Абстрактная динамическая система

Абстрактные динамические системы [c.15]

Определение 2.1 . Абстрактной динамической системой (М, //, (pt) называется набор, состоящий из измеримого пространства М с мерой /i и группы (pt автоморфизмов mod О, сохраняющих меру [c.15]

Пример 5.1. Существуют абстрактные динамические системы, не реализуемые диффеоморфизмами компактных многообразий (см. гл. 2,12.39). [c.20]

Определение 7.1. Абстрактная динамическая система (М, /i, (ft) называется эргодической если для любой //-суммируемой комплекснозначной функции / Е Хх(М, //) ее временное среднее равно ее пространственному среднему п. в. [c.23]

Следствие 7.6. Абстрактная динамическая система эргодична в том и только том случае если она неразложима т. е. если все инвариантные измеримые множества имеют меру О или 1. [c.24]

Определение 8.2. Абстрактная динамическая система (М, //, (pt) есть перемешивание если [c.26]

Пусть (М, /X, (р) — абстрактная динамическая система. Обозначим через 2(М, ц) гильбертово пространство определенных на М комплекснозначных функций, квадрат модуля которых //-суммируем. Если /, Е 2(М, //), то положим [c.29]

Для любого неотрицательного числа а существует абстрактная динамическая система, а именно — схема Бернулли, энтропия которой равна а. [c.48]

Мы видели пример 10.6), что все схемы Бернулли принадлежат к одному и тому же спектральному типу. Так как эти схемы могут иметь различные энтропии, а энтропия — инвариант, ясно, что существуют абстрактные динамические системы, которые не изоморфны, но принадлежат к одному и тому же спектральному типу. [c.48]

Пусть (М, /X, р) — абстрактная динамическая система, — разбиение (М, ц) на множества меры (г = 1,. .., гг). Автоморфизм Зп про- [c.54]

Абстрактная динамическая система 15 Автоморфизм 123 [c.278]

Эволюцию динамической системы можно наблюдать в пространстве состояний системы. Множество начальных условий - состояний дина мической системы, - на котором определено расстояние между каждой парой точек, образует фазовое пространство динамической системы. Это абстрактное пространство, в котором координатами служат величины, описывающие состояние системы. Фазовое пространство систем классической механики, например, характеризующее состояние процесса движения ТУ материальных точек, есть множество, элементом которого является набор положений и скоростей всех точек данной системы. Подумайте сами, какова размерность такого фазового пространства. В случае экологической модели в качестве координат фазового пространства выбирают, например, численности популяций различных биологических видов. [c.81]

В последней статье Р. Боуэн распространяет понятие топологической энтропии иа динамические системы с некомпактным фазовым пространством. Хотя исследуемая ситуация здесь более абстрактна и не предполагает гладкости, все же легко проследить связь результатов и методов с остальной частью сборника, например с 2 первой статьи. [c.7]

Фазовое пространство В механике фазовое пространство — абстрактное математическое пространство, в котором координатами служат обобщенные координаты и обобщенные импульсы. В динамических системах, задаваемых системой эволюционных уравнений первого порядка, координатами служат переменные состояния, или компоненты вектора состояния. [c.275]

В дальнейшем мы будем опускать термин mod 0. Все ранее рассмотренные системы принадлежат к числу абстрактных динамических систем. Каждое компактное риманово многообразие М, снабженное естественной мерой 1 М) = 1, изоморфно отрезку [О, 1]. [c.16]

В дальнейшем для удобства выражения мы часто будем под независимой переменной t понимать время-, в соответствии с этим вместо решений системы (36) мы будем говорить о движении, определяемом этой системой в абстрактном пространстве п измерений х, которое, по аналогии с динамическим случаем, можно называть пространством конфигураций или пространством траекторий. Наряду с этим пространством иногда удобно рассматривать пространство и- -1 измерений j и /, в котором всякое решение системы (36) представится кривой (интегральной), называемой графиком ) соответствующего движения. В этом пространстве, соответственно оо решений уравнений (36), имеется столько же графиков движения, из которых через каждую точку проходит один и только один график. [c.270]

Лагранж дал обд],ую теорию малых колебаний системы с конечным числом степеней свободы, изложив ее прх помощи обобщенных координат. Работа Лагранжа написана намеренно несколько абстрактно по форме ) полная динамическая интерпретация явления выпала на долю Томсона п Тэта ( Натуральная философия , 1867), которым мы обязаны также современной терминологией в этой области. Теория была значительно развита Рэлеем и систематически использована им в акустике, а также в других областях физики, в его различных работах, большинство которых (вплоть до 1896 г.) включены в его Теорию звука ). [c.81]

Отсюда, как мы уже указывали, очевидно, что недостаточно для определения динамического состояния знать одно лишь термодинамическое состояние. Изучая термодинамическое состояние однородной жидкости при заданном объеме и температуре (давление определяется в этом случае из уравнении состояния), мы видим, что имеется бесконечное число соответствуюш их ему состояний молекулярного движения. С течением времени система последовательно проходит все динамические состояния, соответствующие данному термодинамическому состоянию. Исходя из этого, можно сказать, что термодинамическое состояние есть совокупность динамических состояний, через которые в результате молекулярного движения система быстро проходит. Это определение состояния скорее абстрактное и отнюдь не единственное, а потому мы в каждом отдельном случае будем указывать, какими переменными величинами описывается состояние. [c.11]

Отображения Пуанкаре для автономных систем. Стационарные колебания могут возбуждаться без периодических или случайных воздействий также и в том случае, если движение порождается динамической неустойчивостью, как, например, индуцированные ветровым потоком колебания упругой структуры (рис. 2.13) или создаваемое градиентом температуры конвективное движение жидкости или газа (например, конвекция Бенара— см. рис. 1.23). В электрических системах или системах управления с обратной связью самовозбуждающиеся колебания могут возникать благодаря элементам с отрицательным сопротивлением или отрицательной обратной связи. Тогда возникает вопрос о том, в какие моменты времени следует проводить измерения, чтобы получить отображение Пуанкаре. Обсуждение этого вопроса мы проведем на несколько более абстрактном языке. [c.61]

Прежде чем переходить к изложению абстрактной теории рассеяния, напомним способы описания временной зависимости в квантовой механике. В одно.м из них — представление Шредингера—векторы состояния, описывающие физическую систему, зависят от времени операторы же, соответствующие динамическим переменным системы, постоянны, т. е. не зависят от времени, если не учитывать явной собственной временной зависимости. Представление Шредингера наиболее легко интерпретировать на языке волн. Зависимость векторов состояний от времени описывается уравнением Шредингера. [c.144]

Определение 10.2. Пусть (М, /i, ср) — абстрактная динамическая система, 11 — индуцированный унитарный оператор. Говорят, что эта система обладает лебеговским спектром если существует полный ортонормированный базис пространства 2(М, /х), образованный функцией 1 и функциями (г Е Е Щ такими, что [c.36]

G6. Два примера. Лагранжевы уравнения (65.6) связывают наиболее часто встречающиеся динамические системы и излагаем абстрактную теорию. Эта теория приложима ко всем физическим системам, которые ведут себя согласно уравнениям (65.6), независимо от того, действительно ли эта система динамическая или нет. Ср1стема может состоять из электрических контуров с обобщенными скоростями, соответствующими токам. В чисто динамической области благодаря (46.18) настоящая теория приложима ко всем голономным системам, для которых обобщенные силы можно получить дифференцированием потенциальной функции или обобщенной потенциальной функцию. В таких системах кинетическая энергия всегда выражается через квадраты обобщенных скоростей и таким же является лагранжиан L = Т — F), когда [c.217]

В предыдущем параграфе была предложена общая схе.ма. построения интегрируемых динамических систем в двумерном пространстве, связанных с произвольной градуированной алгеброй или супералгеброй Ли, и развит групповой метод нахождения их решений. Он позволяет получить замкнутые выражения. для решений, однако, ввиду отсутствия общего способа описания (определения структурных постоянных) алгебр Ли произвольного положения , сами уравнения не всегда удается представить в явной форме, а не в абстрактной (см. (1.4)). Кроме того, формулировка уравнений существенно зависит от выбора калибровочных условий. Вместе с тем нелинейные динамические системы, порождаемые локальной частью произвольной алгебры. Ли, градуировка которой согласована с целочисленным вложением в ней Зс -подалгебры Ai, удается записать в компактном. виде. Именно такие системы будут рассмотрены ниже. [c.124]

В общем, это верно и в ТДС, хотя в разных ее разделах в разной степени уделяется явное внимание морфизмам и классификации. В более абстрактных разделах это делается более явно, в локальной КТДУ изоморфизмы могут выступать под видом замен координат. Морфизмы могут выступать не только иод другими названиями, но и как бы присутствовать неявно. Так, ограничение динамической системы на инвариантное множество А в понятном смысле является подсистемой , а тождественное вложение А в фазовое пространство — мономорфизмом этих систем. Вот еще несколько определений, связанных с морфизмами. [c.164]

Ф ЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО в статистической физике, многомерное пространство, осями к-рого служат все обобщённые координаты и импульсы р-, ( =1, 2,. .., М) механич. системы с N степенями свободы. Т. о., Ф. п. имеет размерность 2N. Состояние системы изображается в Ф.п. точкой с координатами 51, р , i(fi, рц, а изменение состояния системы во времени—движением точки вдоль линии, называемой фазовой траекторией. Точки, соответствующие определ. значению энергии системы, образуют в Ф. п. (2JV- 1)-мерную поверхность, делящую пространство на две части — более высоких и более низких значений энергии. Поверхности разл. значений энергии не пересекаются. Траектории замкнуюй системы (с пост, значением лежат на этих поверхностях. В принципе траектория может быть рассчитана на основе законов механики, такой расчёт можно осуществить практически, если число частиц системы не слишком велико. Для статистич. описания состояния системы из мн. частиц вводится понятие фазового объёма (элемента объёма Ф. п.) и функции распределении системы — вероятности пребывания точки, изображающей состояние системы, в любом элементе фазового объёма. Понятие Ф.п.— основное для классич. статистич. физики (механики), изучающей ф-ции распределения системы из мн. частиц. Д. Н. Зубарев. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО в теории динамических систем—абстрактное пространство, ассоциированное с конкретной динамич. системой, точки в к-ром однозначно характеризуют все возможные состояния данной системы. Предполагается, что это пространство снабжено естеств. определением меры (расстояний, площадей и т. д.). [c.267]

Обязательная связь временных процессов с пространственным перемещением соединяет механику с физикой и, вместе с тем, отделяет в самой физике понятия, сводимые (с теми или иными оговорками, условиями и границами) к механике, и понятия, не сводимые к ней. Эта же связь между пространством и временем отделяет механику от геометрии. Речь идет не об абстрактной геометрии и не об абстрактных пространствах. Абстрактные пространства могут представлять самые различные ряды явлений и абстрактная теория этих пространств может с одинаковым успехом описывать механические, физические, химические, биологические и экономические аспекты. Речь идет о той первоначальной геометрической концепции, которая считала себя теорией окружающего нас трехмерного пространства (именно к нему и только к нему относится вопрос о связи между пространством и временем), но подготовила понятия, впоследствии обобщенные и получившие абстрактный характер. Статическая космология Аристотеля (неподвижные сферы, неподвижный центр и неподвижные границы мироздания) и теория естественных движений (тела стремятся совпасть со статической конфигурацией своих естественных мест) не выходила за пределы трехмерного пространства. Она придавала ему физический смысл. Схема естественных мест , неподвижного центра и границ Вселенной не включала времени, не изменялась во времени, и тем не менее эта вневременная, чисто пространственная реальность определяла движения тел. В отличие от механики Галилея, от механики виртуальных движений, вообще от механики, возникшей в XVII в., перипатетическая механика исходила не из динамики, а из статики. Не суммирование динамических воздействий объясняло равновесие системы, а, наоборот, динамические эффекты (в том числе падение тел) объяснялись стремлением космической системы к равновесному, статическому, естественному состоянию. [c.381]

По-видимому, обнаружение сложных предельных циклов, а затем и бифуркаций, показывающих дорогу к их дальнейшему усложнению, уже могло бы послужить причиной расширения представлений об автоколебаниях. Однако фактически это произошло несколько позже, когда появились результаты численных экспериментов, доказывающих существование непериодических разовых потоков в диссипативных неравновесных системах [6]. Практически в то же время в абстрактной теории динамических систем появились новые математические объекты — сложные аттракторы, названные Рюэлем и Такенсом странными . [c.305]

Мы ввели оператор момента чисто абстрактным образом, как совокупноеть (деленных на —г А) генераторов группы вращений обычного трехмерного пространства. Не менее абстрактной была и найденная в предыдущем параграфе реализация этих операторов — операторы рождения и уничтожения а+, р+ и а, р не имели никакой связи с динамическими переменными физической системы, к которой относится рассматриваемый момент. Возникает естественный вопрос о существовании физических реализаций этого оператора, т. е. вопрос о том, можно ли построить операторы со свойствами (91) из основных динамических переменных физической системы, скажем из ее координат и импульсов со свойствами (51). [c.437]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...