Бифуркационная диаграмма и фазовый портрет

Соответствующие простейшим классам типичные ростки, главные семейства, их бифуркационные диаграммы и фазовые портреты описаны в прилагаемой ниже таблице. [c.19]

Рис. 3. Бифуркационные диаграммы и фазовые портреты дли главных

Бифуркационная диаграмма и фазовый портрет [c.133]

Бифуркационные диаграммы и фазовые портреты стандартных семейств. Бифуркационная диаграмма семейства >4+ при 9=1/2 или 1 — обычный кошелек (рис. 75). Эти два случая различаются лишь фазовым портретом, отвечающим самой особой точке кошелька в случае д= 1 в О входят только две траектории градиентного поля, а в случае д= 1/2— бесконечно много (рис. 76). Вид фазовых портретов для различных областей пространства параметров показан на рис. 77. [c.129]

Рис. 3. Бифуркационная диаграмма и фазовые портреты системы (6.1) при Гх = Гг = 1 ствуют значениям интеграла отмеченным на бифуркационной диаграмме, неподвижные периодические движения вихрей обозначены одними и теми же буквами.

При (х = 2 бифуркационная диаграмма и перестройки фазовых портретов в семействе (3 ) показаны на рис. 5, 6. [c.24]

Слово теорема заключено здесь в кавычки потому, что теорема доказана лишь при 9 4 [20], [21], [104]. При =/=4 условия невырожденности можно выписать явно афО, ЬфО при q= 2 КеЛ=т О, ВфО при = 3 и 9 5. Бифуркационные диаграммы и перестройки фазовых портретов при =1 приведены выше на рис. 10, при q=2 — на рис. 23 (заменами времени добиваемся Ь<0) при = 3 и q=5 — на рис. 24, 25 (заменами времени добиваемся Re/1<0). [c.58]

Рис. 40а. Бифуркационная диаграмма и перестройки фазовых портретов для типичной двупараметрической деформации векторного поля с контуром из двух седел, а. Седловые величины разных знаков, б. Седловые величины [c.109]

На рисунке 3 изображена бифуркационная диаграмма для случая Г1 = = Гг = 1 и фазовые портреты приведенной системы соответствующие различным областям на диаграмме (этот случай приводит к дополнительной симметрии). Фазовый портрет при малых значениях интеграла момента (рис. 3 а) определяется одной устойчивой эллиптической неподвижной точкой и одной особенностью в точке I = 0, Ь = 0. Особенности соответствует слияние двух вихрей, а неподвижной точке — вращение вихрей по одной и той же окружности вокруг центра цилиндра, при котором они находятся на одной прямой с центром круга по разные стороны от него. При увеличении интеграла момента радиус этой окружности растет, и при некотором критическом значении данная конфигурация становится неустойчивой (рис. [c.431]

На каждом из рисунков 15, 16 изображены бифуркационные диаграммы, под ними — фазовые портреты внизу—разбиение полуплоскости параметров (Ь, с), Ь с, на классы топологической эквивалентности легких семейств (12 ). Области, соответствующие трудным семействам, заштрихованы. Номер открытой области на бифуркационной диаграмме — это номер соответствующего фазового портрета из нижней части 2, 3. ., обозначают фазовые портреты, получаемые из 2, 3,... симметрией (х, у) (у, х). При переходе через оси ei и ег без нуля на положительных полуосях х та у рождаются из нуля особые точки или происходит обратный процесс при переходе через луч Б1 (Пг) от особой точки на оси у (на оси х) отделяется или в ней исчезает особая точка, расположенная строго внутри первого квадранта. Легкие семейства (12 ) типа 2 и 2а, а также типа 3 и За отличаются друг от друга только при нулевом значении параметра множества 0-кривых соответствующие вырожденных систем неэквивалентны (рис. 16, г, 5) [c.35]

Соответствующие бифуркационные диаграммы для точечного отображения (4.17) изображены на рис. 5.14. Последовательная смена фазовых портретов в трехмерном случае при = 2, д = 0 и а 1 (0) <0, аз(0) < О изображена на рис. 5.15 и 5.16. [c.115]

Фазовый портрет при с = 0. В этом случае бифуркационная диаграмма состоит из двух кусков парабол и двух прямых (см. рис. 31а). Физический смысл ветвей, соответствующих параболе и прямой = 1, особенно прост и описан выше. На параболе находятся решения, описывающие плоские колебания и вращения твердого тела в меридиональной [c.123]

Рис. 46. Бифуркационная диаграмма случая Горячева - Чаплыгина. Серым цветом заштрихована нефизическая область интегралов. Указаны также два уровня энергии, для которых построены фазовые портреты (см. рис. 47, 48). Буквами Ai, Bi, i,. .. обозначены периодические решения и сепаратрисы, которые аналогично обозначены на фазовых портретах.

Рис. 47. Фазовый портрет случая Горячева-Чаплыгина при h = 0.3 (сечение плоскостью g = 7г/2). Буквами Ai, Bi, i отмечены периодические решения, расположенные на ветвях бифуркационной диаграммы (рис. 46). Точке Bi на бифуркационной диаграмме, для которой / = О, соответствует, во-первых, два маятниковых периодических решения (они расположены на фазовом портрете в полюсах сферы L/G = 1 и в точке I = О, L/G = 0) и, во-вторых, целая прямая LfG = 0,l 0 также заполненная периодическими решениями (решение Горячева) маятникового типа (см. также п. 3).

Рис. 48. Фазовый портрет случая Горячева-Чаплыгина при h = 1.3 (сечение плоскостью g = 7г/2). Буквами А2, В2, G2, В2, F2 отмечены периодические решения, расположенные на ветвях бифуркационной диаграммы (рис. 46). По сравнению с предыдущим портретом добавились неустойчивые решения (и сепаратрисы к ним) — В2 и F2. Также, как и выше, точке В2 на бифуркационной диаграмме соответствует четыре вращательных периодических решения (вращения в экваториальной и меридиональной плоскости с учетом направления) — это точки L/G = 1 и Z = О, тг, L/G = О, а также прямая L/G = О, которая целиком заполнена периодическими решениями (решения Горячева) приведенной системы (см. п. 3).

Бифуркационная диаграмма семейства >4 при д= —I изображена на рис. 78. Она отличается от кошелька областью седловых связей (с и е на рис. 78). Фазовые портреты в общем похожи на предыдущие. Разница лишь в том, что в разрезы рис. 77 следует вставить фрагменты рис. 79. Бифуркационная диаграмма семейства изображена на рис. 80, а соответствующие фазовые портреты — на рис. 81. [c.131]

Рассмотрим теперь случай Гг = —Г1 = 1, характеризующийся дополнительной симметрией. Его бифуркационная диаграмма изображена на рисунке (рис. 6). Основным отличием этого случая от предыдущего является отсутствие дополнительных периодических решений. Действительно, при уменьшении разности абсолютных значений вихрей две центральные ветви бифуркационной диаграммы приближаются друг к другу, а при достижении равенства — сливаются и уходят на бесконечность. Отметим также, что симметричная конфигурация, при которой расстояния от центра цилиндра до обоих вихрей равны, достигается в этом случае при С = 0п соответствует статической конфигурации исходной задачи (угловая скорость вращения вихрей равна нулю). Фазовые портреты приведены на рис. 6 а-в. [c.436]

По аналогии с задачей о движении двух вихрей внутри круга можно выполнить полный качественный анализ данной системы. Здесь мы ограничимся рассмотрением движения вихревой пары (Г1 = —Г2) вокруг цилиндра. Па рисунке 1а приведена бифуркационная диаграмма для этого случая. Как видно из диаграммы, при всех значениях интеграла I фазовый портрет системы определяется одной неподвижной точкой (рис. 7 б,в) и качественно не меняется при изменении I. Исключение составляет значение / = О при приближении к которому неподвижная точка стремится к особенности гамильтониана, а оба вихря начинают касаться стенок цилиндра. Па бифуркационной диаграмме такое поведение соответствует асимптоте при / = 0. [c.438]

При переходе через значение а = О происходит качественная смена фазового портрета системы (8.18) (см. рис. 8.8 и 8.9), поэтому а = 0 -бифуркационное значение параметра а. Все другие значения а являются обыкновенными. Диаграмма, представленная на рис. 8.10, называется бифуркационной диаграммой мягкого режима возбуждения автоколебаний. [c.187]

Постройте в плоскости Х,Х фазовый портрет системы. Составьте бифуркационную диаграмму [по параметру у = (а - 1)/а]. Рассмотрите два случая Р2 < О и > 0. [c.193]

Постройте фазовый портрет и бифуркационную диаграмму по па метру а. [c.194]

Состояния равновесия укороченной системы K = 0, К2 = 2 (а - 1) / а. Далее, Ф (0) = = (а — 1)/2 Ф К = 1 — а. Отсюда следует, что 1) К= К — устойчивое положение равновесия при а < 1 и неустойчивое при а> I 2) К= К — устойчивое положение равновесия при а > 1 и неустойчивое при а < 1 3) при О < а < 1 положение равновесия К= не существует. Бифуркационную диаграмму см. на рис. П.82, а фазовые портреты на рис. П.83. [c.373]

Определим теперь устойчивость положения равновесия K = 0. Очевидно, Ф (0) = = ау/2, т.е. Ф (0) > О при у > О (точка К=0 неустойчива) и Ф (0) < О при у < О (точка АГ=0 устойчива). Таким образом, получаются бифуркационные диаграммы, представленные на рис. П.85. Эго типичные бифуркационные диаграммы жесткого (Р > 0) и мягкого (Р < 0) режимов. Фазовые портреты системы представлены на рис. П.86-П.88, причем [c.374]

Типичный росток Главные г-эквп-вар антные семейства Бифуркационные диаграммы и фазовые портреты [c.30]

Рис. 15а. Бифуркационные диаграммы и фазовые портреты для легких главных семейств (12) при d>Q. б. Разбиение полунлоскости параметров.

Изучаются бифуркационные диаграммы для главных семейств и фазовые портреты уравнений этих семейств. Для описанных ниже главных семейств некоторая окрестность нуля в базе семейства разбивается на конечное число подмножеств (стратов). Объединение открытых стратов образует дополнение к бифуркационной диаграмме. Любые два поля, соответствующие значениям параметров из одного страта, топологически эквивалентны в некоторой (общей для всех близких к нулю значений параметров) окрестности нуля в фазовом пространстве [c.19]

Результаты исследования резюмируются ниже в виде таблиц и рисунков. Размерность фазового пространства уравнений, приводимых в таблицах, равна размерности центрального многообразия деформируемого ростка. В первом столбце таблицы указывается класс деформируемых ростков, во втором — его коразмерность V, в третьем описываются типичные ростки, в четвертом указывается топологическая нормальная форма деформируемого ростка, в пятом — главные деформации. Бифуркационные диаграммы и соответствующие фазовые портреты изображаются на рисунках, номера которых указываются в шестом столбце таблицы. Связь между типичными и главными деформациями для рассмотренных ниже классов такова. [c.19]

Бифуркационные диаграммы (относительно слабой эквивалентности) и фазовые портреты главных семейств (4 ). Исследование бифуркационных диаграмм и перестроек фазовых портретов в главных семействах (4 ) сводится к аналогичной задаче для семейств факторсистем относительно переменнош [c.24]

Рис. 39. Бифуркационная диаграмма и перестройки фазовых портретов для типичной двупараметрической деформации векторного поля с петлей сепаратрисы. Бифуркационная кривая, отвечающая полуустойчивому циклу, имеет бесконечный порядок касания с осью ei в нуле

При каждом фиксированном значении постоянной площадей М, 7) = с, задающем различные типы бифуркационных диаграмм на плоскости (/с . К), существует свой набор фазовых портретов. Фиксируя уровень энергии h, мы получим несколько различных типов фазовых портретов, которые задаются пересечениями прямой h = onst с бифуркационной диаграммой. Здесь мы приводим две серии фазовьк портретов, соответствующих наиболее простой (при с = О, рис. 32) и наиболее слож- [c.123]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...