МОДЕЛЬ ИЗИНГА НА РЕШЕТКЕ БЕТЕ

Если число соседей бесконечно велико, система становится эффективно бесконечномерной. Примером может служить система, описываемая моделью среднего поля, которая обсуждается в гл. 3. В гл. 4 рассматривается модель Изинга на решетке Бете. Эта решетка обладает тем свойством, что число узлов, посещаемых за п шагов, растет экспоненциально с ростом п. Это более быстрый рост, чем независимо от значения поэтому такая модель также бесконечномерна. [c.20]

МОДЕЛЬ ИЗИНГА НА РЕШЕТКЕ БЕТЕ [c.55]

Это типичное поведение ферромагнетика, описанное в разд. 1.1. Таким образом, модель Изинга на решетке Бете соответствует ферромагнетику с критической точкой Я = О, Г = причем [c.62]

Обращение знака И эквивалентно замене х на обратную величину, что не меняет (4.6.8). Так как свободная энергия / должна быть четной функцией Нщ отсюда следует, что формула (4.6.8) верна при всех действительных значениях /7. Вместе с уравнением (4.5.1) для х она определяет свободную энергию на один узел в модели Изинга на решетке Бете. [c.63]

Значения критических показателей (1.10.2), (1.10.4), (1.10.7) называют классическими. Они удовлетворяют соотношениям (1.2.12) и (1.2.13) и совпадают со значениями, получаемыми для простой бесконечномерной модели среднего поля и модели на решетке Бете (гл. 3 и 4). Они не соответствуют точным значениям для модели Изинга с взаимодействием между ближайшими соседями в случае двух и трех измерений, но, как сейчас полагают ([901, с. 607), являются правильными для четырех и более измерений. [c.39]

Еще одна простая модель, которая может быть решена точно, — это модель Изинга (или любая модель с взаимодействием между ближайшими соседями) на решетке Бете. Так же как и модель среднего поля, она эквивалентна приближенному рассмотрению некоторой модели, допустим, на квадратной или кубической решетке [53]. Но она может быть определена как точно решаемая модель, и это как раз то, что мы собираемся сделать. [c.55]

В моделях Изинга и на плоских решетках и на решетке Бете критическая точка имеется в том случае, когда величины л, и - бесконечно близ- [c.308]

Результаты (11.8.42) — (11.8.45) относятся к ферромагнитной модели Изинга, когда все коэффициенты взаимодействия неотрицательны. Любую модель на квадратной и шестиугольной решетках, а также на решетке Бете можно отобразить в данную область с помощью обращения подходящих чередующихся слоев спинов. Таким способом можно изменить знак любого коэффициента взаимодействия. В случае треугольной решетки можно изменять знаки только у пар коэффициентов взаимодействия в пространстве [c.310]

Удивительно, что существуют такие соответствия между анизотропными моделями Изинга без внешнего поля на двумерных решетках и на бесконечномерной решетке Бете. Я использовал разложения в ряд, пытаясь найти подобные свойства для трехмерных моделей и для плоских моделей во внешнем поле, но без успеха. [c.308]

Как-то мотивировать сделанный выбор можно, рассматривая разложения в ряд статистической суммы. Если произвести низкотемпературное разложение для любой регулярной решетки подобно тому, как это сделано в разд. 1.8, то для вычисления членов до второго порядка включительно нужно знать только такие характеристики решетки, как число узлов и координационное число. В третьем порядке уже потребуется число треугольников на решетке, в четвертом — число тетраэдров (т. е. кластеров, состоящих из четырех связанных узлов) и других высокосвязных четырехточечных графов и т. д. Интересен простой случай, когда замкнутые цепочки узлов отсутствуют и поэтому нет треугольников, тетраэдров и т. п. Тогда мы получаем модель Изинга на решетке Бете, как мы ее здесь определили. [c.56]

Как уже отмечалось выше, трудность, связанная с деревом Кейли, состоит в том, что оно неоднородно, т. е. имеет значительное число граничных или соседних с границей узлов, свойства которых отличаются от свойств внутренних узлов. Но все узлы, расположенные глубоко внутри графа, имеют одинаковую локальную намагниченность М и потому одну и ту же локальную свободную энергию /, определяемую выражением (4.6.5). Таким образом, эта свободная энергия является свободной энергией модели Изинга на решетке Бете. Она вычисляется путем приравнивания д. = д, [c.63]

Если рассматривать полную статистическую сумму, то мы приходим к модели Изинга на дереве Кейли . Эта задача была решена [77, 172, 203], и оказалось, что она имеет весьма необычные свойства. Тем не менее мы не будем рассматривать эту задачу. Вместо этого мы рассмотрим только вклад в Z, происходящий от узлов, лежащих глубоко внутри графа, т. е. от решетки Бете. [c.56]

Рассмотрим модель Изинга на полном дереве Кейли (ниже мы отбросим члены, связанные с граничными узлами, и возвратимся к решетке Бете). Статистическая сумма дается выражением (1.8.2), т. е. [c.57]

С другой стороны, прихменение метода Бете пе ограничено моделями Изинга. Если в формулах (5.31) — (5.34) интерпретировать 8 как квантовомеханнческий оператор спина, то оказывается возможным исследовать свойства перехода порядок — беспорядок в гейзенберговском ферромагнетике с гамильтонианом (1.16). Численный расчет различных матричных выражений, казалось бы, вселял надежды на известный успех в описании критического поведения системы [12], пока не было показано [13], "ЧТО рассматриваемые уравнения приводят к антиточке Кюри (в простой кубической решетке — при кТ = 0,269 /). Ниже этой точки ферромагнитное упорядочение исчезает. Основные недостатки, присущие этому и нескольким аналогичным методам, обсуждались в работе [14]. Создается впечатление, что попытки замкнутого , компактного описания поведения гейзенберговского ферромагнетика более чем одного измерения не выходят за рамки простой формулы приближения среднего поля последняя совершенно не учитывает такие важные явления, как возбуждение спиновых волн при низких температурах ( 1.8). [c.186]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...