Степенной ряд элементарных функций

Аналитический вид функции Ь х) может быть найден только методами статистической физики. Мы будем называть ее обобщенной функцией Ланжевена, или для краткости просто функцией Ланжевена по своему физическому смыслу она представляет собой степень ориентации элементарных магнитных моментов. Мы увидим в дальнейшем, что существует несколько различных функций Ь(х) — классическая функция Ланжевена и ряд квантовых функций Ланжевена. По этой причине мы не будем пользоваться явным видом функции Ь(х), тем более, что для получения большинства физических результатов существенны только следующие качественные свойства всех функций Ь(х) при X = МоН/КТ 1 (сильные поля и низкие температуры) имеет место эффект насыщения и Ь(х) 1 при х °о. Наоборот, при х 1 (слабые поля и высокие температуры) степень ориентации магнитных моментов мала и Ь(х) 1. Тангенс угла наклона кривой Ланжевена при X = о отличен от нуля Ь (0) 0, и разложение функции Ь(х) при [c.74]

Элементарная теория балки. При удержании в степенных рядах по д только не зависящего от д слагаемого выражения функции напряжений (2.4.7) представляются в виде [c.491]

Для этого воспользуемся некоторыми элементарными сведениями из теории функций комплексного переменного. Тригонометрические функции os Z и sin Z и показательную функцию е рассматривают в математике не только при вещественных, но и при произвольных комплексных значениях Z ), определяя их как суммы бесконечных степенных рядов [c.70]

Определение других коэффициентов намного сложнее. Необходимо использовать уравнение (3.302) для разложения в ряд Тейлора функции трех переменных. Подставляя (6.16) в (6.13) и учитывая члены до четвертой степени к включительно, получаем после некоторых элементарных преобразований [c.360]

Приведем разложения в степенной ряд некоторых элементарных функций [c.510]

Коэффициенты тригонометрических рядов только в редких случаях могут быть выражены через элементарные функции. В общем случае они довольно просто выражаются через функции Бесселя. На практике, однако, как правило, приходится разлагать функции Бесселя в ряды по степеням эксцентриситета и пользоваться только их первыми членами. [c.232]

С другой стороны, уравнение (6) не имеет решения, которое может быть представлено конечным числом элементарных функций. Скорее всего рещение этого уравнения можно получить с помощью бесконечного степенного ряда от Qa с однозначно установленными коэфициентами , сумма которого представляет бесселеву функцию нулевого порядка и обозначается через Jo Qa), т. е. [c.356]

При установившемся ламинарном течении значения обобщенных координат однозначно определяются заданными внешними условиями, так что число степеней свободы ламинарного потока равно нулю. Число степеней свободы турбулентного потока, занимающего в пространстве ограниченный объем, весьма велико, но практически является конечным. Действительно, при разложении поля скорости в ряд по ортогональным функциям различные слагаемые описывают элементарные движения разных масштабов, и неограниченное увеличение номера слагаемого соответствует неограниченному уменьшению масштаба соответствующего элементарного движения. Однако из-за наличия вязкости колебания слишком малых. масштабов существо->вать не могут. Поэтому при стационарных внешних условиях коэффициенты разложения поля скорости по ортогональным функциям, имеющие достаточно большие номера, не зависят от. [c.92]

Этим мы не хотим утверждать абсолютно, что ш существует других первых интегралов напротив, для всякой нормальной дифференциальной системы первого порядка с п неизвестными функциями от одного перемен-яого из теоремы существования общего решения, зависящего от п произвольных постоянных, необходимо следует существование и первых интегралов, которые теоретически можно получить, разрешая относительно произвольных постоянных уравнения общего решения. Если из этих п первых интегралов, зависящих от t, исключим это переменное, то придем во всяком случае к л — 1 первых интегралов, связывающих только неизвестные величины задачи. Но во все теоремы существования входят разложения в степенные ряды или другие виды последовательных приближений, т. е. бесконечные алгоритмы, которые, вообще говоря, не приводят к функциям, выражающимся элементарно (алгебраическим, показательным или тригонометрическим), а когда в механике говорят о первых интегралах, известных или подлежащих определению (если нет явно выраженной оговорки о противном), то подразумеваются именно интегралы, выражаемые в этой Элементарной форме. [c.100]

Наиболее общий вид моделей первого класса отнесен к модификации 4. Несколько разновидностей таких моделей приводятся в табл. 6. В первом случае речь идет о механизмах, расчетная схема которых состоит из колебательных контуров привода и ведомого звена, соединенных механизмом с нелинейной функцией положения. Кроме того, сюда отнесены модели передаточных механизмов, состоящих из ряда элементарных кинематических групп, соединенных достаточно податливыми звеньями (О—III— —Па—У). Из этой схемы при отсутствии первого механизма (111), а также при Ji = О получена модель с одной степенью свободы, учитывающая упругодиссипативные свойства привода и инерционно-упругодиссипативные свойства ведомого звена. Этот предельный случай условно обозначен Vj—П—Va- [c.52]

Клавишная электронная вычислительная машина Искр а-111 предназначена для механизации математических и технических расчетов. Выполняет алгебраическое сложение и вычитание, умножение, деление прямое и обратное и ряд других операций, связанных с вычислением процентов, вызов информации из регистра памяти и др. Машина оперирует с 12-разрядными числами. Клавиатура машины имеет следующие клавиши 10 цифровых, запятая, сложение, вычитание, умножение, деление прямое и обратное, итог, накопление, вычисление процента, изменение знака и ряд клавиш, имеющих отношение к учетно-бухгалтерским расчетам. Кроме того, полуавтоматически можно производить возведение в целую степень, извлечение квадратного и кубического корня, а также вычисление элементарных функций. [c.57]

А для того, чтобы в рамках прииятой точности гюлучить приближенные выражения ядер A,(g, т)) и т)), заметим, что все ряды в (5.36), кроме последнего, а также все ряды в (5.37), кроме последних двух, довольно быстро сходятся, и их можно заменить эквивалентными степенными рядами относительно g и п. Что же касается указанных медленно сходящихся рядов, то при помощи вторых членов асимптотических разложений (5.30)—(5.31) выделим, как и выше, их главные части и просуммируем. Б итоге придем к элементарным функциям точно таких типов, которые уже фигурируют в (5.36) и (5.37). Последние легко разлагаются в степенные рдды. Опуская промежуточные выкладки и преобразования, приведем окончательные результаты [c.335]

В плоской и пространственной динамике твердого тела обнаружены первые интегралы диссипативных и антидисси-пативных систем, являющиеся трансцендентными (в смысле классификации их особенностей) функциями, выражающимися в ряде случаев через элементарные функции. Введены новые определения свойств относительной грубости и относительной негрубости различных степеней, которыми обладают проинтегрированные системы. [c.9]

Тем не менее на практике весьма многие мыслительные процессы смоделировать гораздо легче, чем воспроизвести столь бесхитростные с отвлеченно философской точки зрения движения руки. Сегодня специалисты еще не ставят перед собой задачу точно скопировать живую руку с ее бесконечно богатым набором функций. Достаточно сказать, что у руки 27 степеней свободы. Такой подвижности пока нет ни у одного механизма. В реализации сложных движений одновременно участвуют десятки подвижных сочленений, связок, мышц и сухожилий, причем их действия непрерывно контролируются и направляются мозгом с помощью разветвленной цепи рецепторов. Даже сильно упрощенная модель руки, которую представляет собой сегодняшний манипулятор — ис-кл-ючительно сложный пространственный механизм с многочисленными шарнирами, кинематическими парами, независимо перемещающимися звеньями (фотография такого манипулятора помещена на обложке этой книги). Каждый, кто в студенческие годы, столкнувшись с элементарным расчетом кривошипно-шатунного механизма или простого маховика, расшифровывал курс ТММ (теория механизмов и машин) словами тут моя могила , сразу представит себе громоздкие математические формулы, густо нафаршированные корнями и тригонометрическими функциями, бесконечными рядами и интегралами, без которых не обойдешься при проектировании простейших манипуляторов. [c.287]

Пусть решение этого (вообш,е говоря, трансцендентного) уравнения есть ш к) = к) — 7 к). Здесь ш ,(й) и т(й) суть веш,ественные функции, причем следует считать 7 ( ) >- О (см. гл. 1). Этим определяется выбор знака в уравнении (18.6а). Как уже неоднократно отмечалось (см., например, 16), представление об элементарных возбуждениях имеет смысл лишь постольку, поскольку затухание достаточно мало. В связи с этим предположим заранее, что 7. Соответственно припишем мнимой части поляризационного оператора формальный малый параметр е и будем искать решение уравнения (18.6) [или (18.6а)] в виде ряда по степеням е. [c.165]

Эксперименты на песчаных моделях с трехразмерными гравитационными течениями. Теперь становится ясным, что в свете рассмотрения, проведенного в гл. VI, п. 17, уравнения (5) и (9) гл. VI, п. 17, базирующиеся на теории Дюпюи-Форхгеймера, дающие форму свободной поверхности и величину расхода при гравитационном радиальном течении, едва ли могут считаться в какой-либо степени справедливыми без прямого эмпирического или точного аналитического подтверждения. Однако эти уравнения были поставлены под сомнение только в 1927 г., когда Козени опубликовал свою первую попытку решить проблему течения прямыми методами потенциальной теории . Так, начав с уравнения Лапласа [(2), гл. VI, п. 1], он сделал попытку синтезировать решение, удовлетворяющее граничным условиям гравитационного течения с помощью элементарных решений того типа, который был применен нами для исследования проблемы несовершенных скважин [уравнение (7), гл. V, п. 3]. К сожалению, точные граничные условия не были приложены им к решению этой задачи. Так, расход через систему был принят соответствующим линии тока, входящей в колодец на уровне жидкости в последнем. Однако в колодце, как уже было отмечено, будет иметь место определенный разрыв непрерывности, так что свободная поверхность системы будет входить в колодец над уровнем жидкости в последнем, давая толчок к образованию поверхности фильтрации. Тогда решение будет состоять только из постоянных членов и ряда функций Ганкеля, и радиальные скорости на значительных расстояниях от колодца станут экспоненциально исчезающе малыми. Однако с физической стороны ясно, что в точках, удаленных от поверхности колодца, радиальные скорости должны асимптотически приближаться к соответствующим значениям в строго двухразмерном радиальном течении. Поэтому потенциальная функция в таких точках асимптотически приближается к логарифмическому изменению или содержит, очевидно, логарифмический член, как это имеет место, например, в уравнении (5), гл. VII, п. 20 (vide infra). Наконец, потенциальная функция Козени не обладает характеристикой, требуемой каждым точным решением проблемы гравитационного течения, а именно, чтобы наивысшая линия тока была линией тока свободной поверхности с потенциалом, пропорцио- [c.302]

Определение частот свободных колебаний балок переменного сечения представляет значительные трудности. Воспользуемся известным методом, который позволяет с достаточной степенью точности найти первую частоту свободных колебаний [5] и заключается в приведении вариационной задачи к задаче на разыскание экстремума функции многих независимых переменных. Такое приведение осуществляется путем отбора из всех возможных допустимых функций, на которых рассматриваются значения функционала, некоторого специального класса функций, зависящих от конечного числа неопределенных параметров для начального момента. Подстановка этих функций в выражение функционала превращает его в функцию этих параметров, экстремум которой может быть найден известными элементарными способами. По Ритцу значения функционала [5] рассматриваются на совокупности линейных выражений ряда [c.56]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...