Стержни Стержни Радиусы кривизны

Это есть свободная энергия единицы длины изогнутого стержня. Радиус кривизны R определен здесь как радиус кривизны нейтральной поверхности. Но в силу тонкости стержня здесь с той же точностью R можно считать просто радиусом кривизны самого изогнутого стержня, рассматриваемого как не имеющая толщины линия (об этой линии часто говорят как об упругой линии). [c.96]

У пустотелого кривого стержня радиус кривизны внутренних волокон равен 1,25 см. Сечение представляет собой полый квадрат с наружной стороной 2,5 см и внутренней 1,5 см. [c.253]

Размеры поперечного сечения остаются малыми по сравнению с длиной стержня и радиусом кривизны оси стержня (под осью стержня понимается линия, соединяющая центры тяжести площадей -поперечных сечений стержня). [c.66]

Здесь Е1 — соответствующая жесткость стержня р — радиус кривизны М — изгибающий момент в рассматриваемом сечении стержня. Располагая [c.189]

Указанный способ для вычисления упругого момента предполагает, что отношение толщины стержня к радиусу кривизны и обратному значению степени кручения имеет такой же порядок величины, как малые смещения, которые, вообще, допустимы в математической теории упругости. Только при этом условии стержень может быть выпрямлен, не получая при этом таких деформаций, которые превышали бы указанный порядок величины. Впрочем нет необходимости принимать это предположение, чтобы получить формулы (28), как приближенные формулы для вычисления компонентов упругого момента. Мы можем применить здесь метод 256 и ввести начальную кривизну и начальную степень закручивания при помощи таких равенств [c.414]

Пример I. Тяжелый стержень АСВ находится в горизонтальном положении равновесия внутри поверхности вращения с вертикальной осью симметрии. Пусть 2а — длина стержня, р — радиус кривизны образующей поверхности вращения на каком-либо конце стержня, / — угол, составляемый этим радиусом кривизны с вертикалью. Телу сообщается малое возмущение, после которого оно совершает малые колебания в вертикальной плоскости. Доказать, что длина эквивалентного математического маятника равна [c.390]

Оболочками в теории упругости называют тела, ограниченные двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми h (толщина) мало по сравнению с другими размерами тела. Поверхность, которая делит толщину оболочки пополам, называют срединной. В частном случае плоской срединной поверхности оболочка превращается в пластину. Поэтому, так же как арки называют кривыми стержнями, оболочки иногда называют кривыми пластинами. Этот термин удачен для незамкнутых оболочек, применяемых для перекрытия больших площадей без промежуточных опор, но неудачен для замкнутых оболочек, таких, как сферическая и цилиндрическая (резервуары и т. п.). Можно использовать оба термина. Для краткости будем использовать только термин оболочка . Под тонкими оболочками понимаются такие, у которых отнощение толщины h к наименьшему радиусу кривизны R срединной поверхности мало по сравнению с единицей. Допуская обычную для технических расчетов погрешность в 5%, будем считать тонкими оболочками такие, у которых max (/г/i ) < 1/20. Подавляющее большинство встречающихся на практике оболочек имеют отношение h/R, лежащее в пределах 1/1000 /г// sg 1/50. [c.214]

Найти траектории точек С и /) стержня АС = 1/2, АО = Ы/А), а такл е радиус кривизны траектории точки D в момент соприкосновения стер/Кия с полом. [c.34]

Введем единичный вектор t, направленный по касательной к стержню, рассматриваемому здесь просто как упругая линия. Производная dt/d/ называется вектором кривизны линии его абсолютная величина равна 1/1 , где 7 — радиус кривизны ), [c.98]

Решение. Выбирая начало полярных координат г, ф в- центре окружности, напишем уравнение деформированной линии стержня- в виде г = а + + С (ф), где а — радиус дуги, а С—малые радиальные смещения при изгибе. Воспользовавшись известным выражением для радиуса кривизны в полярных координатах, найдем с точностью до членов первого порядка по [c.118]

Основные определения и допущения механики гибких стержней. Стержнем называется тело, у которого размеры поперечного сечения малы по сравнению с длиной и радиусом кривизны осевой линии. Осевой линией стержня называется линия, соединяющая центры тяжести площадей поперечных сечений стержня. Принято различать два вида осевых линий стержня осевую линию ненагруженного стержня, характеризующую его естественное состояние, и осевую линию нагруженного стержня, или упругую осевую линию. Основная особенность гибких стержней заключается в том, что осевая линия нагруженного стержня может сильно отличаться от осевой линии естественного состояния стержня, но при этом его деформации подчиняются за- [c.13]

Уравнение, связывающее векторы М и х. Рассмотрим элемент стержня в деформированном состоянии в связанной системе координат (рис. 1.4). В плоскостях, проходящих через главные оси сечения, проекция осевой линии имеет кривизны И2 и хз, которые являются проекциями кривизн пространственной осевой линии. Так как вектор радиуса кривизны р направлен по бинормали естественных осей, которые повернуты на угол -б-ю по отношению к главным осям сечения, то имеем (п. 2.4 Приложения 2) [c.17]

Осевые линии канала и стержня есть плоские кривые с разными радиусами кривизны. В этом случае = 9- о = 0. Уравнение равновесия [частный случай уравнения (5.152)] [c.222]

Кривой стержень в виде полукольца нагружен вертикальной равномерно распределенной нагрузкой q = 500 кН/м (см. рисунок). Радиус кривизны оси стержня R = 180 см размеры прямо угольного поперечного сечения высота Я = 60 см, ширина Ь == [c.250]

Кривой стержень круглого поперечного сечения диаметром D = 8 см нагружен силой Р = 20 кН (см. рисунок). Радиус кривизны оси стержня / = 14 см. Построить эпюру нормальных напряжений для сечения А — В. [c.250]

По формуле (16.3.4) находим радиус кривизны по нейтральному слою стержня [c.290]

Решение. Опасными сечениями стержня являются сечения в вершинах синусоиды, где М=Ра=20Р кГ - см, N —РкГ и радиус кривизны геометрической оси [c.292]

Ползуны А а В, скользящие вдоль взаимно перпендикулярных прямолинейных направляющих, соединены стержнем АВ длиной I (рис. И). При движении механизма угол ф меняется но закону ф = пг/4 (г —в секундах). Найти траекторию точки М стержня, а также скорость, ускорение и радиус кривизны траектории этой точки в момент, когда = л/2, если 2 = 48 см, AM - г/4. [c.29]

В табл. 2 приведены результаты вычисления напряжений по формулам (6.41) и (6.42) для стержня большой кривизны, когда высота сечения к = Гд или радиус Ь = 3а. Наибольшее значение напряжения полученное методом теории упругости принято за единицу. [c.108]

Для описания закритического поведения стержня при больших прогибах следует использовать полное нелинейное уравнение равновесия. Поскольку при больших прогибах М = = EJ/р, где р - радиус кривизны изогнутой оси стержня, то из уравнения (13.4) находим [c.515]

В результате деформации изгиба поперечное сечение 1—2 бруса поворачивается относительно сечения 3—4 на угол Дйф и занимает положение Г—2. Длина волокна О — О, проходящего через точку О пересечения прямых 1—2 и Г—2, при деформации не изменяется, и, следовательно, это волокно расположено в нейтральном слое стержня. Волокно п — п (с радиусом кривизны р и длиной /=р-йф) в результате деформации удлиняется на величину п — /г, равную Р Абф, где г)—расстояние от этого волокна до нейтрального слоя (рис. 10.4) относительное удлинение волокна п — п [c.413]

Здесь Q — радиус кривизны изогнутого стержня. Если линейка имеет прямоугольное сечение высотой h, то максимальное удлинение, а вместе с ним и максимальное напряжение, будет [c.63]

Рассмотрим прямолинейный стержень, шарнирно закрепленный на концах и нагруженный центрально приложенной сжимающей силой (рис. 176). Допустим, что величина этой силы достигла некоторого критического значения Р = Р р и стержень слегка изогнулся. Предположим, что потеря устойчивости происходит при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности (ст ц) материала стержня. Выделим из бруса элемент длиною dx по нейтральному слою, как показано на рис. 176. После искривления оси стержня его сечения взаимно развернутся на угол dQ. Выражая радиус кривизны оси стержня через р, [c.204]

Сравним эти выражения с выражениями для р, q, г уравнений (19) пятой лекции и вспомним значение, приданное там р, q, т тогда мы увидим, что pds, qds, rds — это углы, на которые повернется система осей X, у, Z вокруг осей х, у, z, когда начало ее опишет элемент ds. Количество rds называется кручением части стержня, соответствующей элементу ds, а р я q будут обратными радиусами кривизны проекций элемента ds на плоскости у, z и х, z. [c.340]

В прикладных задачах статики стержней часто внешние силы, действующие на стержни, зависят от перемещений стержня (или от их первых двух производных). Классическим примером являются стержни на упругом основании (рис. 2.1). При нагружении стержня возникают со стороны основания распределенные силы, зависящие от перемещений (прогибов) стержня. Стержни (вернее конструкции или элементы конструкций, которые сводятся к модели стержня) из разных областей техники показаны на рис. 2.2 — 2.6. Упругий металлический элемент прибора, находящийся в магнитном поле, изображен на рис. 2.2. Сила притяжения (распределенная) зависит от прогибов стержня аналогично случаю балки на упругом основании. Стержень, находящийся на вращаю.щейся платформе (см. рис. 2.3), нагружается силами, зависящими от прогибов, причем в этом случае наряду с нормальной распределенной нагрузкой qy (у) появляется и осевая распределенная нагрузка у). При продольно-поперечном изгибе (см. рис. 2.4) в произвольном сечении стержня возникает момент от осевой силы, пропорциональный прогибу. К этому классу относятся задачи статики трубопроводов, зашолненных движущейся жидкостью. При поперечном изгибе трубопровода (см. рис. 2.5) из-за появляющейся кривизны осевой линии стержня возникают распределенные силы, обратно пропорциональные радиусу кривизны. К этому классу можно причислить задачи, относяшд1еся к плавающим объектам и сводящиеся к схеме стержней (см. рис. 2.6), например понтон. [c.33]

При выводе приближенных выражений для компоненто деформации обознпчим через [7] некоторую величину, имеющую порядок отношения толщины стержня к радиусу кривизны или толщины к обратному значению степени кручения, причем кривизна и степень кручения вычислены для начального или деформированного состояния через [е] обозначим величину порядка компонентов деформации. Величины Т( У, т, у имеют порядок [7] 1 ч)У имеют порядок [г]. Если в выражении отбросить вег величины порадка [ ( ] [е] и [е]2, тогда вместо формул (19) мы получим следующие [c.415]

Легко определить величину относительного растян<ения в каждой точке стержня. Рассмотрим какой-нибудь элемент длины dz, параллельный оси стержня и находящийся где-нибудь вблизи начала координат. При изгибании стержня длина dz изменится, сделавшись равной dz. Неизменными остаются только те элементы длины, которые расположены на нейтральной поверхности. Пусть R есть радиус кривизны нейтральной поверхности вблизи начала координат. Длины dz и dz можно рассматривать как элементы дуги окружностей с радиусами соответственно R и -f х, где X — значение координаты х в точке, в которой выбран элемент dz. Поэтому [c.94]

ВДОЛЬ его длины, т. е. производная dt/dl мала. Другими словами, радиус кривизны изогнутого стержня в каждой точке должен быть велик по сравнению с длиной стержн . Практически это условие сводится к требованию малости поперечного прогмба стержня по сравнению с его длиной. Подчеркнем, что при этом отнюдь не требуется малости прогиба по сравнению с толщиной стержня, как это должно было быть в приближенной теории слабого изгиба пластинок, развитой в 11—12 ). [c.110]

Осевые линии канала и стержня есть плоские кривые с безразмерными радиусами кривизны, соответственно равными Оз=Озо/(е), где Озо=6 и хзо=5. Безразмерные жесткостч равны Лзз=Л22=1 Лц = 0,5. [c.226]

Для стержня постоянного сечения (/4зз=1) возмох ны два случая. Если при критическом состоянии форма осевой линии стержня мало отличается от ее естественного состояния, то можно принять, что Хз,= 1/рс (е) дз = Озо(е), где ро°(е)—безразмерный радиус кривизны осевой линии стержня (ро и Озс — известные функции е). В этом случае система уравнений (1) является линейной. Проекции распределенной нагрузки [c.275]

Во внешних волокнах кривого стержня круглого поперечного сечения диаметром D= 8 см от действия изгибаюш,его момента нормальные напряжения равны 40МПа. Радиус кривизны внешних волокон / 2 = 14 см. Определить нормальные напряжения во внутренних волокнах стержня. [c.250]

В данном случае коэффициент концентрации равен 2. Заметим, что при 0=0 Тг = 0. Поэтому, если рассечь тело плоскостью Xi, Xi, эта плоская граница будет свободна от напряжений. Таким образом, найденное решение будет справедливо не только для бесконечной плоскости с круговым отверстием, но также для полуплоскости с вырезом в форме полуокружности или для стержня с полукруглой канавкой на поверхностл если радиус кривизны контура сечения много больше чем а, решение для бесконечной полуплоскости будет мало отличаться от истинного. [c.307]

Поскольку интеграл в (12.8)4— статический момент площади поперечного сечения относительно оси х, совпадающей со следом нейтрального слоя на плоскости поперечного сечения стержня, равенство (12.8)4 возможно лишь в случае, если ось х проходит через центр тяжести поперечного сечения. Выше было принято, что ось г есть проекция оси стержня на нейтральный слой. Сейчас получили уточнение — ось стержня лежит в нейтральном слое и, следовательно, совпадает со своей проекцией — осью г. Поскольку интеграл в (12.8)2 — центробежный момент инерции площади поперечного сечения, выполнение (12.8)2 возможно, если оси х и у являются главными осями инерции площади поперечного сечения. Выше было сделано предположение о совпадении плоскости действия внешних моментов, вызывающих чистый изгиб бруса, с плоскостью изгиба, в которой лежит изогнутая ось стержня, а следовательно, и центр п радиус кривизны оси. Теперь получено условие (12.8)2, при котором такое совпадение возможно. Только в том случае, если плоскость действия внешних моментов, вызывающих чистый изгиб, содержит в себе одну из главных осей инерции площади всех поперечных сечений стержня, эта плоскость совпадает с плоскостью изгиба другая главная ось инерции площади поперечного сечения сливается с нейтральной линией. В отличие от обсужденного выше существует и так называемый косой чистый изгиб, при котором плоскость действия внешних моментов и плоскость изгиба не совпадают (имеется в виду, что обе плоскости содержат ось стержня). Косой изгиб рассмотрен в главе XIII как частный случай более сложной деформации стержня — пространственного поперечного изгиба. [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...