Принцип наименьшею времени

Формулировка принципа. Ферма предположил, что распространение света из одной точки в другую происходит по такому пути, прохождение которого требует меньше времени, чем любые другие пути между теми же точками. В это.м заключается существо принципа Ферма, называемого также принципом наименьшего времени. [c.167]

Оптическая длина кривой между точками А и В пропорциональна времени, требующемуся свету для прохождения вдоль этой кривой. Поэтому принцип Ферма можно сформулировать так же, как и принцип наименьшего времени свет выбирает из всех возможных путей, соединяющих две точки, тот путь, который требует наименьшего времени для его прохождения. [c.276]

Это неравенство выражает принцип наименьшего времени распространения Ферма путь луча света отличается тем [c.309]

Эго уравнение представляет частный случай уравнения Гамильтона (21) 110. Эти уравнения имеют важное значение в гамильтоновом изложении геометрической оптики. Конечно, физический смысл функции U в волновой теории света другой, там она измеряет время распространения, а не. действие". В соответствии с этим основанием формулы служит тогда вместо принципа наименьшего действия" принцип. наименьшего времени", который сформулировал Ферма ( 111). [c.274]

Для того чтобы решить эту задачу, надо воспользоваться новой математикой, в первую очередь аналитической геометрией Декарта. Первым применил этот метод к геометрической оптике Малюс. Однако метод Гамильтона имеет более общий характер. Вводя одну функцию, которая полностью характеризует оптическую систему, Гамильтон указывает Функция, которую я. .. полагаю в основу своего метода дедукции в математической оптике, представлялась прежним авторам в другой связи выражением результата весьма высокой и обширной индукции она называется законом наименьшего действия, а иногда принципом наименьшего времени и заключает в себе все, что было до сих пор открыто относительно правил, определяющих форму и положение линий, по которым распространяется свет, и изменений направления этих линий, вызываемых отражением или преломлением, обычным или необычным. Некоторое количество, являющееся в одной теории действием, а в другой — временем, затрачиваемое при переходе от любой одной точки к любой другой, оказывается меньшим, если свет идет своим фактическим путем, а не каким-нибудь иным, или же, по крайней мере, имеет то, что на языке специалистов называется вариацией, равной нулю ). [c.810]

Принцип наименьшего времени в оптике [c.12]

Рассмотрим задачу о траекториях лучей света в неоднородной (но изотропной) оптической среде, показатель преломления N(r) которой не зависит от времени. Согласно принципу наименьшего времени траектория луча света, проходящего через две точки гиг, выделяется из семейства бесконечно близких кривых, соединяющих эти две точки тем, что время Т(г, г), затрачиваемое на прохождение луча вдоль действительной траектории, оказывается минимальным [c.12]

Принцип наименьшего времени б оптике 13 [c.13]

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ВРЕМЕНИ В ОПТИКЕ 15 [c.15]

И. Уравнение 4-эйконала выведено нами из принципа наименьшего времени. Этот вывод существенно связан с предположением, что показатель преломления N (или, в общем случае, метрические потенциалы не зависят явно от времени. Однако хорошо известно, что уравнение [c.15]

Теорема, которую мы только что сформулировали для весьма частного случая, аналогична теореме, выражающей принцип наименьшего действия, но отлична от нее, как мы это сейчас покажем, так как теорема о наименьшем действии не зависит от рассмотрения времени. [c.225]

Формулировка принципа. — Принцип наименьшего действия, впервые точно сформулированный Якоби, аналогичен принципу Гамильтона, но менее общ и более труден для доказательства. Этот принцип применим только к тому случаю, когда связи и силовая функция не зависят от времени и когда, следовательно, существует интеграл живой силы. [c.225]

Принцип наименьшего действия.—Классический принцип наименьшего действия есть частный случай предыдущего общего принципа. Если связи не зависят от времени и существует силовая функция, тоже не зависящая от времени. [c.321]

Таков принцип наименьшего действия в той форме, которую ему дал Лагранж. Якоби значительно уточнил этот принцип, показав, что он приводит к дифференциальным уравнениям траекторий и позволяет определить их независимо от времени, в течение которого они описываются (п°431 и 432). [c.322]

Принцип Гамильтона, так же как и остальные принципы наименьшего действия, кажущимся образом противоречит нашему представлению о причинности, поскольку, согласно этому принципу, протекание процесса во времени определяется не состоянием системы в настоящий момент, а выводится с учетом в равной мере прошедшего и будущего системы. Интегральные принципы являются, казалось бы, не каузальными, а телеологическими. К этому вопросу мы вернемся в 37, когда будем рассматривать историческое происхождение принципов наименьшего действия. Там же мы коснемся вопроса о распространении принципа Гамильтона на другие области физики. [c.247]

В своих знаменитых Лекциях по динамике , читанных в 1842 г. в Кенигсберге , Якоби обосновал необходимость полного исключения времени t из выражения принципа наименьшего действия. Это возможно потому, что [c.276]

Гауссов принцип наименьшего принуждения является, таким образом, истинно минимальным принципом, подобно принципу наименьшего действия притом гауссов принцип проще, так как он не требует интегрирования по времени. Это преимущество, однако, далеко не искупает того недо- [c.133]

Время как циклическая переменная принцип Якоби принцип наименьшего действия. Рассмотрим склерономную или консервативную систему с функцией Лагранжа, не зависящей явно от времени. Представим себе, что мы не используем время t как независимую переменную и что все п + 1 переменных q , и заданы как функции некото- [c.159]

Принцип Якоби является фундаментальным принципом механики. Если ограничиться случаем одной частицы, то линейный элемент ds совпадает с линейным элементом обычного трехмерного пространства в произвольных криволинейных координатах. Принцип Якоби в этом случае оказывается механическим аналогом принципа Ферма наименьшего времени в оптике, согласно которому оптический путь светового луча определяется минимизацией интеграла [c.162]

Резюме. При параметрическом задании движения время является дополнительной координатой, которая может принять участие в процессе варьирования. Импульс, соответствующий временной координате, является полной энергией, взятой с обратным знаком. Для склерономных систем время становится циклической координатой, а соответствующий импульс — константой. Это приводит к теореме сохранения энергии для консервативных систем. Исключение времени как циклической координаты позволяет сформулировать новый принцип, определяющий лишь путь механической системы, а не ее движение во времени. Это — принцип Якоби, аналогичный принципу Ферма в оптике. Этот же принцип может быть сформулирован как принцип наименьшего действия . В последнем случае интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии минимизируется с дополнительным условием, что при движении и вдоль истинного, и вдоль проварьированного пути должна выполняться теорема о сохранении энергии. Если этот принцип рассматривать с помощью метода неопределенных множителей, то в качестве результирующих уравнений получаются уравнения движения Лагранжа. [c.165]

В свете всего сказанного о параметрических системах формулировка принципа наименьшего действия для консервативных систем, данная Эйлером и Лагранжем, получает новый смысл. Напомним, что этот принцип требует минимизации интеграла по времени от величины 2Т при условии, что для движущейся точки выполняется энергетическое уравнение Т + V = . При переходе от пространства конфигураций к фазовому пространству принцип Эйлера — Лагранжа принимает следующую форму. Требуется найти условия стационарности интеграла [c.221]

Довольно любопытна также и другая работа Бернулли. Сравнивая движение частицы в поле заданной силы с распространением света в оптически неоднородной среде, он попытался создать на этой основе механическую теорию коэффициента преломления. Этим Бернулли предвосхитил великую теорию Гамильтона, в которой было показано, что принцип наименьшего действия в механике и принцип минимального времени распространения, носящий имя Ферма, аналогичны в своих выводах, что позволяет [c.386]

Якоби дал также новую формулировку принципа наименьшего действия для случая независимости от времени, который рассматривали Эйлер и Лагранж. Он критиковал их формулировку на том основании, что область интегрирования у них не удовлетворяет условию варьирования при фиксированных граничных значениях. Хотя в действительности Эйлер и Лагранж применяли свой принцип вполне корректно, исключение времени из вариационного интеграла, произведенное Якоби, привело к новому принципу, определяющему траекторию движущейся точки без всякого указания на то, как движение происходит во времени. Сходство этого принципа с принципом Ферма о наименьшем времени распространения света, из которого может быть определена траектория светового луча, непосредственно устанавливало аналогию между оптическими и механическими явлениями. [c.392]

Гаусс (1777—1855). Несколько в стороне от главного направления лежит принцип наименьшего принуждения , установленный выдающимся математиком Гауссом. В этом принципе не используется в качестве минимизируемой функции интеграл по времени. Гаусс вводит для произвол-ьного момента времени определенную положительную величину, называемую принуждением , и минимизацией этой величины получает ускорения, считая скорости и координаты в этот момент заданными. Принцип Гаусса является истинным минимальным принципом, а не просто принципом стационарного значения. Однако он не обладает аналитическими преимуществами других принципов, поскольку принуждение включает в себя, помимо позиционных координат и скоростей, еще и ускорения. Герц дал геометрическую интерпретацию принуждения Гаусса, представив его как геодезическую кривизну в пространстве конфигураций [c.392]

Итак, вряд ли можно было придумать что-нибудь более нелепое, чем тот известный отрывок из письма, где великому Лейбницу приписывается принцип, прямо противоположный тому, который он публично предложил. И разница во времени не может оправдать это очевидное противоречие, если бы мы даже предположили, что Лейбниц в разные времена применял различные принципы. Ведь поскольку Лейбниц объяснял преломление из принципа, совершенно противоположного и весьма расходящегося с принципом наименьшего действия, то если бы он в дальнейшем пришел к познанию этого всеобщего принципа, который может быть очень легко приложен к явлениям света, он, несомненно, тотчас же пожелал бы показать его применение для того случая, который он раньше выводил из противоположного принципа. [c.103]

Согласно принципу наименьшего времени Ферма, вариация интеграла, которым определяется время [заспространения света, должна обращаться в нуль [c.168]

При выводе закона преломления Р. Декарт представлял распространение света в виде потока частиц, движущихся с бесконечной скоростью. Для получения правильной формы закона он был вьшужден предположить, что скорость света в более плотной среде больше, чем в менее плотной. Однако если скорость света бесконечна, то последнее утверждение бессмысленно. Теория Декарта была, таким 0бр 130м, внутренне противоречивой. Современник Декарта П. Ферма вывел закон преломления исходя из выдвинутого им принципа наименьшего времени, суть которого заключается в следующем. Действительный путь распространения света, утверждал Ферма, есть путь, для прохождения которого свету потребуется минимальное время по сравнению с временем распространения его по любому другому мысленному пути между этими же двумя точками. Легко видеть, что этот принцип содержит в себе утверж,цение о конечности скорости света. Вопрос об измерении с приобретал решающее значение для признания справедливости разотчных теорий. [c.119]

Резюме. Механические траектории консервативных систем могут быть получены из частного решения уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби с помощью построения ортогональных траекторий к поверхностям S = onst. Это построение аналогично построению волнового фронта и световых лучей в геометрической оптике. Поверхности равного времени в оптике соответствуют поверхностям равного действия в механике, а принцип наименьшего времени Ферма — принципу наименьшего действия или принципу Якоби. И оптические и механические явления могут быть описаны как с помощью волн, так и с помощью частиц. При описании с помощью волн мы оперируем с бесконечным семейством поверхностей, которое определяется уравнением в частных производных Гамильтона. При описании же с помощью частиц мы оперируем с ортогональными траекториями к этим поверхностям, и они определяются принципами. Ферма и Якоби. Аналогия распространяется только на траектории механических частиц, не касаясь того, как движение происходит во времени. Кроме того, ири этой аналогии среди всех возможных механических траекторий выделяются те, по которым движение начинается перпендикулярно к заданной поверхности. [c.314]

Следует добавить, что уравнения (9) на основании принципа наименьшего времени". (принцип Ферма) представляют диференциальные уравнения траектории све-ювого луча в гетерогенной (неоднородной) среде с показателем преломления (л. [c.289]

Но хотя мнение Ферма было поддержано многими философами и математиками, которые не были приверженцами учения Декарта, дело, однако, обстояло далеко не так, чтобы Ферма мог претендовать на открытие всеобщего закона, которому природа следует во всех своих проявлениях. Ведь этот проницательнейший ученый муж хорошо понимал, что такой принцип наименьшего времени имеет место только в движении света и никоим образом не может распространяться на другие явления он никак не мог впасть в такую ошибку, чтобы считать, будто брошенный камень или планеты в небе движутся так, что подчиняются закону наименьшего времени. Поэтому, если бы его мнение и было правильно, оно не имело бы значения для обсуждаемого сейчас вопроса, ибо речь идет не о каком-то специальном принципе, а о самом всеобщем, который был бы действителен для всех проявлений природы. И еще из-за того, что он имел противником Декарта и не сумел его опровергнуть, он тем более не может повредить нашей течке зрения. [c.100]

Фазы, влияние на звук 447, 450 Фарадеевы исследования ряби 336 Ферма принцип наименьшего времени 129 Фонограф 454 [c.475]

В оптике существует фундаментальный закон, вытекающий из принципа наименьшего времени Ферма, в соответствии с которым в любой среде все лучи, исходящие из точки X. и приходящие в другую точку Y, перемещаются от X до У ла одно и то же время, независимо от пройденного иути. Применив его к волокну, можно видеть, что если было бы возможно найти такой профиль показателя преломления сердцевины, который обеспечивал бы постоянство г,, и Ф и равенство их для всех значений Е и /, то это означало бы, что волокно с таким профилем было бы свободно от межмодовой дисперсии. Известно, что таких профилей не существует. Однако изменение 2 и Ф в пределах диапазона значений Е и / для лучей, распространяющихся в волокне, является мерой дисперсии волокна. [c.163]

Для обоснования геометрической оптики применяют различные постулаты, или принципы. В частности, используют принцип наикратчайшего оптического пути (или наименьшего времени), сформулированный Ферма в середине XVII в. Покажем, что этот принцип следует из уравнений электромагнитной теории [c.274]

Уильям Роуан Гамильтон, видный ирландский математик, в статьях Об общем методе динамики , написанных в 1834—1835 гг., для определения движения вводит новые переменные и новые функции, формулируя общий принцип наименьшего действия. "При этом главная функция, зависящая от начальных и конечных координат и времени, равна сумме живых сил (Г) и сил напряжения (Я). Последние, называемые силовой функцией, для стационарных, то есть не изменяющихся во времени, консервативных систем (механических систем, при движении которых сумма Т- П постоянна), выражают полную энергию системы. [c.117]

Принцип наим1еньшего действия. Этот принцип, менее общий чем принцип Гамильтона, применим к движению системы, связи которой не зависят от времени и на которую действуют силы, имеющие силовую функцию и. Принцип наименьшего действия выражает геометрическое свойство системы, не зависящее от понятия времени. [c.388]

Это необходимое условие экстремума приводит, вообще говоря, к минимуму интеграла (2), откуда и происходит название принцип наименьшего действия. Условие минимума представляется наиболее естественным, так как величина Т существенно положительна, и потому интеграл (2) необходимо должен иметь минимум. Существование минимума может быть строго доказано, если только промежуток времени доста- [c.226]

Следует подчеркнуть, что в принципе наименьшего действия в форме Якоби рассматривается траектория изображающей точки, а не закон ее движения по этой траектории. Это видно из того, что уравнение (7.44) содержит элемент траектории dp и не содержит времени /, так как Н = onst, а V зависит только от Qi. Поэтому из принципа наименьшего действия в форме Якоби можно получить дифференциальные уравнения траектории изображающей точки. Это лучше всего сделать посредством введения какого-либо параметра, например расстояния вдоль траектории. Тогда уравнение (7.44) можно будет записать в виде [c.259]

Лейбниц тоже пытался отвергнуть объяснение Ферма в A ta Lipsiensia за 1682 год он для объяснения преломления света решил снова ввести в философию конечные причины, изгнанные Декартом, так, чтобы одновременно могло оставаться в силе то объяснение Декарта, взятое из столкновения тел, которое было противоположно объяснению Ферма. Итак, он решительно отрицает, что природа стремится к кратчайшему пути или к наименьшему времени, но утверждает, что она скорее избирает наиболее легкий путь, — а это не следует смешивать ни с тем, ни с другим из предыдущих. А чтобы определить этот наиболее легкий путь, он обращается к сопротивлению, которое встречают лучи света, проникающие через какую-нибудь прозрачную среду, и принимает, что сопротивление различных сред различно. Он стоит также на том — ив этом он, кажется, поддерживает мнение Ферма, — что в более плотной среде, как, например, в воде и стекле, сопротивление больше, чем в воздухе и в других более редких средах. Исходя из такой предпосылки, он выдвигает понятие трудности (diffi ultas), которую преодолевает луч, проходя через какую-либо среду, и эту трудность он определяет из длины пути, помноженной на сопротивление. Он полагает, что луч всегда следует по такому пути, для которого сумма всех трудностей, полученных указанным выше путем, была бы наименьшей отсюда он по методу максимумов и минимумов выводит то же самое правило, которому учит опыт. На первый взгляд кажется, что такое объяснение согласуется с объяснением Ферма. Однако дальше он с удивительной тонкостью истолковывает его так, что оно прямо противопоставляется Ферма и сближается с объяснением Декарта. Ведь, хотя он считает сопротивление стекла большим, чем сопротивление воздуха, он, однако, утверждает, что лучи в стекле распространяются быстрее, чем в воздухе, и это именно потому, что сопротивление у стекла больше, чем у воздуха. Это было бы, разумеется, величайшим парадоксом. Но он старается понять это следующим образом при большом сопротивлении, говорит он, достигается то, что лучи меньше рассеиваются, в то время как там, где сопротивление меньше, они больше рассеиваются по сторонам. А когда рассеиванье сдерживается, лучи больше сжимаются на своей тропе и подобно реке, которая должна проходить по более узкому руслу, отсюда приобретают большую скорость. Итак, объяснения Лейбница и Декарта сходятся в том, что оба они приписывают лучам в более плотной среде большую скорость. Относительно же причины этого увеличения скорости взгляды их прямо противоположны, ибо, по мнению Декарта, лучи в более плотной среде движутся быстрее потому, что сопротивление там меньше, Лейбниц же приписывал увеличение скорости большему сопротивлению. Можно ли допустить такую мысль или нельзя — я не стану это здесь разбирать. Однако я должен указать на то, что сам Лейбниц этот принцип наиболее легкого пути, хотя он кажется установленным как всеобщий, не прилагал ни к какому другому случаю и не учил, каким образом следует определять в других случаях эту самую трудность, которая должна быть наименьшей. А если он скажет, что это нужно делать так же, как здесь, т. е. брать произведение пройденного пути на сопротивление, то в большинстве случаев вообще невозможно будет определить это сопротивление, ибо оно является понятием весьма расплывчатым. Тогда же, когда нет никакого сопротивления, как, например, в движении небесных тел, каким образом можно будет определить трудность Или, может быть, из одного только пройденного пути, так как сопротивление здесь повсюду должно приниматься за нулевое Но отсюда вытекало бы, что при таком движении сам пройденный путь должен быть наименьшим, и поэтому он был бы прямолинейным, вопреки тому, что показывает практика. Если же движение происходит в сопротивляющейся среде, где во всяком случае имеется сопро- [c.101]

Ведь в то время как последователи Лейбница по заслугам высоко ценят как все его сочинения, так в том числе и упомянутую статью, помещенную в A ta Lipsiensia, приходится, право, весьма удивляться тому, что знам. барон фон Вольф, в остальном последовательный приверженец взглядов Лейбница, в объяснении преломления света так далеко отошел от своего учителя, что, отвергнув его чрезвычайно тонкое объяснение, решил перенести в свои Элементы диоптрики объяснение Ферма, осмеянное Лейбницем. Так, во второй задаче 35 этот великий муж, исходя из положения, что скорость света различна в различных средах, а именно, в более плотных скорость меньше, в более редких — больше, ищет время, за которое луч, следуя по како,му-либо пути, дойдет от данной точки до другой, расположенной в другой среде. Отсюда он заключает, что, поскольку природа действует всегда кратчайшим путем, это время должно быть наименьшим. Здесь, однако, не видно, каким образом он от кратчайшего пути выводит заключение о наименьшем времени. Кроме того, он не приводит никакого доказательства этого утверждения и никакой ссылки, в то время как в ином случае он едва ли привел бы без ссылки даже аксиому, что целое больше своей части. Отсюда, таким образом, поскольку главный последователь Лейбница не только опустил его объяснение преломления, но даже предпочел ему объяснение Ферма, мы можем с уверенностью заключить, что этому проницательному мужу объяснение Лейбница казалось весьма сомнительным, и поэтому такой принцип, которым управлялась бы вся природа, менее всего следует черпать из этого источника. [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...