Пластинки тонкие — Состояние напряженное плоское

Как ясно из сравнения (2.6.2) и (2.6.6), а также (2.6.3) и (2.6.5), условия плоского напряженного состояния и плоской деформации приводят к совершенно различным результатам. Это неудивительно, поскольку они отвечают различным физическим ограничениям. Плоское напряженное состояние можно представить, рассматривая тонкую пластинку, нагруженную в своей плоскости — плоскости X, у — и не стесненную в направлении оси z. Деформация е г в (2.6.1) возникает потому, что отсутствует стеснение в направлении оси z, т. е. в направлении, перпендикулярном плоскости пластинки. Плоскую деформацию можно представить, рассматривая тонкую пластинку, нагруженную в своей плоскости X, у, но стесненную в направлении оси z. В этом случае в на- [c.27]

Следует, однако, подчеркнуть, что с физической точки зрения условия плоского напряженного состояния и плоской деформации не эквивалентны. Плоское напряженное состояние относится только к тонким пластинкам, поскольку должна быть гарантия того, что напряжения не изменяются по толщине пластинки [53, стр. 34, 284—2861. Условия плоской деформации, как упоминалось выше, также применимы для тонких пластинок, но только при условии, что они соответствующим образом стеснены. Однако плоскую деформацию более привычно рассматривать для случаев, когда геометрия тела и условия нагружения не изменяются в одном направлении на достаточно протяженном участке. Примером такого случая может служить длинный туннель с постоянным поперечным сечением. Если по длине туннеля условия нагружения не изменяются, то при анализе задачи достаточно рассмотреть перпендикулярный к оси туннеля слой единичной толщины. Эта ситуация представляется условиями плоской деформации [53, стр. 34—36]. [c.28]

До сих пор мы предполагали, что напряженное состояние упругого кольца, подкрепляющего край отверстия в пластинке, описывается, как и напряженное состояние самой пластинки, уравнениями плоской теории упругости или уравнениями изгиба тонких пластинок. Если подкрепляющее кольцо достаточно тонко или имеет фасонный профиль, то его с большим основанием следует рассматривать как кривой брус, деформации которого описываются элементарными уравнениями теории сопротивления материалов. [c.65]

Заметим, далее, что плоское напряженное состояние реализуется в тонких безмоментных оболочках. В оболочках и пластинках, испытывающих изгиб, имеет место плоское напряженное состояние, изменяющееся по толщине (отличные от нуля компоненты напряжения 0 -, Оу, Хху зависят от г, где г отсчитывается по нормали к срединной поверхности). [c.231]

Рассмотрим тонкую пластинку высотой 2А (рис. 11) с внешними силами, действующими в ее срединной плоскости. Срединной плоскостью пластинки назовем плоскость, делящую пополам высоту пластинки. От действия внешних сил срединная плоскость не искривляется и пластинка не изгибается, она испытывает обобщенное плоское напряженное состояние. [c.29]

Бигармоническая проблема возникает еще при рассмотрении задачи об изгибе пластин. Пусть имеется упругое тело в форме тонкого цилиндра толщины к. Как и в плоском напряженном состоянии, выберем оси координат таким образом, чтобы плоскость 2 = 0 была срединной. Будем считать, что в ходе деформирования прогибы пластинки оказываются малыми, что дает основание сделать следующие выводы. Нормали к срединной поверхности в ходе деформирования переходят в нормали к деформированной срединной плоскости (так называемая гипотеза прямых нормалей). Напряжения Стг считаются пренебрежимо [c.280]

При плоском напряженном состоянии условия совместности отличаются от условия (21) и не выполняются при сделанных нами предположениях. В 131 показывается, что, несмотря на это, метод, изложенный в данной главе, дает для тонких пластинок хорошее приближение. [c.49]

На стр. 49 отмечалось, что система уравнений для задач о плоском напряженном состоянии при сделанных предположениях (Од = Т ег = = О, а , Оу, Тху не зависят от 2), которую мы сочли достаточной, не обеспечивает удовлетворение всех условий совместности. Эти предположения требуют, чтобы величины Ех, Еу, 8 , Уху не зависели от 2 и чтобы ухг Ууг равнялись нулю. Первое из условий совместности (125) включалось в теорию плоского напряженного состояния в качестве уравнения (21). Легко проверить, что остальные пять уравнений удовлетворяются только в том случае, когда представляет собой линейную функцию от х и у, что является скорее исключением, чем правилом, в решениях, полученных в главах 3 — 6. Очевидно, что эти решения не могут быть точными, однако, как мы сейчас покажем, они являются достаточно близким приближением для тонких пластинок. [c.284]

Мы можем теперь получить распределение напрял<ений путем выбора функции ф от л и у, которая удовлетворяет уравнению (н), находя в из уравнения (м) и ф из уравнения (л). После этого напряжения определяются по формулам (б). Каждое из них, согласно (л), состоит из двух частей, из которых первая вычисляется по ф , а вторая — из члена —1/2 (v/1 + v) 0 2 . В силу уравнения (н) первая часть в точности отвечает компонентам плоского напряженного состояния, найденным в главах 3 — 6. Вторая часть, будучи пропорциональна 2 , может быть сделана сколь угодно малой по сравнению с первой, если ограничиться достаточно тонкими пластинками. Отсюда следует, что полученные нами в главах 3 — 6 решения, хотя и не удовлетворяют условиям совместности, но тем не менее служат хорошим приближением для тонких пластинок. [c.286]

В настоящей главе рассматриваются элементы балочного типа-в условиях плоской задачи теории упругости. Практически это означает, что полученные решения применимы либо для тонких пластинок, когда напряжения считаются равными нулю и Од., у, не зависят от координаты z (плоское напряженное состояние), либо для тел, размеры которых вдоль оси 2 очень велики, и нагрузка в этом направлении не изменяется (плоская деформация). В отличие от плоского напряженного состояния, когда (T =0 и при плоской деформации [c.48]

Плоское напряженное состояние может существовать, например, в тонких пластинках. В этом случае а, = О, а [c.8]

За последние десятилетия XIX века крупных успехов удалось достигнуть в решении двумерных задач теории упругости. Существуют два типа таких задач. Если тонкая пластинка подвергается действию сил, приложенных по ее краю, в ее срединной плоскости (которую мы совмещаем с плоскостью ху), то компоненты о., и Ху, напряжения по обеим граням пластинки обращаются в hj jil, и тогда, не делая большой погрешности, мы вправе допустить, что эти компоненты равны нулю также и по всей толщине пластинки. В подобных случаях мы имеем дело с (обобщенным) плоским напряженным состоянием. Другого рода двумерная задача возникает, если длинное цилиндрическое или призматическое тело нагружено распределенными силами, интенсивность которых не меняется по длине цилиндра. В такой системе участок тела, отстоящий на значительном расстоянии от концов цилиндра, испытывает, по существу, плоскую деформацию, т. с. перемещения при деформировании происходят лишь в плоскостях, перпендикулярных к оси цилиндра (которую мы совмещаем с осью z). В этом случае обращаются в нуль компоненты деформации г., и Ууг нам достаточно рассматривать лишь три компоненты деформации s , и Такое состояние упругого тела называется плоской деформацией. [c.418]

Существуют и другие случаи изгиба, в которых имеет место плоское напряженное состояние, и уравнение (103) удовлетворяется в точности. Возьмем, например, круглую пластинку с круглым центральным отверстием, изогнутую моментами М , равномерно распределенными по контуру отверстия (рис. 57). Каждый тонкий слой пластинки, вырезанный двумя смежными плоскостями, параллельными срединной плоскости, будет находиться точно в таком же напряженном состоянии, как и толстостенный цилиндр, подвергнутый равномерному внутреннему давлению или растяжению (рис. 57, Ь). Сумма обоих главных напряжений будет в этом случае ) величиной [c.116]

Замечание. Если мы рассматриваем тонкую пластинку ( обобщенное плоское напряженное состояние ) то в предыдущих формулах, вместо X, надо взять [c.197]

В такой постановке задача о подкрепленных краях впервые рассматривалась М. П. Шереметьевым (см., например, его книгу, 1960). Подкрепляющее кольцо постоянного сечения было принято за тонкий стержень, обладающий жесткостью на растяжение и изгиб в случае плоского напряженного состояния и жесткостью на изгиб и кручение при изгибе тонких пластинок. [c.65]

Дальнейшее обобщение этого подхода было дано Г. Н. Савиным и Н. П. Флейшманом (1961). Предполагая подкрепляющий стержень весьма тонким (т. е. считая поперечное сечение стержня весьма узким), они несколько ослабили граничное условие на контуре слоя и сформулировали в терминах комплексного переменного объединенную задачу о кольцевых подкреплениях со смягченными граничными условиями. При выводе этих условий использовалось предположение о том, что стержень в случае плоского напряженного состояния не сопротивляется изгибу, а при поперечном изгибе пластинок лишен крутильной жесткости. [c.65]

Плоское напряженное состояние. Несколько более сложной является задача о плоском напряженном состоянии, возникаюш ем в тонких пластинках, подверженных действию нагрузок, лежаш их в срединной плоскости. Случай плоского напряженного состояния важен еш е и потому, что аналогичное состояние реализуется при изгибе тонких пластин и оболочек. [c.105]

Обобщенное плоское напряженное состояние. Задача о плоском напряженном состоянии не является в действительности двумерной задачей, поскольку переменная г появляется в качестве параметра в каждом из приведенных выше уравнений. Однако Файлон ) показал, что систему уравнений можно видоизменить, предполагая, что компонент напряжения равен нулю всюду на пластинке, а касательные напряжения х у и Ху равны нулю только на гранях пластинки 2 = Т /г. Идея Файлона заключалась в следующем если пластина тонкая, то знание средних величин компонентов вектора перемещения и тензора напряжений равноценно знанию их точных значений в каждой точке. По этой причине мы заменим каждую физическую величину / ее средним значением /, определяемым по формуле [c.77]

Плоское напряженное состояние. Такую же математическую задачу, как для плоского деформированного состояния, мы получим в случае так называемого плоского напряженного состояния однако следует отметить, что здесь мы имеем только приближенное решение основных уравнений теории упругости. Пусть мы имеем плоскую тонкую пластинку расположим координатную систему так, чтобы средняя плоскость пластинки совпадала с координатной плоскостью г = О, [c.116]

Обратимся теперь к другому случаю, аналогичному предыдущему, но противоположному в смысле протяжения вдоль оси Oz, т. е. опять рассмотрим задачи, показанные на рис. 46. Предположим, однако, что длина призматического тела вдоль оси Oz весьма мала значит, мы будем иметь тонкую пластинку (толщиной h), нагруженную по боковой поверхности (ребру) силами, параллельными ее основаниям. Пока нагрузка не превосходит некоторого предела (критического значения), равновесие пластинки будет устойчиво и она не будет прогибаться в направлении оси Oz. Этот случай называется обобщенным плоским напряженным состоянием. [c.140]

При решении задач сопротивления материалов чаще всего рассматриваются случаи, когда возникает плоское напряженное состояние. Одним из примеров плоского напряженного состояния является напряженное состояние, которое возникает в тонкой пластинке при действии сил в ее плоскости (рис. 4.65). В окрестности произвольной точки А выделим элементарный кубик. Покажем напряжения, возникающие на площадках этого кубика. Поскольку на поверхностях пластинки 2 = О и 2 = Л отсутствует внешняя нагрузка, то напряжения на этих площадках будут равны нулю = О, = О, т у = О. Поскольку рассматривается тонкая пластинка, то можно утверждать, что во всех внутренних точках на площадках 2 напряжения также будут равны нулю = О, = О, = о. На основании закона парности касательных напряжений [c.318]

В любой задаче, где рассматривается плоское напряжение, средние значения смещений не зависят от величин и F 145 и будут такими же, как и в задаче, где мы имеем дело с обобщенным плоским напряжением. Из этого вытекает, что исследование плоского деформированного состояния позволяет судить о случаях, когда действующие силы вызывают деформацию более общего характера. Этот метод применим в задачах о равновесии тонких пластинок, которые деформируются силами, лежащими в их плоскости. Истинное значение напряжения и смещения в пластинке при этом не определяются (за исключением случая, когда силы действуют так, что мы имеем плоское напряженное состояние), а определяются только средние значения этих величин по толщине пластинки. Каждую такую задачу можно решить, рассматривая соответствующую задачу о плоской деформации и заменяя в результатах постоянную X на X. [c.219]

Рассмотрим тонкую пластинку, находящуюся в плоском напряженном состоянии, с бесконечным числом одинаковых круговых отверстий, центры которых расположены на оси х и находятся на расстоянии I друг от друга. Радиусы отверстий, к контурам которых приложены нормальные усилия р, примем равными i . На бесконечности имеет место однородное напряженное состояние [c.188]

Статической гипотезе, на основании которой пренебрегают нормальными напряжениями Ог на площадках, параллельных срединной плоскости, возникающими вследствие нажатия горизонтальных слоев пластинКи друг на друга. Таким образом, при введении этой гипотезы каждый бесконечно тонкий слой пластинки, взятый параллельно срединной плоскости, может рассматриваться, как находящийся в условиях плоского напряженного состояния. [c.96]

Рассмотрим тонкую пластинку, находящуюся в плоском напряженном состоянии (рис. 9.1). Координатные оси к м у расположены в срединной плоскости пластины, в которой действуют постоянные по толщине пластины I напряжения о , и %хч- Предполагается, что нормальным напряжением и касательными напряжениями и Туг можно Пренебречь. Дифференциальные >равнения равновесия имеют вид уравнений (4.2). Соотношения между деформациями и перемещениями представлены формулами (4.7). Уравнение (4.8) представляет собой дифференциальное уравнение совместности. [c.266]

В тех случаях, когда пространственная конструкция состоит из тонкостенных элементов, каждый из них может просматриваться на ПДУ в проходящем или отраженном свете. При исследовании объемных моделей часто встречаются случая, когда большой интерес представляют области, в которых точки находятся в условиях плоского напряженного состояния, однако поле волновых напряжений в них формируется с учетом пространственной работы всей конструкции. В этих случаях в интересующие области могут вклеиваться тонкие пластинки с отражающим слоем, а измерения производятся на ПДУ в отраженном свете. [c.208]

В задаче о тонкой пластинке, нагруженной по боковой поверхности силами- параллельными ее основаниям и равномерно распределенными по толщине (рис. 18), воз можны упрошения, аналогичные у прощениям в задаче о плоской деформации, В этом случае, называемом обобщенным плоским напряженным состоянием, напряжения -y i И Txz на основаниях пластинки равны нулю. Так как пластинка тонкая, то можно считать, что эти напряжения равны нулю и по всему объему пластинки, По той же причине остальные напряжения можно считать постоянными по толщине пластинки, т, е. независящими от координаты 2. и, таким образом, возникает приблизительно следующее напряженное состояние [c.59]

Г. Н. Савин и Н. П. Флейшман [1] рассмотрели общую задачу о подкреплении края пластинки весьма тонким стержнем переменного сечения, работающим на изгиб (при иагибе пластинок) или растяжение (в случае плоского напряженного состояния). Устанавливается некоторое прибли-я<енное условие на подкрепленном крае пластинки, обобщающее известные граничные условия основных задач плоской теории упругости и задач теории изгиба тонких пластинок. [c.593]

Рассмотрим частный случай общего напряженного состояния, а именно так называемое плоское напряженное состояние. Если тонкая пластинка нагружена силами, приложенными на ее границе, параллельными плоскости пластинки (в качестве которой выбираем плоскость Х1Х2) и равномерно распределенными по ее толщине, то напряжения азз, сгз1, аз2 равны нулю на обеих поверхностях пластинки. Считая, что эти напряжения равны нулю по всей толщине пластинки, получим напряженное состояние, характеризующееся величинами а , а, fS = 1, 2. Такое состояние называется плоским напряженным состоянием. Подробно это состояние мы обсудим в гл. 4. Предположим, что напряжение а р и нагрузки в виде вектора р =(pi,/ 2, 0) не изменяются по толщине пластинки и являются только функциями Хи Х2. Составляющие вектора р даются формулами [c.57]

Плоское напряженное состомве. Рассмотрим тонкую пластинку, находящуюся под дейстаием произвольной системы сил, приложенных к 1фомкам пластинки и лежащих в ее плоскости (рис. 13.3, а). На поверхности пластинки, параллельной плоскости гу, напряжения отсутствуют (<т=0). Так как толщина пластинки мала, то можно считать, что их нет и внутри пластинки на площадках, параллельных этой поверхности. Поэтому в точках пластинки в общем случае будет иметь место плоское напряженное состояние. В описанных условиях находятся, например, элементы стержвей и балок, изготовленных из относительно тонких пластинок. [c.343]

При плоском напряженном состоянии (тонкая пластинка, плоское нагружение по сравнению с плоским деформированным состоянием изменяются только компоненты тензоров напряжений и деформаций вдоль оси z) а, = 0 поле / Г[ф -t- Кц1р2 должно быть заменено на (/ — М)х(АГ[ф, + / Гцфг) (здесь / — единичный тензор, к — орт оси z). В общем случае в пластине реализуется некоторое промежуточное напряженное состояние [c.239]

Для опыта был изготовлен цилиндрический стержень из нитроцеллюлозы с размерами, указанными на фиг. 7.031. Он был помещен в зажим, состоящий из двух плоских прозрачных пластинок Л, В, соединенных одна с другой и рассверленных на 0,025 см щире, чем образец узкое кольцевое пространство было заполнено смесью глицерина и кедрового масла. При рассмотрении в полярископе напряженного образца замечались цветные полосы, которые благодаря переменной толщине напряженного образца оказывались параллельными его оси на протяжении узкой цилиндрической части по мере приближения к головке они начали приближаться к оси, что указывало на с-наступление сложного напряженного состояния. В этом случае отклонение полос начиналось на расстоянии 1,3 fif от места соединения с цилиндрическими головками,тогда как в соответствующем случае тонкого плоского образца с тем же очертанием перехода к головке равномерность распределения напряжений прекращалась на расстоянии 1,06 d. [c.487]

В выводе уравнений элементарной теории пластинок принимается, что каждый тонкий слой пластинки, параллельный ее срединной плоскости а г/, находится в плоском напряженном состоянии, в силу чего отличными от нуля остаются только три компоненты напряжения Оу и Тху. Для более толстых пластинок полезно иметь полное решение задачи с учетом всех шести компонент напряжения. Несколько решений этого рода было предложено Сен-Венаном в его переводе книги Клебша ). Некоторые элементарные строгие решения для круглых пластинок были найдены А. П. Коробовым ), опыт же построения общей строгой теории пластинок был предложен Дж. Мичеллом ) и получил дальнейшее развитие в книге А. Лява ) по теории упругости. В последнее время строгая теория, пластинок обратила на себя внимание инженеров и некоторые ее задачи были полностью решены. Особого упоминания заслуживают труды С. Войновского-Кригера ) и Б. Г. Галер-кина ). Возрастающий успех, который находят в настоящее время в разнообразных технических применениях тонкостенные конструкции, привлек большое внимание к теории оболочек. Приемлемое для практики решение во многих, относящихся к тонким оболочкам, задачах становится достижимым, если пренебречь изгибом и допустить, что напряжения распределяются по толщине [c.492]

Именно этим путем решение задачи в ряде случаев было найдено в замкнутом виде и доведено до численных результатов. При этом, наряду с задачей о плоской деформации или обобщенном плоском напряженном состоянии (плоская задача), рассматривались аналогичные задачи о поперечном изгибе тонких пластинок. Ряд конкретных результатов в этом направлении дан в работах Ю. А. Амензаде и С. А. Алескеровой [1], [c.589]

Решение проблемы равновесия пластинок и оболочек при упругопластических деформациях, как и при чисто упругих, основывается на двух основных постулатах Кирхгоффа-Лява. Первый состоит в том, что совокупность материальных частиц, расположенных на нормали к серединной поверхности оболочки до деформации, расположена также на нормали к серединной поверхности её после деформации, и потому деформированное состояние оболочки определяется только деформированным состоянием её серединной поверхности. Этот постулат, по существу, говорит о том, что каждый кусок оболочки, размеры серединной поверхности которого малы сравнительно с общими её размерами (и соизмеримы с толщиной), находится в условиях, весьма близких к чистому изгибу и кручению, наложенным на растяжение и сдвиг без изгиба и кручения. Второй постулат состоит в том, чю все компоненты напряжений, имеющие направление нормали к серединной поверхности, весьма малы сравнительно с другими. Оба эти постулата находятся в согласии друг с другом и означают, что всякий тонкий элементарный слой материала, парадлельный серединной поверхности оболочки, находится в условиях плоского напряжённого состояния или, точнее, напряжения, действующие в его плоскости, значительно больше других напряжений. В справедливости такого предположения можно убедиться из анализа порядка различных компонентов напряжений в тонкой оболочке, исходя из уравнений равновесия. [c.153]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...