения в любой своей конфигурации допускает в качестве виртуальных перемещений всевозможные поступательные бесконечно малые перемещения, то реакции связей, возникающие в ней при действии каких угодно сил, имеют результирующую, постоянно равную нулю. [c.271]

Если задана материальная система S из N точек (i—l, 2, N) с двусторонними связями (даже и неголономными), то можно предположить, что на нее наложены другие связи, осуществляемые посредством автоматических приспособлений (например, электромагнитных), которые являются источником некоторых сил Ф,-, приложенных к точкам Р,- системы и совершающих не равную нулю работу при всяких виртуальных перемещениях ЗР , совместимых со связями системы. Эти силы Ф,- называются сервомотор ними, [c.319]

В справедливости этих соотношений мы можем убедиться или чисто аналитическим путем, полагая, что в силу самого определения виртуального перемещения операция 3 и дифференцирование по времени суть операции, независимые между собой, и потому обладают свойством переместительности, или менее формальным и более прямым путем, замечая, что в любой момент t положения одной и той же материальной точки системы в движениях М и суть и Pj-j-SP , так что для варьированной скорости, дифференцируя Pf-j-SP по времени получим выражение [c.397]

Доказательство достаточности более сложно. Мы дадим его далее в п. 158. Здесь только заметим, что это доказательство будет по существу использовать принцип полной детерминированности движения, т. е. однозначного определения движения системы по начальным положениям и скоростям образующих ее материальных точек. Следующий пример показывает, что при отсутствии полной детерминированности движения принцип виртуальных перемещений может не иметь места. [c.113]

Виртуальное перемещение здесь понимается так же, как и при аналитической формулировке принципа Д Аламбера. По этому принципу в любой момент времени потерянные силы уравновешиваются связями, наложенными на точки системы в данный момент времени. Если, например, материальные точки вынуждены двигаться так, чтобы удовлетворялись условия [c.545]

Следствие 5.2.1. Если связи, наломсенные па систему материальных точек, допускают дифференциал вращения вокруг произвольной оси и, кроме того, поступательное виртуальное перемещение всей системы вдоль любого направления, то [c.401]

Рассмотрим теперь произвольную деформирующуюся материальную систему в положении равновесия легко видеть, что как вся система в целом, так и любая произвольно выбранная часть её должны удовлетворять условиям (38.1) равновесия твёрдого тела. Заметим предварительно, что прибавление новой связи не может нарушить равновесия системы в самом деле, прибавление связи стесняет простор для выбора виртуальных перемещений системы следовательно, виртуальные перемещения системы с добавочной связью входяг, как частная система, в состав виртуальных перемещений для системы без добавочной связи а потому, если активные силы не давали работы на любом из виртуальных перемещений при отсутствии добавочной связи, то они не дадут работы и на виртуальных перемещениях при наличии этой связи. Отсюда вытекает, что любая материальная система обязана в своём положении равновесия подчиняться всем условиям, найденным для твёрдого тела, так как равновесие этой системы не должно нарушиться и в том случае, если бы система затвердела. Прилагая условия равновесия твёрдого тела сначала ко всей системе, а затем к соответственно выбранным частям её, мы можем таким путём найти все те условия относительно приложенных сил, которые для нас интересны. Вообще говоря, для полного решения задачи о равновесии деформирующегося тела нам пришлось бы разбить его н бесконечно малые элементы, т. е. повторить указанный приём бесконечное множество раз в результате мы вернулись бы к основным уравнениям (36.10) на стр. 374 но часто случается, что, приложив указанный метод к двум, трём или более, но всё-таки к конечному числу частей системы, мы уже сможем найти всё, что нам нужно. [c.411]

Если на точки материальной системы в данном ттоло-жении и в фиксированный момент времени действует система сил Fi, fa, Fs.....Fti, а виртуальные перемещения [c.18]

Необходимым и достаточным условием равновесия го-лономной материальной системы, подчиненной только идеальным связям, является равенство нулю работы всех активных сил на любом виртуальном перемещении точек материальной системы, т. е. [c.30]

Принцип виртуальных перемещений. В применении к системе материальных точек принцип виртуальных перемещений состоит в следующем для равновесия системы материальных точек со стационарными и идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма алементарных работ всех действуюш,их на систему активных сил при всяком виртуальном перемещении системы была равна нулю для связей неосвобождающих) или же была равна нулю или меньше нуля (для связей освобождающих), т. е. соответственно ) [c.294]

Покажем сначала, что даваемое принципом виртуальных перемещений условие равновесия является необходимым. Пусть некоторая механическая система, состоящая из я материальных точек, находится в равноиесии. Рас- Рис. 297. смотрим какую-нибудь точку А . системы [c.295]

Динамика системы материальных точек сначала излагается для случая, когда движение стеснено произвольными дифференциальными связями. Из принципа Даламбера-Лагранжа (общее уравнение динамики) с использованием свойств структуры виртуальных перемещений [68] выводятся общие теоремы динамики об изменении кинетической энергии (живой силы), кинетического момента (момента количеств движения), количества движения. Изучается динамика системы переменного состава [1]. На основе принципа Гаусса наи-меньщего принуждения выводятся уравнения Аппеля в квазикоординатах. Получены также уравнения Воронца и, как их следствие, уравнения Чаплыгина. Установлено, что воздействие неголономных связей включает реакции, имеющие гироскопическую природу [44]. [c.12]

Рассмотрим систему N материальных точек Р (v = 1, 2,. N). Если система несвободна, то наложенные на нее связи предполагаются удерживающими и идеальными. Пусть бг — виртуальное перемещение точки Pv, т., — ее масса, w — ускорение в ииерциаль-ной системе координат, а F — равнодействующая всех активных сил, приложенных к точке Pv. Тогда имеет место общее уравнение динамики (п. 57) [c.226]

Приобретя широкую известность, трактат Даламбера тем не менее не смог сыграть роли систематической сводки аппарата аналитической динамики материальных систем, ибо оказался лишь малоупорндоченным набором примеров на приложение принципа равновесия потерянных сил, не содержащим никаких методически стройных и единообразных приемов составления дифференциальных уравнений движения материальных систе.м. Главной причиной этого было то, что Даламбер не уделил внимания аналитическому оформлению того принципа статики системы, сочетание которого с принципом Даламбера только и дает возможность завершить составление упомянутых уравнений. Первым систематическим трактатом по аналитической механике систем материальных точек, подчиненных механическим связям, явился лишь трактат Лагранжа Аналитическая механика , вышедший первым изданием в 1788 году. Он сыграл основополагающую роль для дальнейшего развития той разновидности аналитической механики, которая опирается на комбинацию принципа виртуальных перемещений с црин-ципом Даламбера или с петербургским принц1гпом динамики системы. [c.2]

Сравнивая затем уравнение (16 ) со вторым уравнением (4 ) (отнесенным к центру тяжести) и припоминая еще тождество K )z= K, заключаем, что если для какой-нибудь материальной тстемы связи, предполагаемые двусторонними и без трения, допускают произвольное перемещение (виртуальное) ее как неизменяемой системы, то реакции, которые возникают под действием каких угодно сил, имеют относительно центра тяжести результирующий момент, постоянно равный нулю. [c.275]

Синхронно-ВАРЬИРОВАННЫЕ движения. Во многих случаях оказывается полезным сравнивать с заданным движением М материальной системы так называемые синхронно-варьированные движения ), обозначая этим названием те воображаемые движения (бесконечно близкие к сравниваемому движению), в которых во всякий момент t полржения отдельных точек системы задаются величинами где соответствует движению Л1, а 8Р - означает какое-нибудь одно из виртуальных перемещений, относящихся к рассматриваемому моменту (и к конфигурации Р,). [c.396]

Если сравнить действительное движение материальной системы с движением. немного отличающимся от него, причем начальное и конечное положения системы остаются неварьированными, а перемещения из каждого положения действительного движения в соответствующее положение варьированного движения должны быть перемещениями виртуальными, то [c.544]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...