Ферма принцип наименьшего времени

Формулировка принципа. Ферма предположил, что распространение света из одной точки в другую происходит по такому пути, прохождение которого требует меньше времени, чем любые другие пути между теми же точками. В это.м заключается существо принципа Ферма, называемого также принципом наименьшего времени. [c.167]

Оптическая длина кривой между точками А и В пропорциональна времени, требующемуся свету для прохождения вдоль этой кривой. Поэтому принцип Ферма можно сформулировать так же, как и принцип наименьшего времени свет выбирает из всех возможных путей, соединяющих две точки, тот путь, который требует наименьшего времени для его прохождения. [c.276]

Это неравенство выражает принцип наименьшего времени распространения Ферма путь луча света отличается тем [c.309]

Якоби дал также новую формулировку принципа наименьшего действия для случая независимости от времени, который рассматривали Эйлер и Лагранж. Он критиковал их формулировку на том основании, что область интегрирования у них не удовлетворяет условию варьирования при фиксированных граничных значениях. Хотя в действительности Эйлер и Лагранж применяли свой принцип вполне корректно, исключение времени из вариационного интеграла, произведенное Якоби, привело к новому принципу, определяющему траекторию движущейся точки без всякого указания на то, как движение происходит во времени. Сходство этого принципа с принципом Ферма о наименьшем времени распространения света, из которого может быть определена траектория светового луча, непосредственно устанавливало аналогию между оптическими и механическими явлениями. [c.392]

Эго уравнение представляет частный случай уравнения Гамильтона (21) 110. Эти уравнения имеют важное значение в гамильтоновом изложении геометрической оптики. Конечно, физический смысл функции U в волновой теории света другой, там она измеряет время распространения, а не. действие". В соответствии с этим основанием формулы служит тогда вместо принципа наименьшего действия" принцип. наименьшего времени", который сформулировал Ферма ( 111). [c.274]

Принцип Якоби является фундаментальным принципом механики. Если ограничиться случаем одной частицы, то линейный элемент ds совпадает с линейным элементом обычного трехмерного пространства в произвольных криволинейных координатах. Принцип Якоби в этом случае оказывается механическим аналогом принципа Ферма наименьшего времени в оптике, согласно которому оптический путь светового луча определяется минимизацией интеграла [c.162]

Резюме. При параметрическом задании движения время является дополнительной координатой, которая может принять участие в процессе варьирования. Импульс, соответствующий временной координате, является полной энергией, взятой с обратным знаком. Для склерономных систем время становится циклической координатой, а соответствующий импульс — константой. Это приводит к теореме сохранения энергии для консервативных систем. Исключение времени как циклической координаты позволяет сформулировать новый принцип, определяющий лишь путь механической системы, а не ее движение во времени. Это — принцип Якоби, аналогичный принципу Ферма в оптике. Этот же принцип может быть сформулирован как принцип наименьшего действия . В последнем случае интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии минимизируется с дополнительным условием, что при движении и вдоль истинного, и вдоль проварьированного пути должна выполняться теорема о сохранении энергии. Если этот принцип рассматривать с помощью метода неопределенных множителей, то в качестве результирующих уравнений получаются уравнения движения Лагранжа. [c.165]

Довольно любопытна также и другая работа Бернулли. Сравнивая движение частицы в поле заданной силы с распространением света в оптически неоднородной среде, он попытался создать на этой основе механическую теорию коэффициента преломления. Этим Бернулли предвосхитил великую теорию Гамильтона, в которой было показано, что принцип наименьшего действия в механике и принцип минимального времени распространения, носящий имя Ферма, аналогичны в своих выводах, что позволяет [c.386]

Через восемь лет после выхода Механики Эйлер обогатил науку первым точным выражением принципа наименьшего действия. Идея этого принципа зародилась в оптике П. Ферма (1601—1665) в 1662 г. вывел закон преломления света, исходя из принципа кратчайшего времени. Затем эта идея была воспринята И. Бернулли (1667—1748), а в 1744 г. ее развил применительно к механике П. Мопертюи (1698—11759). Принцип Мопертюи гласит когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным. Свой принцип Мопертюи обосновывал с помош ью метафизических и теологических доводов. [c.185]

Вариационное исчисление имеет обширную область приложений в математической физике благодаря тому, что физическая система часто ведет себя таким образом, что некоторый функционал, зависящий от ее поведения, принимает стационарное значение. Иначе говоря, уравнения, описывающие физические явления, часто являются условиями стационарности некоторой вариационной задачи. Типичным примером является принцип Ферма в оптике. Он состоит в том, что луч света между двумя точками проходит по пути, который Требует наименьшего времени. Отсюда непосредственно следует вывод, что в любой однородной среде свет распространяется по прямой. [c.15]

Наиболее простым является принцип Ферма, в котором варьируется простейшая физическая величина — время световые лучи распространяются лишь по пути, требующему наименьшего времени. [c.68]

На протяжении веков мы исходили из убеждения, что законы Природы просты, и были щедро вознаграждаемы в проводимых исследованиях законы механики, гравитации, электромагнетизма и термодинамики допускают простые формулировки и могут быть точно представлены всего лишь несколькими уравнениями. Помимо простоты Природа также склонна к оптимизации , т. е. экономии явления Природы часто происходят так, что некоторая физическая величина достигает своего минимального или максимального значения, или, если воспользоваться собирательным термином, достигает экстремального значения. Французский математик Пьер де Ферма (1601-1665) заметил, что изгибание лучей света при прохождении различных сред может быть точно описано на основании одного простого принципа свет распространяется от точки к точке по пути, для прохождения которого необходимо наименьшее время. Действительно, все уравнения движения в механике могут быть получены с помощью принципа наименьшего действия, который гласит если тело в момент времени находится в точке 2 1, а в момент времени 2 — в точке Х2, то движение происходит так, что минимизирует величину, называемую действием. Этот круг вопросов занимательно изложен в Фейнмановских лекциях по физике [1, т. 1, гл. 26 и т. 2, гл. 19]. [c.129]

Рассмотрим одно утверждение геометрической оптики, аналогичное по своему содержанию рассмотренным в этой главе принципам механики. Речь идет о принципе Ферма ). В принципе Ферма утверждается, что луч света в оптически неоднородной среде распространяется вдоль кривой, которой соответствует наименьший промежуток времени, необходимый для прохождения света между двумя фиксированными точками упомянутой среды. [c.208]

В работе Синтез для рефракции (1662 г.) Ферма показал, что законы Декарта преломления световых лучей выводятся из одного принципа, согласно которому свет распространяется вдоль пути наименьшей продолжительности по времени. [c.42]

Фазы, влияние на звук 447, 450 Фарадеевы исследования ряби 336 Ферма принцип наименьшего времени 129 Фонограф 454 [c.475]

Согласно принципу наименьшего времени Ферма, вариация интеграла, которым определяется время [заспространения света, должна обращаться в нуль [c.168]

При выводе закона преломления Р. Декарт представлял распространение света в виде потока частиц, движущихся с бесконечной скоростью. Для получения правильной формы закона он был вьшужден предположить, что скорость света в более плотной среде больше, чем в менее плотной. Однако если скорость света бесконечна, то последнее утверждение бессмысленно. Теория Декарта была, таким 0бр 130м, внутренне противоречивой. Современник Декарта П. Ферма вывел закон преломления исходя из выдвинутого им принципа наименьшего времени, суть которого заключается в следующем. Действительный путь распространения света, утверждал Ферма, есть путь, для прохождения которого свету потребуется минимальное время по сравнению с временем распространения его по любому другому мысленному пути между этими же двумя точками. Легко видеть, что этот принцип содержит в себе утверж,цение о конечности скорости света. Вопрос об измерении с приобретал решающее значение для признания справедливости разотчных теорий. [c.119]

Резюме. Механические траектории консервативных систем могут быть получены из частного решения уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби с помощью построения ортогональных траекторий к поверхностям S = onst. Это построение аналогично построению волнового фронта и световых лучей в геометрической оптике. Поверхности равного времени в оптике соответствуют поверхностям равного действия в механике, а принцип наименьшего времени Ферма — принципу наименьшего действия или принципу Якоби. И оптические и механические явления могут быть описаны как с помощью волн, так и с помощью частиц. При описании с помощью волн мы оперируем с бесконечным семейством поверхностей, которое определяется уравнением в частных производных Гамильтона. При описании же с помощью частиц мы оперируем с ортогональными траекториями к этим поверхностям, и они определяются принципами. Ферма и Якоби. Аналогия распространяется только на траектории механических частиц, не касаясь того, как движение происходит во времени. Кроме того, ири этой аналогии среди всех возможных механических траекторий выделяются те, по которым движение начинается перпендикулярно к заданной поверхности. [c.314]

Следует добавить, что уравнения (9) на основании принципа наименьшего времени". (принцип Ферма) представляют диференциальные уравнения траектории све-ювого луча в гетерогенной (неоднородной) среде с показателем преломления (л. [c.289]

Но хотя мнение Ферма было поддержано многими философами и математиками, которые не были приверженцами учения Декарта, дело, однако, обстояло далеко не так, чтобы Ферма мог претендовать на открытие всеобщего закона, которому природа следует во всех своих проявлениях. Ведь этот проницательнейший ученый муж хорошо понимал, что такой принцип наименьшего времени имеет место только в движении света и никоим образом не может распространяться на другие явления он никак не мог впасть в такую ошибку, чтобы считать, будто брошенный камень или планеты в небе движутся так, что подчиняются закону наименьшего времени. Поэтому, если бы его мнение и было правильно, оно не имело бы значения для обсуждаемого сейчас вопроса, ибо речь идет не о каком-то специальном принципе, а о самом всеобщем, который был бы действителен для всех проявлений природы. И еще из-за того, что он имел противником Декарта и не сумел его опровергнуть, он тем более не может повредить нашей течке зрения. [c.100]

Аналогом принципа Моиертюи вонтике служит Ферма /грипцип наименьшего времени в среде с переменным показателем преломления п траектория луча света [c.246]

В оптике существует фундаментальный закон, вытекающий из принципа наименьшего времени Ферма, в соответствии с которым в любой среде все лучи, исходящие из точки X. и приходящие в другую точку Y, перемещаются от X до У ла одно и то же время, независимо от пройденного иути. Применив его к волокну, можно видеть, что если было бы возможно найти такой профиль показателя преломления сердцевины, который обеспечивал бы постоянство г,, и Ф и равенство их для всех значений Е и /, то это означало бы, что волокно с таким профилем было бы свободно от межмодовой дисперсии. Известно, что таких профилей не существует. Однако изменение 2 и Ф в пределах диапазона значений Е и / для лучей, распространяющихся в волокне, является мерой дисперсии волокна. [c.163]

Для обоснования геометрической оптики применяют различные постулаты, или принципы. В частности, используют принцип наикратчайшего оптического пути (или наименьшего времени), сформулированный Ферма в середине XVII в. Покажем, что этот принцип следует из уравнений электромагнитной теории [c.274]

Лейбниц тоже пытался отвергнуть объяснение Ферма в A ta Lipsiensia за 1682 год он для объяснения преломления света решил снова ввести в философию конечные причины, изгнанные Декартом, так, чтобы одновременно могло оставаться в силе то объяснение Декарта, взятое из столкновения тел, которое было противоположно объяснению Ферма. Итак, он решительно отрицает, что природа стремится к кратчайшему пути или к наименьшему времени, но утверждает, что она скорее избирает наиболее легкий путь, — а это не следует смешивать ни с тем, ни с другим из предыдущих. А чтобы определить этот наиболее легкий путь, он обращается к сопротивлению, которое встречают лучи света, проникающие через какую-нибудь прозрачную среду, и принимает, что сопротивление различных сред различно. Он стоит также на том — ив этом он, кажется, поддерживает мнение Ферма, — что в более плотной среде, как, например, в воде и стекле, сопротивление больше, чем в воздухе и в других более редких средах. Исходя из такой предпосылки, он выдвигает понятие трудности (diffi ultas), которую преодолевает луч, проходя через какую-либо среду, и эту трудность он определяет из длины пути, помноженной на сопротивление. Он полагает, что луч всегда следует по такому пути, для которого сумма всех трудностей, полученных указанным выше путем, была бы наименьшей отсюда он по методу максимумов и минимумов выводит то же самое правило, которому учит опыт. На первый взгляд кажется, что такое объяснение согласуется с объяснением Ферма. Однако дальше он с удивительной тонкостью истолковывает его так, что оно прямо противопоставляется Ферма и сближается с объяснением Декарта. Ведь, хотя он считает сопротивление стекла большим, чем сопротивление воздуха, он, однако, утверждает, что лучи в стекле распространяются быстрее, чем в воздухе, и это именно потому, что сопротивление у стекла больше, чем у воздуха. Это было бы, разумеется, величайшим парадоксом. Но он старается понять это следующим образом при большом сопротивлении, говорит он, достигается то, что лучи меньше рассеиваются, в то время как там, где сопротивление меньше, они больше рассеиваются по сторонам. А когда рассеиванье сдерживается, лучи больше сжимаются на своей тропе и подобно реке, которая должна проходить по более узкому руслу, отсюда приобретают большую скорость. Итак, объяснения Лейбница и Декарта сходятся в том, что оба они приписывают лучам в более плотной среде большую скорость. Относительно же причины этого увеличения скорости взгляды их прямо противоположны, ибо, по мнению Декарта, лучи в более плотной среде движутся быстрее потому, что сопротивление там меньше, Лейбниц же приписывал увеличение скорости большему сопротивлению. Можно ли допустить такую мысль или нельзя — я не стану это здесь разбирать. Однако я должен указать на то, что сам Лейбниц этот принцип наиболее легкого пути, хотя он кажется установленным как всеобщий, не прилагал ни к какому другому случаю и не учил, каким образом следует определять в других случаях эту самую трудность, которая должна быть наименьшей. А если он скажет, что это нужно делать так же, как здесь, т. е. брать произведение пройденного пути на сопротивление, то в большинстве случаев вообще невозможно будет определить это сопротивление, ибо оно является понятием весьма расплывчатым. Тогда же, когда нет никакого сопротивления, как, например, в движении небесных тел, каким образом можно будет определить трудность Или, может быть, из одного только пройденного пути, так как сопротивление здесь повсюду должно приниматься за нулевое Но отсюда вытекало бы, что при таком движении сам пройденный путь должен быть наименьшим, и поэтому он был бы прямолинейным, вопреки тому, что показывает практика. Если же движение происходит в сопротивляющейся среде, где во всяком случае имеется сопро- [c.101]

Ведь в то время как последователи Лейбница по заслугам высоко ценят как все его сочинения, так в том числе и упомянутую статью, помещенную в A ta Lipsiensia, приходится, право, весьма удивляться тому, что знам. барон фон Вольф, в остальном последовательный приверженец взглядов Лейбница, в объяснении преломления света так далеко отошел от своего учителя, что, отвергнув его чрезвычайно тонкое объяснение, решил перенести в свои Элементы диоптрики объяснение Ферма, осмеянное Лейбницем. Так, во второй задаче 35 этот великий муж, исходя из положения, что скорость света различна в различных средах, а именно, в более плотных скорость меньше, в более редких — больше, ищет время, за которое луч, следуя по како,му-либо пути, дойдет от данной точки до другой, расположенной в другой среде. Отсюда он заключает, что, поскольку природа действует всегда кратчайшим путем, это время должно быть наименьшим. Здесь, однако, не видно, каким образом он от кратчайшего пути выводит заключение о наименьшем времени. Кроме того, он не приводит никакого доказательства этого утверждения и никакой ссылки, в то время как в ином случае он едва ли привел бы без ссылки даже аксиому, что целое больше своей части. Отсюда, таким образом, поскольку главный последователь Лейбница не только опустил его объяснение преломления, но даже предпочел ему объяснение Ферма, мы можем с уверенностью заключить, что этому проницательному мужу объяснение Лейбница казалось весьма сомнительным, и поэтому такой принцип, которым управлялась бы вся природа, менее всего следует черпать из этого источника. [c.103]

В это же время Лаплас ) приложил метод, примененный Мопертюи для получения с корпускулярной точки зрения закона преломления обычного луча, к задаче двойного лучепреломления. Лаплас использовал принцип наименьшего действия, математическая сторона которого настолько усовершенствовалась со времен Мопертюи, что стало возможно применять его К более сложным проблемам, чем иростое преломление света. Лаплас предположил, что кристаллическая среда действует на световые корпускулы необыкновенного луча так, что изменяет их скорость в отношении, которое зависит от наклона необыкновенного луча к оси кристалла. В самом деле, разность квадратов скоростей обыкновенного и необыкновенного луча пропорциональна квадрату синуса угла, который образует необыкновенный луч с осью кристалла. Принцип наименьшего действия тогда приводит к закону преломления, тождественному с тем, который был найден Гюйгенсом. Закон преломления необыкновенного луча может быть также выведен из принципа Ферма при допущении, что скорость обратно пропорциональна той, которая предполагается при рассмотрении вопроса с помощью принципа наименьшего действия скорость, соответствующая принципу Ферма, согласуется со скоростью, найденной Гюйгенсом. [c.803]

Нахождение траекторий лучей света в приближении геометрической оптики можно сформулировать как задачу вариационного исчисления, если воспользоваться принципом Ферма, согласно которому свет распространяется между двумя точками по такому пути, который требует для прохождения наименьшего времени. Принцип наикратчайшего оптического пути, сформулированный Пьером Ферма в середине XVII в., можно получить как следствие основного уравнения геометрической оптики (7.5). Рассмотрим некоторую область с показателем преломления п(г), через каждую точку которой проходит только один луч (например, от точечного источника), т. е. эти лучи в рассматриваемой области не пересекаются. Пусть точки А В (рис. 7.3, а) лежат на одном луче. Используя уравнение (7.5) пъ = = 5(г), вычислим следующий интеграл вдоль произвольной кривой, соединяющей точки Л и В [c.333]

Из основателей новой философии следует отметить Рене Декарта ( 596— 1650 гг.), который сформулировал взгляды на природу света на основе метафизических представлений [8]. Декарт считал, что свет—это сжатие, распространяющееся в идеально упругой среде (эфире), которая заполняет все пространство, а различие цветов он объяснял вращательными движениями частиц этой среды с различными скоростями. Однако только после того, как Галилео Галилей ( 564—1642 гг.), развивая механику, продемонстрировал мощь своего экспериментального метода, оптика получила прочную основу. Закон отражения был известен еще грекам закон же преломления света был экспериментально установлен в 1621 г. Веллебродом Снеллиусом ) (1591— 1626 гг.). В 1657 г. Пьер Ферма (1601 1665 гг.) выдвинул свой знаменитый принциц наименьшего времени ) в следующей форме Природа всегда следует наикратчайшему пути . В соответствии с этим принципом свет распространяется по пути, требующему наименьшего времени отсюда, а также [c.15]

Предположение, что свет движется более быстро в более плотных средах, разрушило все здание, построенное Ферма свет при пересечении различных сред не идет ни более коротким путем, ни путем более короткого времени луч, переходящий из воздуха в воду, совершая наибольшую часть пути в воздз хе, приходит позднее, чем если бы он совершил там наименьшую часть пути. В Мемуаре де-Мерана [бе Маугап ] об отражении и преломлении можно прочесть историю спора между Ферма и Декартом, а также увидеть затруднение и бессилие, в которых находились до сих пор, пытаясь согласовать закон преломления с метафизическим принципом. [c.26]

Распространение света в градиентном волокне легко рассмотреть, однако строгое рассмотрение приводит к значительным математическим трудностям. Как видно из рис. 2.6, на котором изображено градиентное волокно, осевые лучи проходят через волокно кратчайшим путем, но они преодолевают участок с наибольшим значением показателя преломления, и следовательно, распространяются с наименьшей скорбстью. Наклонные лучи, наоборот, проходят по более длинным траекториям, однако большая часть их пути находится в среде с более низким показателем преломления, в силу чего они распространяются быстрее. Таким образом, можно представить себе, что при надлежащем выборе профиля показателя преломления все лучи, сходящиеся в одну точку, могут быть сфокусированы вновь, образовав периодическую последовательность точек фокуса вдоль волокна. Из принципа Ферма следует, что в таком случае аксиальные скорости лучей будут одинаковыми и, следовательно, временная дисперсия будет равна нулю. [c.41]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...