Версальные деформации и бифуркационные диаграммы

Бифуркационная диаграмма нулей. Бифуркационная диаграмма нулей — это росток поверхности в базе версальной деформации F x,X), образованный теми значениями параметра, при которых О является критическим значением функции F , Л,) переменной х. [c.20]

Векторные поля, касающиеся бифуркационной диаграммы нулей. Отождествление базы версальной деформации А простой особенности с вложенной в нее бифуркационной диа- [c.137]

Версальные деформации и бифуркационные диаграммы. [c.13]

Пример. Пусть Р(х. Я) — контактно-версальная деформация ростка fo(x), задающего полное пересечение с изолированной особенностью. Тогда отображение проектирования ][х, X) >- X, суженное на многообразие Р=0, обладает свойствами отображения f из условия теоремы, а дискриминант А совпадает с бифуркационной диаграммой нулей (дискриминантом) 2 ростка 0, т. е. с множеством тех X, для которых многообразие Р -, Я,) =0 особо. [c.29]

На рис. 23—27 изображены бифуркационные диаграммы всевозможных вещественных проектирований на прямую с 1 =3, 4 [47]. Версальные деформации взяты в виде [c.59]

На рис. 28 — бифуркационная диаграмма вещественно отображения Ев (версальная деформация [c.64]

На рисунке 39 изображены бифуркационные диаграммы всех вещественных особенностей коразмерности 2, на рисунках 40—42 — некоторых коразмерности 3 (индекс оо мы опять не пишем). Версальные деформации взяты в виде [c.86]

В двупараметрических семействах встречается, кроме того, еще бифуркация Аз слияния трех критических точек, В этом случае бифуркационная диаграмма на плоскости параметров имеет полукубическую точку возврата. Топологически версальная деформация градиента задается семейством потенциалов [c.126]

Напомним, что речь идет о проектировании х, и) и кривой x - -ux=0. Часть бифуркационной диаграммы этого проектирования, которая реализуется как бифуркационное множество интересующей нас пары функций, образована теми значениями К параметра версальной деформации, при которых, либо кривая [c.156]

Определение. Бифуркационной диаграммой нулей краевой особенности называется множество таких точек базы версальной деформации, для которых О есть критическое значение F(., Л). Эта бифуркационная диаграмма обозначается через Е. [c.184]

Бифуркационная диаграмма функций краевой особенности изображена на рис. 91. Усечённая версальная деформация может быть выбрана в виде [c.185]

Усеченная версальная деформация и бифуркационная диаграмма функций. Пусть f (С , 0)- (С, 0) —росток функции. В п. 1.7 мы определили версальную деформацию ростка f x), используя в качестве функционального пространства М пространство ростков функций на С". Ограничимся теперь деформациями в классе ростков функций 1 з ш,. Определения эквивалентности н версальности деформаций без изменений переносятся на этот случай. [c.22]

Бифуркационная диаграмма нулей Зс Л является неприводимым р,-листным разветвленным накрытием над гиперплоскостью Х,о=0 в базе версальной деформации Л. Пусть Л(Я) — голоморфная функция, являющаяся полиномом степени р, переменной Яю, равная нулю на 2. [c.97]

Для случая простой особенности, главное отображение периодов отождествляет базу версальной деформации с вложенной в нее бифуркационной диаграммой 2 с пространством орбит соответствующей группы Кокстера и вложенной в него гиперповерхностью нерегулярных орбит (п. 5.6). [c.107]

Пусть f(z) —росток с изолированной особенностью в нуле, Р(2,Х), ЯеЛ, — его деформация. Не ограничивая общности, можно считать, что деформация версальна. Расслоение неособых слоев / над проколотым диском Ут >-Т является подрас-слоением расслоения Милнора Уд —>-Л иад дополнением к бифуркационной диаграмме нулей Л =Л Е в базе деформации (см. пп. 1. 10, 3.3). [c.120]

Дополнение к бифуркационной диаграмме функций. Рассмотрим в базе версальной деформации Л простой особениости / гиперповерхность S значений параметра А,, при которых фуцкция /"( Я) не мьрсовокая, т. е. имеет вырожденные критические точки или совпадающие критические значения. Пара (Л, S) диффеоморфна прямому произведению усеченной базы версальной деформации с вложенной в нее бифуркационной диаграммой функций S на комплексную прямую С. [c.139]

Стабильные когомологии дополнений к бифуркационным диаграммам нулей. Кольцо когомологий дополнения к дискриминантному многообразию S в пространстве версальной деформации определено для любой конечнократной особенности функций это кольцо не зависит от выбора версальной деформации. Примыкание особенностей определяет гомоморфизм колец дополнение к дискриминанту более простой особенности вкладывается в дополнение к дискриминанту более сложной. (Например, на рис. 39 изображено вложение дополнения к дискриминанту вещественной особенности Лг в аналогичное пространство для Лз.) Иерархия особенностей позволяет перейти к [c.151]

На рассматриваемый случай естественным образом переносятся понятия версальной деформации, модальности, а также бифуркационных диаграмм нулей и функций. Например, миниверсальной деформацией f является [c.21]

Теорема ((72]). Бифуркационная диаграмма нулей 2с критической точки типа /г(р). Р 4, или Яз аналитически тривиальна вдоль страта (x= onsi. Пересечение 2 с гиперплоскостью в базе версальной деформации, трансверсальной страту х= onst, биголоморфно эквивалентно многообразию нерегулярных орбит соответствующей группы, порожденной отражениями [112], действующей на комплексификации евклидова пространства С". [c.22]

Пример. Рассмотрим версальную деформацию особенности Вг-. (х. у , У х —У + К У + )) Бифуркационная диаграмма — прямая Яа=0 с параболой 4Я2+Я1 =0. Нас интересует послед няя. Очевидно, N02) = 1. На рис. 34 — образ соответств)гющегс выр ожденного отобр ажения. [c.70]

Бифуркационная диаграмма неизолированной эсобенности определяется стандартно — как множество тех значений параметра (мини) версальной деформации, прн которых соответствующая функция имеет критических значе-аий меньше, чем при общем выборе параметра, то есть меньше, чем / /(ЛО+Ь [c.83]

Замечание. Вещественная диаграмма Q21 отличается от диаграммы /4, (рис. 40) лишь тем, что полуплоскость Л =0, Л,1< 0 входит в нее полностью (правда, одномерные страты имеют разный смысл). Такое почти-совпадение есть следствие совпадения комплексных бифуркационных диаграмм, которое объясняется тем, что подстановка x=zy K у=у, г=ху переводит версальную деформацию Q2, в версальную деформацию /4, . Аналогичное явление имеет место и для пары (Sb Z2, ), а в классе гверсальных деформа-дий для (Л] Льг). [c.86]

Каустики. Рассмотрим в усеченной базе версальной деформации голоморфной функции в конечиократной критической точке множество тех значений параметра, которым отвечает фувкция f неморсовской (вырожденной) критической точкой. Эта часть бифуркационной диаграммы функции называется каустикой. [c.101]

Определение. Бифуркационной диаграммой краевой особенности изг зывается гиперповерхность в базе = Л версальной деформации, образованная теми значениями параметра Л, при которых гиперповерх-ность нулевого уровня [c.89]

Биголоморфный диффеоморфизм базы версальной деформации в многообразие орбит группы отражений, отождествляющий бифуркационную диаграмму с дискриминантом, не единствен. Такие диффеоморфизмы (точнее их ростки в нуле) будут называться допустимыми отождествлениями базы с многообразием орбит. [c.89]

В самом деле, рассмотрим допустимое отождествление базы версальной деформации с многообразием орбит (росток в нуле биголо-морфного отображения, переводящего росток бифуркационной диаграммы в росток многообразия нерегулярных орбит). Его производная в нуле отождествляет Т с касательным пространством к базе версальной деформации, а последнее естественно изоморфно пространству локальной алгебры Q (скорости деформации соответствует её класс [c.91]

Пуассоновы структуры на базах версальных деформаций, определённые типичными отображениями периодов, не являются типичными по отношению к соответствующим бифуркационным диаграммам их ограничения на различные страты бифуркационных диаграмм или на касательные пространства к этим диаграммам в точках стратов меньших размерностей сохраняют некоторую информацию о типах вырождений на этих стратах соответствующих многообразий уровня V. [c.109]

Теорема (Ляшко [127], Лойенга [128]). Дополнения бифуркационных диаграмм функций версальных деформаций простых особенностей являются пространствами К тг,1). [c.135]

Одной из простейших бифуркационных диаграмм является полукубическая парайола, состоящая из точек на (а, Ь)-плоскости, для которых многочлен + ах + Ь имеет кратные корни. Эта кривая появляется в качестве бифуркационной диаграммы во многих задачах теории особенностей. Например, она может рассматриваться как бифуркационная диаграмма нулей функции х она образована теми точками версальной деформации этой функции, для которых множество нулевого уровня деформированной функции является особым. Эта бифуркаг ционная диаграмма имеет замечательные свойства. Например, её дополнение в является пространством Эйленберга-Маклейна К тг,1) все его гомотопические группы тривиальны, за исключением фундаментальной группы (являющейся группой кос Артина из 3-х нитей, см. рис. 65). [c.182]

Вернёмся к общей теории бифуркационных диаграмм функций для краевых особенностей. Обобщая конструкцию Ляшко-Лойенги, каждой точке Л усечённой базы сопоставим значение свободного члена версальной деформации, для которого сумма (1 критических значений функции Р ., Л, Ад) равна нулю. Построим многочлен, корнями которого являются эти критические значения. Таким образом мы построили отображение усечённой базы в пространство многочленов степени ц, с единичным старшим и нулевым последующим коэффициентом. [c.186]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...