ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Странный аттрактор из "Теоретическая физика. Т.4. Гидродинамика " Исчерпывающей теории возникновения турбулентности в различных типах гидродинамических течений в настоящее время еще не существует. Был выдвинут, однако, ряд возможных сценариев процесса хаотизации движения, основанных главным образом на компьютерном исследовании модельных систем дифференциальных уравнений, и частично подтвержденных реальными гидродинамическими экспериментами. Дальнейшее изложение в этом и следующем параграфах имеет своей целью лишь дать представление об этих идеях, не входя в обсуждение соответствующих компьютерных и эксперимеитальпых результатов. Отметим лишь, что экспериментальные данные относятся к гидродинамическим движениям в ограниченных объемах имеппо такие движения мы и будем иметь в виду ниже ). [c.162] Представить себе сложное и запутанное поведение траекторий внутри ограниченного объема, куда траектории только входят, можно, если предположить, что все траектории в нем неустойчивы. Среди них могут быть не только неустойчивые никлы, но и незамкнутые траектории бесконечно блуждающие внутри ограниченной области, не выходя из нее. Неустойчивость означает, что две сколь угодно близкие точки пространства состояний, передвигаясь в дальнейшем по проходяш,им через них траекториям, далеко разойдутся первоначально близкие точки могут относиться и к одной и той же траектории ввиду ограниченности области незамкнутая траектория может подойти к самой себе сколь угодно близко. Именно такое сложное, нерегулярное поведение траекторий и ассоциируется с турбулентным движением жидкости. [c.164] Эта картина имеет еще и другой аспект чувствительная зависимость течения от малого изменения начальных условий. Если движение устойчиво, то малая неточность в задании начальных условий приведет лишь к аналогичной неточности в определении конечного состояния. Если же движение неустойчиво, то исходная неточность со временем нарастает и дальнейшее состояние системы уже невозможно предвидеть Н. С. Крылов, 1944 М. Born, 1952). [c.164] Притягивающее множество неустойчивых траекторий в пространстве состояний диссипативной системы действительно может существовать Е. Lorenz, 1963) его принято называть стохастическим, или странным аттрактором ). [c.164] Такие траектории называют седловыми, и именно множество таких траекторий составляет странный аттрактор. [c.165] Существование этого предела означает конечность объема аттрактора в О-мерном пространстве при малом е имеем N r) xi л Ve-o (где V — постоянная), откуда видно, что N z) можно рассматривать как число D-мерных кубиков, покрывающих в D-мерном пространстве объем V. Определенная согласно (31,3) размерность не может, очевидно, превышать полную размерность п пространства состояний, но может быть меньше его и, в отличие от привычной размерности, может быть дробной именно такова она для канторовых множеств ). [c.167] Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. Если турбулентное движение уже установилось (течение вышло на странный аттрактор ), то такое движение диссипативной системы (вязкой жидкости) в принципе не отличается от стохастического движения бездиссипативной системы с меньшей размерностью пространства состояний. Это связано с тем, что для установившегося движения вязкая диссипация энергии в среднем зп большое время компенсируется энергией, поступающей от среднего течения (или от другого источника неравновесности). Следовательно, если следить за эволюцией во времени принадлежащего аттрактору элемента объема (в некотором пространстве, размерность которого определяется размерностью аттрактора), то этот объем в среднем будет сохраняться — его сжатие в одних направлениях будет в среднем компенсироваться растяжением за счет расходимости близких траекторий в других направлениях. Этим свойством можно воспользоваться, чтобы получить иным способом оценку размерности аттрактора. [c.167] Ввиду упомянутой уже эргодичности движения на странном аттракторе, его средние характеристики могут быть установлены путем анализа движения уже вдоль одной принадлежащей аттрактору неустойчивой траектории в пространстве состояний. [c.167] Покрывающие множество п-мсриые кубики могут оказаться почти пустыми именно поэтому может быть D п. Для обычных множеств определение (31,3) дает очевидные результаты. Так, для множества N изолированных точек имеем N е) — N и О = 0 для отрезка L линии N e,)= Lj , D = для площадки S двумерной поверхиости Л (е) = 5/8 , D = 2, и т. д. [c.167] Вернуться к основной статье