Гомоморфизм ДА-алгебр

Легко проверить, что Ad является гомоморфизмом алгебры, т. е. что [c.285]

Представлением алгебры Ли в линейном пространстве будем называть гомоморфное отображение F- t F) алгебры в множество линейных операторов в . При этом очевидно, что благодаря свойству гомоморфизма, [f, f ]- [/(f), t F )], тождество Якоби (1.6) удовлетворяется для i F) автоматически. Аналогичным образом определим представление (непрерывной) группы Ли G, g- T(g), geG, в линейном пространстве как непрерывную функцию T g) на G со значениями в группе невырожденных непрерывных линейных преобразований являющуюся решением функционального уравнения [c.55]

Таким образом, ip индуцирует гомоморфизм (р Se измеримых алгебр. Если М = М, то (р называется эндоморфизмом. Если ip — биекция М на М, то (р называется изоморфизмом если, кроме того, М = М, то ip называется автоморфизмом. [c.123]

Определение ([268]). Аналитической или С°°- (или формальной) алгеброй (короче, DA-алгеброй) называется подалгебра вида A=g i y)(z i x, где g x y—росток отображения, а aTx и aTj — пространства ростков функций соответствующего класса. Гомоморфизм а, А- В DA-алгебр — это гомоморфизм R- или С-алгебр, который можно поднять до [c.181]

Важнейшее свойство ОЛ-алгебр и их гомоморфизмов — в том, что они удовлетворяют подготовительной теореме (ср. л. 1.10) [c.182]

О п р е д е л е ние 1.1. Пусть Р1, — алгебры Ли над Р. Линейное отображение g Р1 Ра называется гомоморфизмом, если для Х , X р [c.145]

Приведем еще одну полезную в дальнейшем интерпретацию операторных уравнений (2.1). Напомним, что всякий гомоморфизм / из алгебры Ли 83 в алгебру (к, Р) называется представлением алгебры Ли 83. Пусть 83 — конечномерная алгебра Ли ранга к [c.146]

Следствие 8. Отображение алгебры Ли функций на. алгебру Ли гамильтоновых полей яеляется гомоморфизмом алгебр. Его ядро состоит из локально постоянные функций. Если М " св.чзно, то ядро одномерно и состоит из постоянных. [c.190]

Иными словами, пусссоновское действие группы задает гомоморфизм алгебры Ли этой группы в алгебру Ли функций Гамильтона. [c.339]

Векторное поле называется тогда гамильтоновым полем с функцией Галшльтона а. Отображение а Га задает гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей. Многообразие, снабженное пуассоновой структурой, называется пуас-соновым многообразием. [c.422]

Далее, любое /-параметрическое семейство отображений Р а должно превращать множество Ра,х в систему ОА-ал-гебр, связующие гомоморфизмы между которыми являютсй гомоморфизмами -алгебр. При ЭТОМ касательное отображение Т л- Уе Р), ставящее в соответствие начальной скорости dgt dt)г=.o однопараметрической деформации единицы группы начальную скорость d gtP) /dt)t o иаменейия Р под действием этой однопараметрической деформации, обязано быть гомоморфизмом -модулей. Образ Т а Р) касательного отображения — касательное пространство к расширенной [c.184]

Примечания к теореме 1) как и в 16, гладкие функции образуют алгебру Ли относительно скобки Пуассона отображение x(F)=F есть гомоморфизм ее в алгебру векторных полей 2) если 7 = onst, то доказательство (18) сводится к рассуждению- [c.249]

Гомоморфизмом или представлен и-е м алгебры Ли А ъ алгебру Ли А наз. такое линейное отображение ф Ai A , (т. е. отображение, сохраняющее линейные операции), к-рое согласовано с операциями коммутирования в обеих алгебрах ф([Х, У]) —[ф(Х), ф(У)1. Ядром гомоморфизма наз. подмножество в алгебрек-рое под действием ф переходит в нулевой элемент алгебры А . Если отображение ф взаимно однозначно, то оно наз. изоморфизмом или точным представлением. В этом случае ядро отображения равно нулю. Всякая конечномерная Л. а. допускает точное представление в алгебру матриц (теорема Ад о). Ввиду тесной связи, существующей между Л. а. и группами Ли, задача изучения представлений групп Ли в большой мере сводится к изучению представлений Л. а. Именно этим объясняотсн прикладное значение теории Л. а. и их представлений (см. Представление группы). [c.583]

Теорема ([268], [276, Ш]). Пусть а — гомоморфизм ЛЛ-алгебр и М — конечно порожденный В-модуль. Если размерность линейного пространства М1шаМ конечна, то М — конечно порожденный Л-модуль. [c.182]

Примечание. С физической точки зрения интересно то обстоятельство, что часть 4 теоремы 11 остается в силе [208], если л будет не гомоморфизмом относительно С -алгебраи-ческой структуры алгебры 9 , а йордановым гомоморфизмом. Последнее означает, что я — линейное, сохраняющее операцию отображение, действующее из 91 в 33 Ж) и такое, что л(Ji ) = л R) для всех Ре91 [или, что эквивалентно, я(Ро5) = = (я (Р) я (5)-Ь я (5) я (Р) для всех Р, 5 из 91]. Заметим далее, что в действительности достаточно потребовать выполне- [c.160]

Теорема 1. Линейное сохраняющее операцию сопряжения отображение а С -алгебри 8 на С -алгебру 23 операторов, действующих на некотором гильбертовом пространстве Ж, является йордановым -гомоморфизмом в том и только в том случае, если существует оператор проектирования Р из такой, [c.200]

Рассмотрим теперь в предположениях леммы частный случай, в котором представление я примарно, т. е. бикохммутант я (91)" является фактором. Из теоремы 1 мы знаем, что отображение Яд есть либо С -гомоморфизм С -алгебры 5 на я (О ), либо С -антигомоморфизм. Докажем, что если топологическая группа С связна, то во втором случае нарушалась бы только что доказанная непрерывность. Не ограничивая общности, мы можем предположить, что алгебра я (9 ) не абелева [если бы алгебра я(0 ) была абелевой, то нам можно было бы не проводить различия мелсду С -гомоморфизмами и С -антигомо-морфизмами]. Тогда в Я существуют такие элементы А я В, что I ( F, я (Л) я (В) — я (В) я (Л) Ф) I = б > О при некоторых и Ф из Ж. При любом значении положительной величины е определим окрестность N (е е) единицы в группе С как пересечение трех окрестностей [c.210]

Если же Ф — циклический вектор относительно то последнее равенство означает, что Г = 0. Следовательно, отображение Т ->ЕщТЕ инъективно. Но, как мы уже знаем, это же отображение есть сюръективный гомоморфизм, а поэтому коммутант % изоморфен (Э ф)вф. Целью первой части доказательства и было показать, что (ЭТф)яф — абелева алгебра. Стало быть, коммутант ЭТф абелев. Вторая часть доказываемого положения тривиально следует из теоремы. [c.234]

Доказательство. Напомним, что состояние ф на алгебре фон Неймана Ш нормально в том и только в том случае, если ( ф 2 () = 2( Ф > El) для любого семейства Ei i I попарно ортогональных операторов проектирования из Ш. По определению алгебры Я для каждой области Q с существует инъективный -гомоморфизм, отобралсающий Я (Q) в Э (й ), если S Q. Следовательно, сужение ф (Q) состояния <ф на Э (Q) [при всех п (й)] есть нормальное состояние на Э (Q). Итак, доказательство теоремы 1 свелось к доказательству утверждения о том, что последовательность ij) [в данном случае ф (0)] нормальных состояний на алебре фон Неймана Ш [в данном случае 8i(Q)], поточечно сходящееся на 31, сходится к некоторому нормальному состоянию ij) [в данном случае ф (Q)] на 9 . Доказательство последнего утверждения молено провести сле- [c.359]

Как показал Штёрмер, это условие эквивалентно любому из двух следующих условий а) ф — экстремальное G-инвариантное состояние и б) ф= Фу. где ф ==ф(,. Кроме того, Штёрмер в столь общем случае дал общую классификацию типов примарных представлений, ассоциированных с такими состояниями, когда фо есть фактор-состояние на 9 o. Представление Яф принадлежит к типу / , когда состояние фо есть гомоморфизм, к типу / , когда оно чистое состояние и не гомоморфизм, и к типу П , когда это след и не гомоморфизм. Представление Лф принадлежит к типу П , если состояние фо не является ни чистым состоянием, ни следом и, кроме того, вектор состояния на Лф(Э о), порожденный вектором Фо е Яф , есть след. Наконец, представление Лф принадлежит к типу III, если только что определенное состояние на Яф (Э о) не является следом. И лея такую классификацию, мы можем, исходя из нашей алгебры квазилокальных наблюдаемых квантовой решеточной системы, построить факторы типа 1 , II, и III. Действительно, пусть фо состояние на 3 2. рассмотренное в первых примерах в гл. 2, 1, п. 2, 5. Если = oo, то фо — чистое состояние и не гомоморфизм. Следовательно, ф —примарное состояние типа 1 (физически ф есть основное состояние нашей свобод ной системы, взаимодействующей только с магнитным полем) Если = 0, то фо = след, но не гомоморфизм. Следовательно ф—примарное состояние типа II, (с физической точки зрения ф — состояние при бесконечной температуре). Если О < < оо то, как нетрудно сообразить [поскольку мы в явном виде по строили коммутант Лф (Э о) ], фо принадлежит последнему классу состояний, в силу чего ф —примарное состояние типа III Кстати, данное обстоятельство служит иллюстрацией того что теорема 14 из гл. 2, 2 применима именно в той области которую мы указали. Нетрудно видеть [303], что полученные [c.387]

Эффективньш средством исследования структуры алгебры 83 является изучение ее гомоморфизмов в алгебру матриц. Для лхпшй-ного случая такой алгеброй является полная матричная алгебра gl (п, Р), а для рассматриваемого случая бесконечномерной алгебры Ли — бесконечномерные матрицы специальной структуры. [c.186]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...