Функции целые

В такой формулировке переменными задачами z (n= 1,..., р) наряду с конструктивными данными и параметрами являются также параметры аппроксимации временных функций (токов, напряжений и др.). Функции цели Яо и ограничений Я, определяются в многомерном пространстве полного числа переменных. Совокупность ограничений Я, образует в этом пространстве допустимую область (допустимое множество точек) Вг. Любое решение задачи представляется точкой многомерного пространства Z с координатами 2 ,..., Zp, которая должна принадлежать множеству D. [c.78]

Исходя из определения расчетной модели, для ее конструирования необходимо 1) выбрать функции цели и ограничений [c.121]

Критерии точности и быстродействия алгоритмов получили широкое признание, несмотря на отсутствие единого подхода к их количественной оценке, которая во многом зависит от конкретного содержания задачи проектирования и методов поиска. Например, при проектировании серий большое значение приобретает точность в отыскании параметров оптимизации, а при проектировании единичного изделия, наоборот — точность отыскания оптимума целевой функции. Для оценки быстродействия алгоритмов с простой логикой поиска нередко достаточно ограничиться суммарным числом вычислений функций цели и ограничений. Наоборот, для [c.145]

Существование решения задачи (22.1) можно гарантировать, если имеется набор неизвестных, удовлетворяющий системе ограничений, или, как говорят, если область допустимых решений не является пустой, а функция цели — непрерывная и дифференцируемая. Первое условие означает совместность системы ограничений. В случае линейных уравнений типа (21.21) для этого необходимо, чтобы ранг формульной матрицы а рав- [c.184]

Наиболее важный по условиям решаемой задачи показатель объекта выделяется в качестве критерия оптимальности или функции цели Q. [c.144]

Подход к решению задач оптимизации проектных решений во многом определяется особенностями математического описания объектов проектирования, совокупности накладываемых ограничений, поведения функции цели в области допустимых значений параметров. Поэтому далее рассмотрим особенности ЭМУ как объектов оптимизации. [c.145]

Прежде всего в качестве такой особенности следует отметить значительное количество и разнообразие параметров, характеризующих ЭМУ. Сюда относятся геометрические размеры конструктивных элементов, характеристики электротехнических, магнитных, изоляционных, конструкционных и других материалов, используемых в производстве ЭМУ, обмоточные данные, параметры источников питания. Их общее число, как показывает практика оптимизации таких объектов, в ряде случаев достигает 100—150 [7, 19]. При этом такие параметры, как геометрические размеры, являются непрерывными величинами, другие, например числа полюсов, зубцов, витков, — дискретными, что приводит к нарушению монотонности изменения функции цели и существенно затрудняет поиск ее экстремума. Для примера на рис. 5.13 приведены линии равного уровня времени разгона Гр, выбранного в качестве функции цели при оптимизации асинхронного электродвигателя, построенные с учетом (штриховые линии) и без учета (сплошные линии) дискретного изменения вдела витков в пространстве параметров - отношения наружного диаметра к диа- [c.145]

Рис. 5.13. Линии равного уровня функции цели Гр с учетом (----) и без учета

Рассмотренные в 5.1 особенности построения математического описания ЭМУ свидетельствуют о наличии сложного нелинейного и неявно выраженного характера функциональных зависимостей между параметрами ЭМУ и его показателями, выступающими в качестве функции цели и ограничений. Для таких зависимостей практически [c.147]

Прежде всего рассмотрим возможности классических или аналитических методов оптимизации, основанных на применении средств дифференциального и вариационного исчислений для определения экстремума функции цели. Эти методы позволяют определить лишь необхо-. димые признаки относительного или локального экстремума, для чего используются частные производные функции цели по параметрам. Применение классических методов возможно только при условии дифференцируемости указанной функции. Как известно, в точке экстремума все частные производные функции обращаются в нуль, т. е. [c.149]

Однако условия (5.38) справедливы не только для точек экстремума, но и для точек перегиба. Вся совокупность точек пространства параметров, удовлетворяющих условиям (5.38), как известно, носит название стационарных точек. Поэтому при решении задачи классическими методами необходимо определить все стационарные точки, а затем уже выделить из них точку глобального экстремума функции цели. Применительно к оптимизации ЭМУ с учетом характерной для них существенно нелинейной неявно выраженной зависимости функции цели от параметров необходимо говорить лишь о численных методах решения уравнения (5.38). [c.149]

Еще более проблематичным представляется применение аналитических методов при отыскании условных экстремумов функции цели, что характерно для реальных задач оптимизации ЭМУ при наличии многочисленных ограничений. Ограничения, накладываемые на область определения функции цели, приводят к возможному несовпадению условных и локальных экстремумов, а поэтому уравнения (5.38) в данном случае вообще нельзя рассматривать в качестве необходимых условий для определения точек экстремума. [c.149]

Наибольшее распространение в решении таких задач получили методы нелинейного математического программирования (методы поиска). Последнее название точно отражает существо методов, состоящее в организации движения изображающей точки, соответствующей варианту проекта, в пространстве параметров 1,. . ., х , в результате которого достигается приближение к экстремуму функции цели. Применение этих методов связано с многократным вычислением значений функций цели и ограничений, что для ЭМУ представляется достаточно объемной вычислительной задачей. Поэтому методы поиска получили повсеместной распространение прежде всего благодаря возможности применения вычислительной техники. Существуют общие особенности поисковых методов, дающие основание рассматривать их в качестве особой группы. Прежде всего методы поиска — это численные методы, позволяющие определять только некоторое приближение к экстремуму функции цели, т. е. решающие задачу с определенной степенью точности, достижение которой, как правило, представляет собой условие окончания поиска. [c.150]

Кроме того, все методы поиска характеризует одна и та же последовательность действий. Вначале формируется изображающая точка в пространстве параметров оптимизации, и для нее осуществляется проверка выполнения ограничений. Если хотя бы одно из ограничений оказалось невыполненным, то формируется следующая точка, что соответствует выбору нового варианта проекта, и действия по проверке ограничений повторяются. Если все ограничения выполнены, т. е. найден один из допустимых вариантов проекта, то для него определяется значение функции цели. Для вычисления значений функции цели и проверки ограничений используется математическая модель объекта оптимизации и соответствующие алгоритмы анализа. Проверка условий окончания поиска завершает очередной его шаг, на котором бьш получен и сопоставлен с предыдущим еще один вариант объекта оптимизации. Логическая схема поиска, соответствующая приведенному описанию, показана на рис. 5.17. Из описания и схемы видно, что процесс поиска характеризуется циклическими действиями по определению как допустимых, так и оптимальных проектных решений. При этом поиск проводится на некоторой конечной совокупности точек в пространстве параметров, которая задается заранее или определяется в процессе поиска в зависимости от результатов, полученных на предыдущих шагах. [c.150]

Существо методов направленного поиска состоит в выборе направления движения из каждой очередной точки в пространстве параметров таким образом, чтобы при этом улучшались результаты, полученные на предыдущих шагах. Поиск в данном случае продолжается до тех пор, пока еще удается улучшать значение функции цели. Чтобы в данном случае сделать поиск конечным (т. е. ограничить число шагов поиска), необходимо задавать требования к точности определения положения экстремума 0 в пространстве параметров. В отличие от предыдущей группы методов при направленном поиске для формирования очередного варианта проекта используется информация, полученная на предьщущих шагах. [c.151]

Методы оптимизации, применяемые в автоматизированном проектировании, должны отвечать ряду общих требований, среди которых необходимо назвать их способность находить приближение к глобальному экстремуму функции цели в условиях действия ограничений, приемлемость затрат на решение практических задач, простоту реализации методов в виде соответствующих алгоритмов и программ. С этих позиций в дальнейшем более подробно рассмотрим несколько методов, являющихся типичными представителями конкретных групп в соответствии с приведенной классификацией и нашедших в настоящее время преимущественное применение для оптимизации ЭМУ. Описание других методов можно найти, например, в [6]. [c.153]

При этом диапазоны изменения (5.39) разбиваются на некоторое устанавливаемое проектировщиком количество отрезков чаще всего с равномерным шагом Ах.. Пример построения решетки в пространстве двух параметров показан на рис. 5.19. Во всех узлах решетки кроме тех, в которых не выполняются ограничения, определяются значения функции цели и путем сравнения выбирается узел с лучшим значением Q. Тем самым с точностью, характеризуемой относительным объемом -мерного параллелепипеда, ограниченного отрезками Ах., [c.153]

Количество обращений к модели объекта для расчета значений функций ограничений, а в случае их выполнения - и функций цели [c.153]

Алгоритм, реализующий метод сканирования, может быть построен как совокупность вложенных друг в друга циклов, общим для которых является участок по расчету и проверке ограничений и функции цели. Количество таких циклов равно числу параметров оптимизации п [c.154]

Напомним, что по определению градиент указывает направление, в котором функция цели возрастает с наибольшей скоростью. [c.155]

Однако при определении условного экстремума функции цели в допустимой области изменения параметров, который, как правило, не совпадает с ее абсолютным экстремумом, как, например, на рис. 5.15, 5.16, неравенство (5.45) может не выполняться. Поэтому в качестве более универсального условия окончания поиска по методу градиента используется следующее если в выбранном направлении не удается по каждому параметру выполнить рабочий шаг, дающий улучшение функции цели и по значению превышающий (соответствующий, например, отрезку разбиения Ах. в ранее рассмотренных методах), то поиск считается законченным. Ьри этом величина е характеризует точность приближения к экстремуму Q в пространстве параметров [c.156]

Раньше отмечалось, что для математического описания ЭМУ характерно отсутствие явно выраженных зависимостей функции цели от параметров. Поэтому особенностью алгоритма, реализующего метод градиента применительно к оптимизации ЭМУ, является численное определение градиента, в соответствии с которым даются малые приращения дх. каждому параметру в отдельности и в результате расчетов п раз определяются соответствующие приращения функции цели 80 . Тогда выражение (5.43) преобразуется к виду [c.157]

Если при выполнении очередного шага нарушаются ограничения или не удается улучшить значение функции цели, первоначально за- [c.157]

Если число пробных шагов принимается меньшим, чем количество параметров оптимизации и, то при определении направления поиска получается выигрыш по числу обращений к модели объекта проектирования для вычисления значений Q в сравнении с градиентным методом. Однако нужно иметь в виду, что уменьшение числа пробных шагов приводит к соответствующему уменьшению вероятности приближения к направлению градиента, а следовательно, к возможному увеличению количества рабочих шагов по определению экстремума функции цели. Как правило, при решении конкретных задач оптимизации ЭМУ существует оптимальное в заданных условиях количество пробных шагов, позволяющее определить приближение к искомому экстремуму 0 с приемлемыми затратами на поиск. В качестве примера на рис. 5.24 приведены зависимости от числа пробных шагов т колине- [c.159]

При отсутствии ограничений описанный выше процесс позволяет определить приближение к локальному экстремуму функции цели, в окрестности которого находится начальная точка поиска. В условиях действия ограничений при определенном взаимном расположении линий равного уровня Q поиск может закончиться при первом достижении границы допустимой области Д как, например, показано на рис. 5.26. В этом случае из точки х не удается сделать шаг по любой координате, не ухудшив значение функции цели. В итоге поиск оканчивается далеко от действительного местоположения экстремума б- [c.161]

Прежде всего для них характерна сходимость в процессе решения к локальным экстремумам функции цели, а в условиях действия ограни-162 [c.162]

Наиболее распространенным приемом, позволяющим отстроиться от локальности направленных методов поиска, является организация алгоритмов, в которых на первом этапе применяется пассивный поиск, а в дальнейшем — один из методов направленного поиска. Такое комби нирование методов оптимизации позволяет вести направленный обзор области поиска из нескольких начальных точек (как это показано в примере на рис. 5.21), которые могут формироваться методами сканирования или статистических испытаний. Важно отметить, что начальные точки должны находиться в области допустимых значений параметров. Схема организации комбинированного алгоритма поисковой оптимизации, дающего возможность определять приближения к глобальному экстремуму функции цели, представлена на рис. 5.28. [c.164]

Очевидными требованиями к параметрам оптимизации, крюме однозначности определения у (в том числе и Q), являются их взаимная независимость и управляемое ь, понимаемая как возможность изменения указанных величин в процессе оптимизации. В свою очередь функция цели должна правильно отражать сушество решаемой задачи и ощутимо зависеть от параметров оптимизации. [c.144]

В качестве важной особенности ЭМУ как объекта оптимизации необходимо отметить большое количество ограничений как основных, так и вспомогательных. Это приводит к сложной конфигурации допустимой области изменения параметров, а также к существенным трудностям попада1ШЯ в нее, что в совокупности значительно усложняет поиск экстремума функции цели. При этом часто лучшим вариантам проекта соответствуют точки в пространстве параметров, лежащие на границе допустимой области. При этом задача оптимизации ЭМУ сводится к отысканию лишь условного зкстремума функции цели. Примеры такой ситуации показаны на рис. 5.15 и 5.16, где представлены области поиска соответственно при минимизации времени разгона асинхронного гиродвигателя с короткозамкнутой беличьей клеткой в пространстве параметров к(кратность максимального момента) и при оптимизации на максимум КПД (р) асинхронного конденсаторного микродвигателя [19] в пространстве параметров к — коэффициента трансформации и Хном номинального скольжения. [c.147]

И, наконец, для математического описания ЭМУ характерны пологость функции цели в предэкстремальной области и наличие так назы-148 [c.148]

В многозтапных методах каждый щаг поиска осуществляется изменением одного или нескольких параметров из полного их числа и. К таковым относится группа методов покоординатного поиска, основанных на использовании одномерного поиска экстремума Q по каждому параметру х., и метод динамического программирования, в соответствии с которым функция цели разбивается на составляющие, которые последовательно оптимизируются на различных этапах расчета, чем и достигается решение задачи оптимизации в целом. [c.152]

Метод геометрического программирования предусматривает представление функций цели и ограничений в виде положительных степенных полиномов (позиномов) и решение задачи оптимизации аналитическим путем с использованием соотношения двойственности неравенств, связывающих между собой арифметическое и геометрическое среднее [16]. [c.152]

Метод градиента. В основе градиентных методов, как уже отмечалось, лежит организация движения изображающей точки в направлении градиента (антиградиента) функции цели [c.155]

При многоэкстремальном характере функции цели метод градиента, как и все методы направленного поиска, позволяет определить при-156 [c.156]

Существует также несколько приемов, позволяющих в процессе направленного поиска отстроиться от действия ограничений. К таким приемам относятся построение допустимого направления движения к экстремуму в каждой точке поиска (метод Зойтендейка), введение функций штрафа, организация зигзагообразного движения вдоль границы области Д поиск в направлении проекции градиента функции цели 164 [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...