Ферма интегрирование

Выражение (6.36) для dN, после интегрирования по всем значениям энергии от Е = О позволяет получить общее число валентных электронов в металле. Так как действительное значение энергии каждого из электронов ограничено, верхний предел интегрирования может быть взят равным бесконечности вследствие быстрого стремления функции Ферми при Е > Еф к нулю. [c.454]

Идея о нахождении фундаментальной функции, из которой при помощи дифференцирования и конечных преобразований без всякого интегрирования могли бы быть получены все решения уравнений движения, принадлежит Гамильтону. Он первый доказал существование такой функции в геометрической оптике, назвав ее там характеристической функцией эта функция оказалась необычайно полезной в целом ряде задач. Позднее, в своих исследованиях по динамике, Гамильтон снова столкнулся с той же самой функцией, назвав ее на этот раз главной функцией . Ввиду общей вариационной основы у оптики и механики, эти две концепции эквивалентны и открытие Гамильтона относится по существу к вариационному исчислению, а специальная форма вариационного интеграла несущественна. (Этот интеграл определяет время в оптическом принципе Ферма и действие в механическом принципе Лагранжа.) [c.257]

Якоби дал также новую формулировку принципа наименьшего действия для случая независимости от времени, который рассматривали Эйлер и Лагранж. Он критиковал их формулировку на том основании, что область интегрирования у них не удовлетворяет условию варьирования при фиксированных граничных значениях. Хотя в действительности Эйлер и Лагранж применяли свой принцип вполне корректно, исключение времени из вариационного интеграла, произведенное Якоби, привело к новому принципу, определяющему траекторию движущейся точки без всякого указания на то, как движение происходит во времени. Сходство этого принципа с принципом Ферма о наименьшем времени распространения света, из которого может быть определена траектория светового луча, непосредственно устанавливало аналогию между оптическими и механическими явлениями. [c.392]

Так как при высоких температурах допустимо пренебречь квантованием энергии, это выражение должно совпадать со статистическим интегралом, деленным на объем ячейки а, так как g при переходе к интегрированию переходит в /Г / а, а не в с1Г. Сравнивая (45.3) с Z /a из формулы (40.4), находим а = Мы обращаем внимание читателя на то, что в этом параграфе мы впервые решили поставленную в 33 задачу — нашли объем элементарной ячейки а для шестимерного / -пространства трех поступательных степеней свободы. Этот объем оказался равным В следующем параграфе и в 48 мы убедимся в том, что аналогичные результаты получаются и при рассмотрении вращательных и колебательных степеней свободы каждая степень свободы вносит в объем ячейки а множитель к. Подчеркнем, что этот результат мы получаем в рамках распределения Максвелла - Больцмана для невырожденного газа, но с учетом квантования энергии. В главе V мы убедимся в том, что объем ячейки а может быть найден экспериментально и без учета квантования энергии, но на объектах, подчиняющихся распределениям Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака, а именно — сильно вырожденных газах. Заметим в заключение этого параграфа, что поскольку характеристическая температура поступательного движения Т1 должна считаться равной нулю, квантование поступательного движения фактически не вносит никаких изменений в полученные в 40 формулы для внутренней энергии, теплоемкости, энтропии, химического потенциала. [c.219]

Интегрирование здесь производится так же, как п в ф-ле (1). Время свободного пробега возбуждений, как и в случае неидеального Ферми газа, обратно пропорционально квадрату области размытия распределения Ферми, т. е. т 1 /7 . Поэтому при достаточно низких темп-рах и нек-рой фиксированной частоте условие шт 1 будет нарушено. Нри шт 1 звук будет затухать па расстоянии порядка длины волны, т. е. перестанет распространяться. Исследование кинетич. уравнения для функции распределепия возбуждений в Ф. ж. показывает, что нри 1 может [c.297]

Результаты (5.17) и (5.19) можно получить и непосредственно, путем интегрирования в формулах (5.9) и (5.11). Это демонстрирует справедливость основных положений теории ферми-жидкости для данной модели. Общий вывод этих положений будет дан в гл. IV. [c.61]

В модели, о которой идет речь, взаимодействуют только электроны в узкой области энергий вблизи энергии Ферми s J [x. Поэтому в интегралах (33.2) интегрирование по к ограничено условиями ед(А)—[х , бо( — к) — [х < Шд. Полагая Шд, q v (Од, перейдем обычным образом к интегрированию по — У ( А — рд). Пренебрегая также в интегралах [c.368]

Расходимость в этом интеграле обрезается из условия, что в рассматриваемой модели во взаимодействии участвуют только электроны с энергией в слое толщиной 2шд около поверхности Ферми. Выполняя интегрирование, найдем [c.383]

Мы увидим ниже, что интегрирование в ядре (37.11) происходит в основном вблизи поверхности Ферми по узкой области значений)/>I порядка] р — р, — А . Далее, в (37.11) фигурируют только два вектора к и А к), причем кА) = 0. Выбирая вектор к в качестве полярной оси координат для переменной интегрирования р и производя усреднения по углам в азимутальной плоскости, сразу же находим, что вектор у (к) направлен вдоль вектора А (к). На основании вышеизложенного, подставляя для функций и их выражения (34.35), получим [c.403]

Причина такой неоднозначности от изменения порядка интегрирования и суммирования кроется в формальной расходимости всего выражения. Как видно, однако, суть дела состоит в том, что при суммировании в первую очередь по частотам оказывается, что результат суммирования отличен от нуля только Б очень узкой области энергий вблизи поверхности Ферми (эта область, как следует из (37.14), имеет ширину — (г>А )). В этой области интеграл по импульсам оказывается быстро сходящимся, и только поэтому выражение для энергии возбуждений, отсчитываемой от поверхности [c.404]

С этой точки зрения не все диаграммы являются эквивалентными. Сравним, например, между собой три диаграммы, изображенные на рис. 102,6 (пунктиры соединяют кресты, относящиеся к одному атому). Нетрудно видеть, что в первых двух выражениях интегрирование по р и р" может производиться вблизи Ферми-поверхности при произвольных углах между импульсами. Наоборот, в третьем интеграле [c.427]

Для чистого металла выражению (39.11) соответствует диаграмма, изображенная на рис. 103, а. После усреднения по положению атомов примеси, помимо простых диаграмм, соответствующих переходу от нулевых функций Грина 0 р) к функциям О (р) (39.8), для величины (39.11) оказываются существенными графики, изображенные на рис. 103, б. Большой вклад от этих поправок связан с тем, что импульс фотона, стоящий в вершине, к р , благодаря чему при интегрировании основной вклад в интеграл дает область импульсов вблизи поверхности Ферми. Диаграмма другого типа, например, график на рис. 103, в, гораздо меньше, поскольку одно из интегрирований происходит по области импульсов, удаленной от поверхности Ферми. Таким образом, усреднение величины (39.11) сводится к суммированию лестницы диаграмм на рис. 103, б. [c.430]

Подстановка этих выражений в (39.20) дает два уравнения для определения т и. Мы видим, что, как и раньше, ( ш содержит постоянный член, означающий аддитивную добавку к химическому потенциалу. Этот член не зависит от температуры и обязан интегрированию по йр вдали от ферми-поверхности. Поэтому этот член тот же, что и для нормального металла [c.435]

Плотность состояний V (е) слабо зависит от е в окрестности е = д.. Поэтому ее можно заменить на у( д.). Первый член в интеграле при интегрировании по дает величину порядка / i, и поскольку нас интересуют электроны вблизи границы Ферми, этой величиной можно пренебречь. [c.67]

На первый взгляд эта формула кажется правильной и с точки зрения идей ферми-жидкости ( 2.2), так как интегрирование в [c.153]

Изучение термодинамики сверхпроводников мы начнем с вычисления температурной зависимости энергетической щели А (Т). Подставляя в формулу (16.21) функцию Ферми и переходя-к интегрированию по импульсам, получаем уравнение для определения А [c.299]

Интегрирование в (32.16) проводится по поверхности Ферми, поэтому тензор проводимости металла зависит только от свойств электронов на поверхности Ферми. Высокая проводимость металла обусловлена большой подвижностью электронов. В изотропном [c.195]

Интегрирование в (33.17) выполняется по поверхности Ферми. [c.204]

Формула (32), содержащая б-функцию, имеет смысл лишь при ее последующем интегрировании по непрерывному множеству вырожденных конечных (и/или начальных) состояний >. При этом б-функция переходит в число этих состояний, приходящихся на единичный интервал частоты dg/d(ii (так называемая плотность состояний), и формулу (32) называют золотым правилом Ферми . [c.65]

Легко убедиться, что из принципа Ферма также зытекает закон обратимости светового пути. В действительности перемена пределов интегрирования в выражении (7.1) не нарушает его справедливость, так как если вариация интеграла равна нулю при интегриропатт от А до В, то она равна нулю и при интегрировании от до Л. [c.172]

Интегрирование в (7.130) нуяшо провести от дна зоны с До ее потолка. Однако функция Ферми — Дирака при Е>Ер быстро спадает до нуля, и поэтому верхний предел интегрирования в (7.130) заменен на бесконечность. [c.244]

Структура энергетических зон алюминия изучалась Матиасом и позднее Леем. Рейнор [16] приводит зависимость д(г), вычисленную Матиасом. Первая и вторая зоны перекрываются, а граница Ферми соответствует такому значению энергии, когда электроны обеих зон играют еще значительную роль таким образом, величина рв должна быть больше единицы. Величина полученная численным интегрированием, равна 0,87, чему соответствует рд = 2,2, тогда как, согласно измерениям Кеезома и Кока, р =1,6 (в иредноложении, что Пд=3). Лей при обсуждении упругих свойств алюминия отмечал, что структура зон, по-видимому, отличается от предложенной [c.343]

На расстоянии Хо от поверхности кристалла порядка или меньше межатомного определить силы, удерживающие электрон в кристалле, довольно трудно и выражение (8.1) для х Xq неприменимо. Но, к счастью, для большинства практически важных задач достаточно знать лишь полную высоту барьера, отсчитанную от дна зоны проводимости Ес, называемую внешней работой выхода (рис. 8.1, в), высоту барьера, отсчитанную от уровня Ферми )л, которую называют термодинамичеекой работой выхода (рис. 8.1, в), и, наконец, потенциал силы зеркального изображения при л > JJo, который может быть найден путем интегрирования выражения (8.1). [c.209]

Метод функционального интегрирования обобщается и на случай Ферми—Дирака статистики. В этом случае нужно считать переменные интегрирования антикоммутирующими и пользоваться правилами интегрирования по ферми-полям (сформулированы Ф. А. Березиным, 1961). [c.384]

Энергия Ферми легко вычисляется. Действительно, если фиксировать число частиц, то из (5.4.16) находим в пределе jT->- О [беря г = квТц в качестве переменной интегрирования и используя [c.193]

Выполняя интегрирование по г, снова получим равенство (33). Объединяя результат первого порядка (47) с уравнением Пуассона, найдем правильное обобщение уравнения Мотта (34), которое определяет самосогласуе-мую потенциальную энергию V(r) вследствие применения точечных ионов в Ферми-газе, т. е. [c.27]

Может оказаться, что некоторые члены выражения (П.4) не понадобятся какие именно — зависит от типа конструкции. Например, если ферма с шарнирными узлами нагружена только в узлах, то в стержнях этой фермы не будут иметь место деформации изгиба, сдвига и кручения и в выражении (11.4) останется только первый член. Кроме того, осевые силы в стержнях будут постоянными но длине стержней поэтому в случае призматических стержней интегрирование по длине одного стержня приводит к величине NхЫгде — длина стержня. Тогда суммирование по всем стержням фермы дает [c.427]

Метод Брадта типичен для методов, зависящих от поперечного сечения деления. Для определения 17 Брадт использовал один из методов Ферми [17] для опреде.тения числа нейтронов (р излученных источником в секунду. Этот метод состоит в измерении плотности нейтронов в большом количестве замедляющего вещества (в данном случае воде), окружающего источник, и графического интегрирования кривой плотности. Если источник излучает N нейтронов за время равное средней продолжительности жизни тепловых нейтронов в воде, то [c.340]

Ферма (Fermat) Яьрр (1601-1665) — французский математик. Юрист, математикой занимался в свободное время, при жизни почти не печатался. Работал в области теории чисел, математического анализа и аналитической геометрии. В теории чисел известен знаменитой теоремой Ферма в области анализа установил закон интегрирования и дифференцирования степени, вывел формулу и1гтегрир0вания по частям, сформулировал правило нахождения экстремума. В геометрии ввел уравнение прямой и кривой второго порядка. В геометрической оптике впервые научно сформулировал вариационный принцип. [c.439]

Нетрудно обобщить уравнения раздела Б1 на случай, когда предполагается, что а [В) падает до нуля при произвольной энергии Вс. Это приводит к тому, что нижний предел интегрирования в (А2) равен Вс вместо нуля, а при использовании переменной интегрирования х = В кТ нижний предел Хс = Вс1кТ. Поэтому вводится модифицированный интеграл Ферми—Дирака [c.236]

ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕ М ЕЩЕ НИИ. Графич. способам отдают предпочтение, когда требуется определить перемещения целого ряда точек, напр, прогибы всех узлов фермы. В отдельных случаях и для нахождения перемещения одной точки графич. приемы могут дать наиболее простое, а иногда и единственное решение, именно, когда ана-литич. решение сопряжено с интегрированием сложно интегрируемых или неинтегрируемых ф-ий. Г. о п. применяется как для систем сплошных (балки, арки, рамы), так и для систем шарнирно-стержневых (фермы). И в том и в другом случае предполагается, как это вообще принято в теории сооружений, что перемещения являются величинами весьма малыми по сравнению с общими размерами тела поэтому для тел гибких (проволока, кабель ИТ. п.) излагаемые ниже приемы неприменимы. [c.6]

Так как в интеграле формулы (2.17) существенны лищь изменения Ьп вблизи ферми-границы, то можно произвести интегрирование по абсолютной величине импульса. Это дает [c.39]

Здесь Sf и —площади сечений ферми-поверхности плоскостью /> ( = onst в случаях, если внутри контура находится область меньших (S,) или больших (S ) энергий. Изменение знака для дырок вытекает из того, что их движение вдоль орбиты происходит в противоположном направлении по отношению к электрону. Общий знак может быть легко получен сравнением с изотропным случаем (/>, = />x OsQ/i, Ру = — p sinQ/i). Интегрирование по dpg дает [c.81]

Здесь использовано преобразование интеграла по импульсам (2.23) и то обстоятельство, что dfjdefa—б(е—и). Интегрирование в (7.14) происходит вдоль ферми-поверхности. [c.109]

Переходя к интегрированию по и учитывая, что интеграл бе рется по окрестностям границы Ферми, получаем [c.292]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...