Решетка Изинга двумерная

Конечно, при температурах ниже температуры перехода в двумерной решетке Изинга возникает спонтанный магнитный порядок (см. 5.7). Подтверждающие это соображение размерности также принадлежат Пайерлсу. Рассмотрим, как и раньше, домен с перевернутыми спинами (рис. 2.12), граница которого пересекает Ь линий обменного взаимодействия между соседями чтобы создать такой домен, надо затратить энергию 2LJ. Сколько может быть [c.66]

Крупным достижением статистической механики явилось опубликование в 1944 г. работы Онсагера, содержащей точное решение двумерной d = 2) проблемы Изинга для квадратной решетки с взаимодействием ближайших соседей в отсутствие магнитного поля. Впервые в истории Онсагеру удалось дать точно решаемую модель, в которой в термодинамическом пределе N <х> действительно происходит фазовый переход. Оригинальная работа Онсагера очень трудна для восприятия, поскольку в ней использованы весьма сложные математические методы. С тех пор были найдены гораздо более простые методы решения задачи, но их результаты все еще достаточно сложны и не будут приводиться здесь. Интересующимся читателям мы рекомендуем обратиться к книгам Ландау и Лифшица или Стенли, где изложено простое решение двумерной проблемы Изинга, полученное Вдовиченко. [c.360]

В частности, двумерные точно решаемые модели представляют большую ценность для проверки общих теорий и предположений, таких, как гипотезы подобия и универсальности. Например, первое доказательство универсальности было получено Онсагером в 1944 г. [184] в результате решения модели Изинга на квадратной решетке. Онсагер предположил, что константы взаимодействия У и У в горизонтальном и вертикальном направлениях различны, но его решение показало, что для температур Г, близких к [c.78]

Jy = О, то оператор Ж диагонален, и модель сводится к модели Изинга с взаимодействием между ближайшими соседями (каждый спин эффективно направлен вверх или вниз вдоль направления z). Такие модели можно построить на решетке произвольной размерности, но с двумерной восьмивершинной моделью связан одномерный случай (10.14.1). [c.262]

Удивительно, что существуют такие соответствия между анизотропными моделями Изинга без внешнего поля на двумерных решетках и на бесконечномерной решетке Бете. Я использовал разложения в ряд, пытаясь найти подобные свойства для трехмерных моделей и для плоских моделей во внешнем поле, но без успеха. [c.308]

Начнем, как и прежде, с матрицы переноса, рассмотренной в 5.5 и 5.7. Как и в случае двумерной модели Изинга (ср. рис. 5.8), построим, строка за строкой, (тороидальную) решетку размером М X N (рис. 5.9). Рассмотрим п-ю строку вертикальных связей. В данной конфигурации стрелки, направленные вниз , могут находиться в г узлах, пронумерованных вдоль строки индексами mi, т ,. ., т .. Другими словами, этой конфигурации отвечает вектор состояния т , т ,. т ), аргументы которого всегда располагаются в порядке возрастания [c.213]

Алгебраически наиболее серьезное следствие перехода от одномерной модели к трехмерной состоит в том, что при этом теряются все преимущества представления через матрицу переноса (8.19). Иначе говоря, появляется та же фундаментальная трудность, что и в статистической механике при рассмотрении модели Изинга (ср. 5.7) поскольку в двумерной или трехмерной решетке каждый узел имеет соседей в разных направлениях, процесс распространения возбуждений уже нельзя изобразить в виде простого произведения независимых матриц, как в формуле (8.20). При рассмотрении линейной цепочки такое представление обеспечило самосогласованный характер уравнения Дайсона — Шмидта (8.76), из которого можно получить точный спектр. Строгого аналога этой теоремы для случая большего числа измерений, по-видимому, нет. [c.377]

В качестве предварительного шага к получению точного решения для двумерной модели Изинга сформулируем модель в матричном виде. Рассмотрим квадратную решетку из N = п спииов, состоящую из п строк и п столбцов, как показано на фиг. 116. Представим [c.383]

При Т, незначительно меньших Тиз уравнения (33.60) следует, что спонтанная намагниченность меняется как Т — Ту/ независимо от размерности решетки (см. задачу 6). Этот вывод находится в резком противоречии с известным результатом, заключаюш,емся в том, что М (Т — Т) , где = /g для двумерной модели Изинга, а для большинства реальных и модельных систем в трехмерном случае V3. Отметим, однако, что и здесь согласие с результатами теории молекулярного поля улучшается с ростом размерности ). [c.332]

Можно ли распространить рассмотренные методы на модели изингова типа в трехмерном пространстве Как показал Замолодчиков [266], соотношение звезда — треугольник (13.3.6) или (11.5.8) можно обобщить, вводя соотношение тетраэдра . Трудность связана с тем, что в данном случае нужно решить 2 уравнений (вместо 2 Х Одно очень полезное свойство двумерных моделей не сохраняется в трехмерных моделях. Если модель разбивается на две независимые модели (каждая на соответствующей подрешетке квадратной или простой кубической решетки), то весовые функции представляются в виде произведений функций, отвечающих независимым моделям. Соотношение звезда — треугольник для плоской решетки также разбивается на два идентичных соотношения (каждое из которых является соотношением звезда — треугольник для модели Изинга в разд. 6.4). Но соотношение тетраэдра в трехмерном пространстве разбивается на два неодинаковых соотношения, одно из которых тривиально, что, по-видимому, препятствует существованию интересных решений. [c.450]

Разного рода топологические преобразования квадратной решетки позволили изучить также термодинамические свойства (в отсутствие магнитного поля) ряда экзотических плоских решеток — сот , кагоме , домино и др. (см., например, [46]). Однако теория таких преобразований важнее для математической трактовки упорядоченного состояния, нежели для изучения беспорядка. Мы отложим также на некоторое время рассмотрение графического подхода к двумерной модели Изинга, в частности графического вывода формулы Онзагера [47], поскольку эта техника составляет основу разного рода степенных разложений в более обш,ей трехмерной задаче Изинга (см. 5.10). [c.213]

Хотя сферическая модель выглядит весьма искусственной, ее нельзя считать совершенно нереалистической. Рассмотрим систему с гамильтонианом (1.16), в которой каждый из спиновых векторов 8 представляет собой классический вектор с В компонентами. Не слишком трудно показать, что характеристики сферической модели будут в точности совпадать с характеристиками такой системы в предельном случае, когда спиновая размерность В стремится к бесконечности [58], [1.22]. В этом смысле можно сказать, что классическая модель Гейзенберга в -мерной решетке (для которой, конечно, О = с1) оказывается промежуточной между соответствующей моделью Изинга ( ) = 1) и сферической моделью (В = оо). Таким образом, факт отсутствия фазового перехода в сферической модели при 0 = 2 согласуется (см. 2.5) с аргументами Мермина и Вагнера [2.19] против существования дальнего порядка в двумерных магнитных системах, спиновая размерность которых выше, чем у модели Изинга ( 5.7). [c.223]

Формула (5.178) справедлива для модели Изинга в решетке любого числа измерений. Поскольку в циклической цепочке имеется лишь одна диаграмма нужного типа (с гг = Ж), одномерное решение, определяемое формулами (5.59) — (5.62), оказывается тривиальным случаем. Комбинаторный вывод решения Онзагера (5.126) для двумерной решетки [47, несмотря на его громоздкость и сложность деталей, также по существу элементарен. Связь между формулой данного типа и решением проблемы димера, т. е. задачей об определении числа различных способов разместить в решетке двухатомные молекулу без их пересечения, подробно обсуждалась Кастелейном [64]. Ссылки на соответствующую алгебраическую теорию пфаффианов можно найти в работе [41], но все это увело бы нас далеко от физики неупорядоченных систем [c.229]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...