МОДЕЛЬ ИЗИНГА НА КВАДРАТНОЙ РЕШЕТКЕ

Рис, 1.4. Функция подобия Ь х) для модели Изинга на квадратной решетке [97]. [c.12]

В частности, двумерные точно решаемые модели представляют большую ценность для проверки общих теорий и предположений, таких, как гипотезы подобия и универсальности. Например, первое доказательство универсальности было получено Онсагером в 1944 г. [184] в результате решения модели Изинга на квадратной решетке. Онсагер предположил, что константы взаимодействия У и У в горизонтальном и вертикальном направлениях различны, но его решение показало, что для температур Г, близких к [c.78]

Этих операторов достаточно, чтобы построить модель Изинга на квадратной решетке с горизонтальным коэффициентом взаимодействия К и вертикальным коэффициентом L. [c.89]

МОДЕЛЬ ИЗИНГА НА КВАДРАТНОЙ РЕШЕТКЕ [c.93]

Рассмотрим модель Изинга на квадратной решетке в отсутствие внешнего поля, как мы ее определили в разд. 6.2, но изобразим решетку по диагонали, как показано на рис. 7.1. Статистическая сумма по-прежнему описывается выражением (6.2.1), но теперь первое суммирование внутри скобок выполняется по всем линиям, параллельным линиям, отмеченным на рис. 7.1 буквой К, а второе — по линиям, параллельным линиям, отмеченным буквой L. [c.94]

Это главный результат данной главы — свободная энергия модели Изинга на квадратной решетке в термодинамическом пределе. [c.115]

Критическая температура может быть определена либо как такое значение Г, для которого / является сингулярной функцией, либо как такое, для которого спонтанная намагниченность или поверхностное натяжение исчезает, либо как такое, для которого корреляционная длина становится бесконечной. Согласно любому из этих критериев, теперь очевидно, что модель Изинга на квадратной решетке имеет одну и только одну критическую [c.125]

Рассмотрим сначала модель Изинга на квадратной решетке с коэффициентами взаимодействия Kj, Kj. Такая модель эквивалентна восьмивершинной модели на квадратной решетке с весами Oj, bj, dj, заданными выражениями (11.5.6), причем величины Mj и А у равны единице и нулю соответственно. [c.302]

Оно представляет собой стандартную статистическую сумму модели Изинга на квадратной решетке, но система является неоднородной, поскольку коэффициенты взаимодействия Ь- изменяются при переходе от одного ребра к другому. [c.354]

Помимо соотношения дуальности (6.3.7), между статистическими суммами моделей Изинга на треугольной и шестиугольной решетках существует еще одно соотношение между ними, известное как соотношение звезда — треугольник . Онсагер [184] ссылается на него мимоходом во введении к своей статье, посвященной решению модели Изинга для квадратной решетки. Ванье [246] выписал его в явном виде, и с тех пор оно было представлено во многих работах (см., например, [114]). [c.85]

Отсюда ясно, что свободные энергии моделей Изинга на квадратной, треугольной и шестиугольной решетках имеют одинаковые критические сингулярности, а именно те, которыми обладает .(/). Симметричная логарифмическая расходимость удельной теплоемкости получается сразу, поэтому, как в (7.12.12), показатели а, а равны нулю [c.301]

Рис. 11.10. Используемые в (11.8.32) — (11.8.43) коэффициенты взаимодействий моделей Изинга на квадратной, треугольной и шестиугольной решетках.

Еще одна простая модель, которая может быть решена точно, — это модель Изинга (или любая модель с взаимодействием между ближайшими соседями) на решетке Бете. Так же как и модель среднего поля, она эквивалентна приближенному рассмотрению некоторой модели, допустим, на квадратной или кубической решетке [53]. Но она может быть определена как точно решаемая модель, и это как раз то, что мы собираемся сделать. [c.55]

Данные веса определяются выражением (11.5.6). Поскольку коэффициент Ау равен нулю, восьмивершинная модель на квадратной решетке разбивается на две невзаимодействующие модели Изинга на соответствующих подрешетках. Выбирая каждую величину М - равной единице, из (10.3.11) находим, что функция равна приходящейся на один узел свободной энергии модели Изинга с коэффициентами К- на квадратной решетке. [c.298]

Для модели Изинга с коэффициентами взаимодействия А у, Kj на квадратной решетке функция ф зависит только от этих коэффициентов. Обозначим ее через ф Q(KJ, Кр. Аналогично для модели Изинга с коэффициентами К2, А з на треугольной решетке безразмерную свободную энергию обозначим через фJ( К[, А 2 Тогда из формул (11.7.10) — (11.7.12) следует [c.298]

Соотношение (11.10.5а) в точности представляет собой соотношение дуальности (6.2.14) изотропной модели Изинга (с L = К) на квадратной решетке. Следовательно, справедливы рассуждения, предшествующие формуле [c.316]

Результаты (11.8.42) — (11.8.45) относятся к ферромагнитной модели Изинга, когда все коэффициенты взаимодействия неотрицательны. Любую модель на квадратной и шестиугольной решетках, а также на решетке Бете можно отобразить в данную область с помощью обращения подходящих чередующихся слоев спинов. Таким способом можно изменить знак любого коэффициента взаимодействия. В случае треугольной решетки можно изменять знаки только у пар коэффициентов взаимодействия в пространстве [c.310]

Предполагая существование W, можно рассматривать матрицу (9.6) как трансфер-матрицу от строки к строке для модели типа Изинга со спинами //, / на гранях (/, /) квадратной решетки (/ нумерует столбцы). [c.196]

Рассмотрим модель Изинга на квадратной решетке показанной на рис. 6.1. В каждом узле имеется спин с двумя возможными значениями + 1 или —1. Два соседних спина и Oj дают член —Jo Oj гамильтониана, если они являются соседями по горизонтали, и член —J o Oj, если они сосе- [c.78]

Соотношение звезда — треугольник имеет весьма важные следствия. Рассмотрим две модели Изинга на квадратной решетке, аналогичные описанным в разд. 6.2, с разными значениями К и L, но с одинаковым значением sinh 2К sinh 2L. Онсагер [186] заметил, что из соотношения звезда — треугольник следует коммутативность диагональ-диагональных трансфер-матриц при условии, что наложены циклические граничные условия. [c.90]

Вслед за решением этой плоской задачи димера Кастелейн [140] показал, что вычисление статистической суммы модели Изинга на квадратной решетке в отсутствие внешнего поля может быть представлено как задача димера, и поэтому получил снова решение Онсагера. Как уже упоминалось в разд. 7.1, метод пфаффиана оказался весьма полезным для вычисления характеристик модели Изинга [164, 170, 233]. [c.130]

Существуют две другие модели, которые, по-видимому, имеют непрерывно изменяющиеся критические показатели, но эти модели нельзя решить точно. Одна из них — модель Ашкина — Теллера [132, 267], рассматриваемая в разд. 12.9, другая — модель Изинга на квадратной решетке с ферромагнитным взаимодействием между ближайшими соседями и анти-ф рромагнитным взаимодействием между соседями из следующей ко- [c.257]

В разд. 10.3 мы видели, что восьмивершинную модель можно рассматривать как две модели Изинга с взаимодействием между ближайшими соседями (каждая из моделей на своей подрешетке), связанные между собой с помощью взаимодействия между четырьмя спинами. Некоторые авторы относятся скептически к введению таких четырехспиновых взаимодействий, считая их в определенной степени нефизическими . Юнглинг [126] ответил на подобную критику, показав, что восьмивершинная модель (в частности, восьмивершинная модель без внешнего поля) эквивалентна модели Изинга на квадратной решетке с взаимодействиями только между двумя спинами, которые представляют собой взаимодействия между ближайшими соседями и соседями из третьей координационной сферы. [c.258]

Так же как в разд. 11.5, поместим точку в центр каждой грани и соединим точки тех граней, спины которых вовлечены в двухспиновые взаимодействия. Тогда вместо рис. 11.6, получим рис. 11.9, а точки тип окажутся ближайшими соседями на вертикальном ребре шестиугольной решетки коэффициенты взаимодействий соответствующей модели Изинга равны A j, А 2 3 другой стороны, вместо рис. 11.6,6 получим две переплетающиеся квадратные решетки, точки тип окажутся ближайшими соседями на вертикальном ребре коэффициенты взаимодействия соответствующей модели Изинга на квадратной решетке равны К у К у В обоих случаях ребру (т, п) соответствует коэффициент взаимодействия К у Поскольку корреляции в обеих моделях одинаковы, имеем [c.299]

Сказанное выше применимо к любой решетке не обязательно плоской. Ограничим теперь рассмотрение случаем, когда -/ является квадратной решеткой с N узлами. Тогда из (12.9.1) следует, что модель Эшкина — Теллера (ЭТ) можно представить себе как две модели Изинга на квадратной решетке ( -модель и а-модель), связанные посредством четырехспинового взаимодействия. [c.354]

За исключением множителя exp(NL), выражение (10.13.8) представляет собой статистическую сумму модели типа Изинга на квадратной решетке, показанной на рис. 10.6 с помощью светлых кружков и пунктирных линий, с диагональными и четырехспиновыми взаимодействиями между ближайшими соседями. Это в точности совпадает с формулировкой восьмивершинной модели (10.3.1), причем энергии взаимодействия 7 и 7 задаются выражениями [c.260]

В разд. 10.3 мы отметили, что восьмивершинная модель на квадратной решетке разбивается на две независимые модели Изинга, если коэффициент четырехспинового взаимодействия К" равен нулю. [c.296]

При К" = О формула (11.5.17) связывает корреляции моделей Изинга на треугольной и шестиугольной решетках с корреляциями той же модели на квадратной решетке. Рассмотрим показанные на рис. 11.6 грани т, п. Пусть (7 , — соответствующие изинговы спины применим формулу [c.299]

В разд. 12.2 — 12.8 будет показано, что модель Поттса может быть решена в критической области [30, 45, 231]. Имеется еще несколько точно решаемых случаев д = 1 (тривиальный случай), д = 2 (модель Изинга), модель на квадратной решетке с д = ЗиА = -оо (задача о трехцветном раскрашивании, разд. 8.13) и модель на треугольной решетке с = 4 и К = —оо (задача о четырехцветном раскрашивании [20]). [c.324]

В качестве предварительного шага к получению точного решения для двумерной модели Изинга сформулируем модель в матричном виде. Рассмотрим квадратную решетку из N = п спииов, состоящую из п строк и п столбцов, как показано на фиг. 116. Представим [c.383]

Обозначим через д координационное число решетки, т.е. число соседей каждого узла. Для квадратной, треугольной и шестиугольной решеток = 4, 6 и 3 соответственно. Обозначим через К, К- коэффициенты взаимодействия моделей Изинга, ассоциированные с д реорами в каждом узле, как это показано на рис. 11.10. [c.307]

Можно ли распространить рассмотренные методы на модели изингова типа в трехмерном пространстве Как показал Замолодчиков [266], соотношение звезда — треугольник (13.3.6) или (11.5.8) можно обобщить, вводя соотношение тетраэдра . Трудность связана с тем, что в данном случае нужно решить 2 уравнений (вместо 2 Х Одно очень полезное свойство двумерных моделей не сохраняется в трехмерных моделях. Если модель разбивается на две независимые модели (каждая на соответствующей подрешетке квадратной или простой кубической решетки), то весовые функции представляются в виде произведений функций, отвечающих независимым моделям. Соотношение звезда — треугольник для плоской решетки также разбивается на два идентичных соотношения (каждое из которых является соотношением звезда — треугольник для модели Изинга в разд. 6.4). Но соотношение тетраэдра в трехмерном пространстве разбивается на два неодинаковых соотношения, одно из которых тривиально, что, по-видимому, препятствует существованию интересных решений. [c.450]

Для математического описания таких моделей можно ввести изинговы спины — переменные Oi, каждая из которых определяет то или иное положение протона на каждой связи, энергия системы при этом будет выражаться через значения указанных переменных в каждом узле ( вершине ) (см., например, [9]). Чтобы наложить условие льда, будем формально считать энергию запреш,енных конфигураций бесконечной. Обобш ение дается моделью с восемью вершинами, в которой дважды ионизованным конфигурациям приписывается большая, но конечная энергия, в этих конфигурациях фосфатная группа может иметь либо четыре ближайших протона, либо ни одного [10]. По соображениям математического удобства в большинстве работ, относяш ихся к рассматриваемым моделям, делается далеко идуш ее предположение об одинаковой топологической структуре трехмерной тетраэдрической решетки и квадратной плоской решетки. Вместе с тем математическая связь сегнетоэлектрической и антисегнетоэлектриче-ской моделей с соответствуюш ими моделями Изинга для магнитных систем сейчас уже не вызывает сомнений. Этот вопрос будет обсуждаться в гл. 5. [c.29]

Разного рода топологические преобразования квадратной решетки позволили изучить также термодинамические свойства (в отсутствие магнитного поля) ряда экзотических плоских решеток — сот , кагоме , домино и др. (см., например, [46]). Однако теория таких преобразований важнее для математической трактовки упорядоченного состояния, нежели для изучения беспорядка. Мы отложим также на некоторое время рассмотрение графического подхода к двумерной модели Изинга, в частности графического вывода формулы Онзагера [47], поскольку эта техника составляет основу разного рода степенных разложений в более обш,ей трехмерной задаче Изинга (см. 5.10). [c.213]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...