Инвариантное распределение (мера)

Б. При каких условиях инвариантная мера определяет любое асимптотическое распределение орбит, т. е. для данной /-инвариантной вероятностной меры н можно найти такую точку х, что для всех >р е С Х) выполнено равенство р dfi = [c.145]

Существование инвариантной меры (сосредоточенной на аттракторе), позволяющее распространить эргодическую теорию на диссипативные системы, было доказано для широкого класса динамических систем Боголюбовым и Крыловым (см. [447], т. ), с. 411). Инвариантная мера единственна, если существует только один аттрактор (одна эргодическая компонента движения (ср. п. 5.2а), или строгая эргодичность [486], с. 43). Равновесным распределением ниже в основном тексте называется инвариантное распределение, сосредоточенное на одном аттракторе. Для него временные и фазовые средние совпадают в пределах области притяжения этого аттрактора.— Прим. ред. [c.444]

К вопросу о существовании равновесной динамической системы идейно примыкает вопрос о существовании решения цепочки уравнений Н. Н. Боголюбова (10.44) для начальной моментной функции кр, отвечающей локальному возмущению инвариантного распределения Гиббса (это означает, что мера Р на М, Ж) абсолютно непрерывна по отношению к одному [c.258]

Асимптотические свойства мер Pt. Очень важным представляется вопрос об асимптотическом поведении мер Pt, задающих временную эволюцию меры Ро = Р (см. определение 3.2). Естественная гипотеза состоит в том, что в невырожденных моделях движения для достаточно хороших (в смысле п. 4.2) начальных мер Р меры Pt сходятся при св к инвариантному распределению Гиббса с потенциалом U, для кото- [c.261]

Рассмотренный способ оценки типа распределения страдает субъективизмом и успех его использования в значительной мере зависит от опыта исследователя. К объективным, с этой точки зрения, методам относятся методы проверки гипотез на основе непараметрических статистик. Для этого, используя 1,. . ., х , вычисляют некоторое число, инвариантное к параметрам сдвига и масштаба и называемое критерием согласия. Затем определяется вероятность получения вычисленного критерия при условии, что модель распределения выбрана правильно. Если вероятность получить вычисленное значение критерия оказывается мала, то исходная статистическая модель отвергается. В инженерной практике малой вероятностью обычно считают 0,10 0,05 и реже 0,01 или 0,001. Для этих значений составляются необходимые статистические таблицы. Заметим, что если вероятность получения вычисленного критерия не мала, то это еще не дает основания считать, что принятый тип распределения является таковым на самом деле. Другими словами, подобная методика позволяет только отвергнуть модель как неправильную, но она не доказывает, что принятая модель верна. Исход проверки гипотез, как и любого статистического испытания, в значительной мере зависит от количества имеющихся данных чем больше данных, тем больше шансов отвергнуть неправильную модель. Если данных очень мало, то часто невозможно установить неадекватность даже двух существенно различных моделей. [c.412]

Пусть х — мера, инвариантная относительно сдвига Бернулли иа пространстве = П , порол денная распределением = — a)v(e) + a/j5 . [c.52]

Пусть теперь на пространстве X определена нормированная борелевская мера д, инвариантная относительно /, а — измеримое разбиение, Тогда на множестве допустимых слов длины М определено распределение вероятностей ) [c.199]

Второй шаг доказательства строгой эргодичности сдвигов тора состоит в демонстрации того, что эргодичность относительно меры Лебега влечет строгую эргодичность. Специальное свойство меры Лебега состоит в том, что она инвариантна относительно всех сдвигов. Естественный контекст, в котором применимы соображения такого рода, — преобразование умножения на элемент в компактных абелевых группах (см. конец 1.3). Однако метод, использованный в доказательстве, имеет и другие приложения (см. упражнения 4.2.3-4.2.7, где этот метод используется для доказательства равномерности распределения дробных частей полиномов). [c.157]

Другие названия — инвариантная мера ) или распределение вероятности. Примем, далее, что Р (х) нормировано на единицу [c.444]

Пусть S — гомеоморфизм многообразия М. Построим семейство цепей Маркова Пв, в котором закон движения случайной точки X выглядит следующим образом вначале х переходит в точку 5(д ), а затем в случайную точку у, выбранную в соответствии с распределением (- 5(д ), е). Семейство цепей Маркова Пе, удовлетворяющее указанному выше условию, называется малым случайным возмущением гомеоморфизма S. Нетрудно показать, что если /г= яе — набор инвариантных мер для цепи Маркова Пе, то всякая предельная (в смысле слабой сходимости) при е->0 мера для семейства h будет инвариантной мерой для S. Нетрудно построить примеры, когда Л при любом >0 содержит несколько мер. [c.151]

Теорема 2.1 ([17]). При любых заданных 2>0 и р>0 существует по меньшей мере одно трансляционно инвариантное конфигурационное распределение Гиббса с потенциалом взаимодействия и и параметрами (z, р). Множество конфигурационных распределений Гиббса u,z,b с потенциалом U и параметрами (z, р) образует выпуклый компакт в пространстве вероятностных мер на (Q, Q) (и тем самым совпадает с замы-жанием выпуклой оболочки множества своих крайних точек). [c.244]

Естественно требовать, чтобы в класс мер, для которых определена эволюция, входили гиббсовские распределения, удовлетворяющие тем или иным ограничениям на потенциал (см. п.п. 2.3—2.6). В частности, если распределение Гиббса с потенциалом взаимодействия и и параметрами (г, р, ро) сосредоточено на М и не меняется при пространственном сдвиге в направлении вектора ро, то оно инвариантно относительно преобразований 5г (см. п. 4.1). [c.252]

Будем говорить, что мера Р трансляционно инвариантна в направлении вектора / о, если Р(Г р Л) = Р(Л) при всех А Ж и Для распределений Гиббса это свойство заведомо имеет [c.257]

Связь определения 4.1 с конструкциями 3 состоит в следующем. В описываемых ниже ситуациях, где построена равновесная динамика, для Р-почти всех х траектория S x задает решение системы уравнений (10.35). С другой стороны, если динамика в смысле определения 3.1 построена на множестве М, имеющем полную меру относительно распределения Гиббса Р из описанного выше класса, то Р будет инвариантной мерой, задающей равновесную динамическую систему в смысле определения 4.1. [c.257]

Асимптотическое поведение распределения Pt при t- oo В этом пункте обсуждается вопрос об асимптотическом поведении вероятностных мер Pt, t R , описывающих временную эволюцию начальной меры Р (см. (10.38)), индуцированную динамикой идеального газа (10.37). Поскольку мы не предполагаем, что мера Р абсолютно непрерывна по какой-либо из инвариантных мер Р 2,с вопрос выходит за рамки построений предыдущего пункта. [c.264]

Можно ожидать, что свойство локальной трансляционной инвариантности сохраняется при временной эволюции и, более того, в соответствии с гипотезами, обсуждавшимися в п. 4.2,-при 8- 0 распределение вероятностей в окрестности точки 6"V порядка о(е" ) близко к распределению Гиббса с потенциа лом С/ и параметрами (z, р, ро), зависяш.ими от q и t. Поэтому (по крайней мере в области отсутствия фазовых переходов) распределение Pi-ч может быть приближенно описано заданием локальных значений параметров z, р, ро) или отвечающих и е локальных значений инвариантов движения средней удельной плотности, средней удельной энергии и среднего удельного импульса (см. п. 4.1). [c.277]

В рамках развиваемого в этой статье бесконечно частичного-подхода аналогом утверждения об эргодичности мйкроканони-ческого распределения является гипотеза о том, что класс всех- достаточно хороших инвариантных мер исчерпывается распределениями Гиббса, о которых говорится в определении 4.1.. (Разумеется, нетрудно построить тривиальные примеры. Например, для потенциала взаимодействия с конечным радиусом Г) инвариантна любая мера, для которой с вероятностью 1 все частицы отстоят друг от друга более, чем на Гь и имеют нулевые импульсы). Представляется, что естественные априорные-ограничения на класс мер, исключающие подобные контрпримеры, могут состоять из предположений следующего типа [c.259]

Аналогичную роль в рамках равновесной динамики играет гипотеза о том, что для невырожденных моделей равновесная динамическая система обладает свойствами перемешивания. Из этой гипотезы вытекала бы сходимость мер Pt Для начальных мер Р, абсолютно непрерывных относительно инвариантного распределения Гиббса с потенциалом U, что соответствует физически утверждению об асимггготическом рассасывании локальных флуктуаций в равновесных динамических системах. [c.262]

Обобщение и значительное расширение наших представлений о глубокой связи между преобразованиями переменных, определяющих состояние движения материальной системы и инвариантностью обобщенных мер движения принадлежит выдающейся женщине-математику Эмми Нётер. Для распределенных систем — в области теории поля —Э. Нётер в 1918 г. установила, что каждой группе преобразований, сохраняющей функцию Лагранжа инвариантной, соответствует определенный закон сохранения ). [c.237]

Действительно, Цермело исходит из предположения, что существует некоторое безусловное (в противоположность условному, возникающему при условии, что предварительный опыт выделил область ДГ ) и инвариантное относительно движения, т. е. стационарное, распределение вероятностей. Приняв, несколько произвольно, за меру вероятности меру по Лиувил-лю (т. е. на поверхности заданной энергии эргодическую меру), Цермело пришел к равномерному распределению вероятностей иа поверхности заданной энергии. Между тем, ни предположение безусловных вероятностей, ни предположение стационарности закона распределения вероятностей не являются в классической теории непосредственно необходимыми. Поэтому ответ, который, по существу, давался в статистической физике на аргументы Цермело, заключался в том, что, отказываясь от этих предположений, принимали существование условных вероятностей и нестационарного распределения вероятностей принимали существование вероятностей в условиях того, что опыт [c.78]

Использование методов традиционной статистической физики для описания стохастизации световых пучков под влиянием случайных неоднородностей или в результате проявления нелинейного лучевого резонанса не всегда приводит к исчерпывающим результатам. Это во многом связано с тем, что статистические методы не учитывают свойства масштабной инвариантности (скейтлинга), которыми при определенных условиях могут обладать амплитудно-фазовые распределения или лучевые структуры световых пучков. Указанный пробел восполняет применение фрактальных моделей. В математике фрактал представляет собой множество точек в метрическом пространстве, для которого невозможно определить какую-либо из традиционных мер с целой размерностью -длину, площадь или объем (их размерности - соответственно первая степень, квадрат и куб длины). Измерение, например, длины фрактальной кривой может дать бесконечный результат, а заметаемой ею площади -нулевой. Задача измерения таких множеств решается введением мер Хаусдорфа с любой (в том числе нецелой) размерностью. Наибольшая размерность меры Хаусдорфа называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича (РХБ) этого множества. Используя эти представления фрактал можно определить, как масштабно-инвариантный, т.е. самоподобный объект, РХБ которого превышает топологическую размерность (1 - для линии, 2 - для поверхности и т.д.). [c.120]

Пусть р —инвариантная относительно сдвига Бернулли мерь в пространстве последовательностей — 1, jV o Ta-циоЕ1арным распределением q = (I — [c.188]

Эргодическая теория восходит своими корнями к знаменитой эргодиче-скои гипотезе Больцмана, которая для систем, встречающихся в статистической механике, постулирует равенство некоторых временных и пространственных средних. В математике понятия эргодической теории появились в результате анализа равномерных распределений последовательностей. В качестве одного из первых примеров можно назвать теорему Кроне-кера — Вейля о равномерном распределении (предложение 4.2.1). А. Пуанкаре заметил, что сохранение конечной инвариантной меры приводит к весьма сильным выводам относительно наличия возвращения, и сформулировал эти выводы в своей теореме о возвращении (теорема 4.1.19 [c.20]

Мы будем рассматривать три больших класса асимптотических инвариантов ( ) скорость роста количества орбит различного вида и сложности семейств орбит, ( 1) характер возвращения орбит и ( ) асимптотическое распределение и статистическое поведение орбит. Первые два класса имеют чисто топологическую природу они обсуждаются в настоящей главе. Последний класс естественно связан с эргодической теорией, и поэтому его описание должно опираться на базовые сведения из этой теории. Такое описание требует некоторого времени, и мы отложим его до следующей главы. Таким образом, эти две главы оказываются тесно связанными. Мотивировкой для введения инвариантных мер и эргодической теории в следующей главе служит попытка более количественным образом понять качественные явления возвращаемости в топологическом и гладком случаях, которые обсуждаются в настоящей главе. [c.117]

Таким образом, мы ответили на вопрос Б из п. 4.1 а. Инвариантная мера определяет асимптотическое распределение /л-почти всякой точки, если соответствующее преобразование эргодично. Подчеркнем, что неэргодическая инвариантная мера р может также определять асимптотическое распределение некоторой орбиты, но такие орбиты всегда образуют множество, мера р которого равна нулю (см. упражнение 4.1.3). [c.148]

Инвариантная мера Функш1я распределения, описывающая вероятность при / — со, найти траекторию системы в данной области фазового пространства. [c.269]

Теорема Биркгофа утверждает, что при условиях (11у/(д ) = О и 0<р,(Х ) < +00, упоминавшихся выше, асимптотическая функция распределения 11З1 существует для всех тех интегральных кривых х 1) = х° в X, для которых точка не принадлежит множеству с нулевой р,-мерой. Другими словами, почти все интегральные кривые, лежащие в неограниченно продолжаемом инвариантном множестве X, обладают асимптотической функцией распределения ). [c.113]

Пусть задано распределение вероятностей Р на (М, Л). Прк каждом /1=1, 2,.. . определим я-моментную меру /Ср" на а-ал-гебре борелевских подмножеств множества (10.25), инвариантных при перестановках точек лГу, у = 1,.,.,/г, с помощью равенства [c.249]

Задача нахождения инвариантных мер ставилась в [12], [76] как задача о нахождении стационарных по времени решений цепочки уравнений Боголюбова, т. е. о нахождении моментных функций, для которых обращается в нуль левая часть уравнений (10.44). Основная теорема [12], [76] утверждает, что внутри описанного класса мер каждое из таких стационарных решений задает моментные функции одного из распределений Гиббса, фигурирующих в опредёлении 4.1. [c.260]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...