Движение синхронно-варьированное

Итак, предположим, что для материальной системы определены какое-либо движение М и его синхронно-варьированное движение Af и пусть q есть какая-нибудь величина, скалярная или векторная, свя- [c.396]

Если при помощи начальных условий выбирается какое-нибудь движение Ж системы, то оно, как мы знаем, в любой момент должно удовлетворять уравнению (13 ) при всех виртуальных перемещениях 8Р . В частности, уравнение (13 ) остается в силе в любой момент для 8Р , соответствующих какому-нибудь синхронно-варьированному движению Mg, во время которого эти ЬР , а вместе с ними элементарная работа L, будут определенными функциями времени. Если теперь проинтегрировать уравнение (13 ) между двумя любыми моментами и ], то получится уравнение [c.398]

Заметим теперь, что, по самому определению виртуальных перемещений, они переводят систему из одной заданной конфигурации, совместимой со связями, в другую, тоже допускаемую связями в тот же самый момент, поэтому нулевое перемещение ЬP = О следует рассматривать как виртуальное, каков бы ни был момент, к которому оно относится. Можно представлять себе по отношению к естественному движению М синхронно-варьированное движение Мд таким, что ЬР исчезают в крайние моменты времени и t , но остаются совершенно произвольными в любой другой момент рассматриваемого промежутка времени, лишь бы они были правильными функциями t. Иначе говоря, из бесконечно большого числа синхронно-варьирован-ных движений рассматриваются только те (составляющие также беско- [c.398]

Для всякого естественного движения, если синхронно-варьирован-ные движения принадлежат к только что указанному частному классу, уравнение (14) сводится к более простому виду [c.399]

Предположим, что для естественного движения М вариационная формула (15) справедлива по отношению к синхронно-варьированным движениям, имеющим те же конфигурации в моменты q и /j, что и естественное движение М нужно доказать, что в этом случае для естественного движения справедливо общее уравнение динамики, т. е. что уравнение (15) определяет движение системы. [c.399]

Это простое замечание пригодится нам для построения частного типа синхронно-варьированных движений по отношению к любому движению М системы в заданном промежутке времени. [c.399]

Синхронно-варьированным движением, которое таким образом определено, мы воспользуемся в следующем пункте. [c.400]

Это есть простое следствие из того обстоятельства, что все аргументы, от которых зависит Л (силы, ускорения, виртуальные перемещения), суть непрерывные функции времени. Действительно, выбрав один какой-нибудь момент t в промежутке (/(,, (открытый промежуток) и задав какое-нибудь виртуальное перемещение ЬР (между теми, которые относятся к моменту и к одновременной конфигурации системы в движении М), обозначим через А соответствующее значение А, которое, как мы сейчас покажем, равно нулю. Из предыдущего пункта следует, что если заключить момент 7 в некоторый промежуток [f, /"], внутренний для промежутка (tg, fj), то можно бесконечным множеством способов определить в функции от времени бесконечное множество виртуальных перемещений оо (для последующих конфигураций системы в прямом движении Ж) и, следовательно, можно определить синхронно-варьированное движение так, чтобы для =4) и == i конфигурация системы совпадала с конфигурацией в движении М виртуальное перемещение при ( = t будет тождественно с заданным и будет исчезать при и Соот- [c.401]

Далее, уравнение (15 ) выражает то обстоятельство, что вариация о S, испытываемая этим интегралом при переходе от любого естественного движения к какому угодно синхронно-варьированному движению с теми же начальной и конечной конфигурациями, как и в естественном движении, равна нулю. Подобно тому, как в случае какой-нибудь функции / от нескольких переменных х мы заключаем, что обращение в нуль полного дифференциала от / определяет те системы значе- [c.402]

Мы не будем здесь доказывать этого. Отметим только следующее обстоятельство когда при переходе к синхронно-варьированным движениям начальный и конечный моменты и не изменяются, то интеграл S в течение рассматриваемого движения отличается только на постоянный множитель от среднего значения [2J функции [c.403]

Применение принципа Гамильтона к выводу уравнений движения. Возьмем снова принцип Гамильтона в его общей форме (15) и применим его к такой материальной системе, для которой элементарная работа L активных сил и вариация кинетической энергии 8Г при переходе от любого естественного движения к какому-нибудь синхронно-варьированному движению между одними и теми же конфигурациями в начале и конце промежутка времени выразятся в виде [c.404]

Вариации 8 обращаются в нуль при t=tQ и t=ti, так как они соответствуют синхронно-варьированному движению, для которого начальная и конечная конфигурации совпадают с соответствующими конфигурациями естественного движения. [c.404]

Асинхронно-варьированные движения. Между естественным движением М и каким-нибудь синхронно-варьированным движением М , по определению, существует одно-однозначное соответствие положения S и времени, в силу чего всякой конфигурации Р , принимаемой системой в естественном движении 7И, соответствует одна вполне определенная конфигурация Pf-j-SPf в варьированном движении Л1 при этом предполагается, что обе конфигурации Р,- и Р Pt достигаются системой в соответствующих движениях одновременно. [c.406]

По самому определению, всякому асинхронно-варьированному движению Мд однозначно соответствует синхронно-варьированное движение /Mg, имеющее ту же траекторию и отличающееся от него только законом изменения во времени. [c.406]

С другой стороны, важно отметить, что уравнение (23) не накладывает никаких ограничений на выбор траектории асинхронно варьированного движения или, если угодно, соответствующего синхронно-варьированного движения. Действительно, как бы ни были заданы 8Р в функциях от времени, уравнение (23), присоединенное к уравнению (21), определяет в функции от t величину d bt)jdi и, следовательно, определяет посредством одной квадратуры само Ы. [c.408]

Рассмотрим динамическую (в этом смысле) траекторию с любого естественного движения и сравним ее с аналогичной траекторией какого-нибудь синхронно-варьированного движения с теми же конечными конфигурациями. [c.412]

Так как виртуальные перемещения для какой угодно конфигурации получаются путем прибавления к координатам произвольных бесконечно малых значений величин bq, то мы непосредственно видим, что траектория синхронно-варьированного движения будет произвольной кривой, бесконечно близкой к кривой с и соединяющей те же начальную и конечную точки. Если далее вспомним, что всякое асинхронно-варьированное движение можно получить из синхронно-варьированного, оставляя неизменными оо конфигураций и изменяя только момент t прохождения системы через соответствующую этому моменту конфигурацию в синхронно-варьированном движении на то заключаем, что также и для асинхронно-варьированных движений (изоэнергетических или нет) динамические траектории будут вполне произвольными <ривыми, лишь бы они были бесконечно близкими к кривой естественного движения и соединяли одни и те же концы. [c.412]

Обратно, если при переходе от некоторого движения а ко всякому возможному синхронно-варьированному движению с одними и теми же конфигурациями на концах имеем ЬЗ = О, то уравнение (33) дает [c.422]

Асинхронная вариация интеграла Гамильтона. Возвратимся к лагранжевой системе (31) общего типа. Выражение (33) вариации 5S относится к переходу от заданного естественного движения а к любому его синхронно-варьированному движению а , даже между различными конечными конфигурациями, если bq не предполагаются равными нулю при i = to и Мы увидим сейчас, какое при- [c.426]

Idt = dbt и потому не накладывает никакого ограничения на траекторию движения оно определяет только, посредством одной квадратуры, вариации асинхронности 8 , когда заранее (произвольно) задается соответствующее синхронно-варьированное движение и, следовательно, соответствующая траектория. [c.433]

Действительные и виртуальные перемещения. Синхронное варьирование. Пусть в момент времени t = t система находится в положении, задаваемом радиусами-векторами ее точек а скорости точек имеют некоторые конкретные возможные значения Если заданы силы, действующие на систему, то, проинтегрировав систему дифференциальных уравнений движения, можно получить значения радиусов-векторов точек системы для моментов времени следующих за t. Если обозначить dt приращение времени t — то приращения радиусов-векторов точек системы можно представить в виде [c.37]

Бесконечно малые приращения 8xj 8у 8z называются вариациями величин Переход при фиксированном из положения системы, определяемого радиусами-векторами г, в бесконечно близкое положение, определяемое радиусами-векторами г + называется синхронным варьированием. При синхронном варьировании мы не рассматриваем процесс движения и сравниваем допускаемые связями бесконечно близкие положения (конфигурации) системы для данного фиксированного момента времени. [c.38]

Для получения математической формулировки принципа Гаусса будем сравнивать в некоторый момент времени движения, в которых все точки системы имеют те же возможные положения г и скорости V, что и в действительном движении. Возможные же ускорения точек системы в сравниваемых движениях будут отличаться (на величины, не обязательно являющиеся бесконечно малыми). Такой способ синхронного варьирования называется варьированием по Гауссу (п. 12). [c.107]

Геометрическая интерпретация асинхронного варьирования определяется равенствами (3), (4) пусть = qi t) — некоторая траектория системы в действительном движении под действием активных сил и реакций связей, согласующих движение с наложенными связями наряду с траекторией действительного движения рассматриваются варьированные кривые такие, что точке qi в момент времени t на действительной траектории соответствуют точки qi + Aqi в момент времени t + At на варьированной кривой. Точке М траектории действительного движения ставятся в соответствие точка Ml, полученная синхронным варьированием, и точка М2, полученная классическим асинхронным варьированием (рис. 8.1). [c.67]

Синхронно-ВАРЬИРОВАННЫЕ движения. Во многих случаях оказывается полезным сравнивать с заданным движением М материальной системы так называемые синхронно-варьированные движения ), обозначая этим названием те воображаемые движения (бесконечно близкие к сравниваемому движению), в которых во всякий момент t полржения отдельных точек системы задаются величинами где соответствует движению Л1, а 8Р - означает какое-нибудь одно из виртуальных перемещений, относящихся к рассматриваемому моменту (и к конфигурации Р,). [c.396]

Гамильтона. Как было сказано в п. 7, мы должны доказать, что если ДЛЯ определенного движения М системы, по отношению ко всем синхронно-варьированным движениям, имеющим одни и те же конфигурации на концах промежутка, справедливо (15), то в силу этого, как необ одимое следствие, будет справедливо и общее уравнение динамики (13). [c.400]

В более общем случае можно представить себе, что варьируется также и время, в том смысле, что от синхронно-варьированного движения yWg переходят к другому движению в котором конфигурация соответствующая Р< в естественном движении М, будет приниматься системой не в тот же момент t, но в варьированный момент f-f-SV, где через Ы обозначено бесконечно малое приращение времени, которое изменяется от момента к моменту и, следовательно, является произвольной (но правильной) функцией t. Такое движение по отношению к естественному движению М называется асинхронно-варьарованным движением. [c.406]

Как и в п. 6 для синхронно-варьированных движений, важно теперь обозначить специальным символом бесконечно малое прираще- [c.406]

Выберем далее в качестве меры механического движения функционал 8н, называемый действием по Гамильтону. Выведем вариационный принцип Гамильтона из уравнения гинерреактивного движения материальной точки переменной массы и установим экстремальные свойства действия 8н для реально происходящих движений. Будем при этом пользоваться известными понятиями и конструкциями вариационного анализа при синхронном варьировании траекторий [413]. [c.178]

Наложим дополнительные ограничения на варации Ьг . Чтобы представить геометрически эти ограничения, рассмотрим движение системы в 5-мерном пространстве конфигураций. Действительному движению системы соответствует некоторая линия ( траектория системы ), проходящая через две заданные точки Л и . Точка А соответствует конфигурации системы в момент и, точка Е — конфигурации системы в момент Метод синхронного варьирования, разъясненный нами выше, есть не что иное, как строго определенная процедура проб. Мы слегка изменяем истинную траекторию системы в пространстве конфигураций и сравниваем величины действия, по Гамильтону, на истинной и варьированной траектории. Мы будем считать далее, что действительная и варьированная траектории ( трубка траекторий сравнения) проходят через заданные начальную А и конечную Е точки в пространстве конфигураций и, следовательно, время движения системы от Л до для всего пучка (множества) траекторий сравнения остается одним и тем же. Фиксация точек Л и в пространстве конфигураций означает также, что вариации координат системы в положениях А и В равны [c.127]

Случай консервативных сил. Принцип Гамильтона приобретает особенно простую и наглядную форму, когда силы, действующие на материальную систему, имеют потенциал U. При этом предположении, как уже было отмечено в п. 7, виртуальная работа L не отличается от вариации (полного дифференциала) ьЦ, которую испытывает потенциал при переходе от естественного движения к синхронно-варьиро-ванному движению. Поэтому, принимая во внимание свойство переместительности операций варьирования и дифференцирования (S и djdt), а следовательно, также и операций варьирования и интегрирования по времени, мы будем тождественно иметь [c.402]

Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...